Diskrétní systémy 8-11 - PowerPoint PPT Presentation

diskr tn syst my 8 11 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Diskrétní systémy 8-11 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Diskrétní systémy 8-11

play fullscreen
1 / 44
Diskrétní systémy 8-11
149 Views
Download Presentation
signe-harding
Download Presentation

Diskrétní systémy 8-11

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Diskrétní systémy 8-11 Zopakujte si: • Z matematiky: • posloupnosti • limita posloupnosti • z-transformace • SW: • Matlab • Control System Toolbox Systémy a modely 11Diskrétní Systémy Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  2. Příklad systému Počet studentů v jednotlivých ročnících na FEL Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  3. Stavový a vnější popis Stavový popis diskrétního systému z-Transformace vnější popis: přenos vliv poč. pod. Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  4. Alternativní vnější popis v z-1 = d Stavový popis diskrétního systému používáme buď z-1 nebo d vnější popis: přenos vliv poč. pod. Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  5. Řešení stavových rovnic Sekvenční metoda řešení Mkstavová matice přechodu. Vlastní čísla matice M Odezva na počáteční podmínky Odezva na daný vstupní signál Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  6. Řešení stavových rovnic Řešení pomocí z-transformace Po transformaci Odezva na vstupní signál Odezva na počáteční podmínky Je z-obrazem stavové matice přechodu Mk Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  7. Ryzost a kauzalita přenosu Racionální funkce je striktně ryzí pro n>m ryzí pro n≥m neryzí pron<m přenos fyzikálního spojitého systému bývá striktně ryzí n=mznamená, že přenáší i nekonečně velké frekvence (zjednodušené modely) n<mby dokonce vysoké frekvence více zesiloval = fyzikálně nerealizovatelné Diskrétní přenos vz -je topodobné, ale jiný význam přenos bývá striktně ryzí n=mznamená, že reaguje okamžitě (počítá nekonečně rychle) n<mby předpovídal budoucnost, byl by nekauzální Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  8. Kauzalita přenosu Diskrétní přenos vz-1=d -je to jinak má zpoždění aspoň jeden krok, když reaguje okamžitě (počítá nekonečně rychle) předpovídá budoucnost, je nekauzální Příklady: Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  9. Řád systému z přenosu nejsou-li skryté módy Diskrétní přenos vz -stejné, jako u spojitého řád systému = stupeň jmenovatele Příklad: systém s přenosem 1/z2 je řádu 2 (dvě zpoždění) Diskrétní přenos vz-1=d -je to jinak řád systému = max(stupeň čitatele, stupeň jmenovatele) Příklad: systém s přenosem z-2 = d2 je řádu 2 (dvě zpoždění) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  10. Digitalizace - Spojité řízení • Klasické spojité řízení spojité soustavy Spojitý řídicí systém soustava senzor Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  11. Číslicové řízení • Číslicové řízení Číslicový řídicí systém soustava Diferenční rovnice D/A a tvarovač hodiny senzor vzorkovač A/D Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  12. Vzorkování • Převod spojitého signálu na diskrétní: vzorkování (sampling) spojitý signál diskrétní signál • vzorkovač (sampler) • pracuje periodicky: s periodou T [s] a frekvencí vzorkování 1/T [Hz] Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  13. Vzorkování • různé realizace – podle periody (frekvence) vzorkování • typicky: logika počítače obsahuje hodiny, které každých T sekund vyšlou puls (interrupt) do vzorkovače • u pomalejších procesů může být jinak (Př.: dávkový výroba fotografických filmů Kodak ) • někdy mají různé větve různou periodu vzorkování • nebo fázové zpoždění • někdy vzorkování není periodické (free running – další vzorek se vezme, jakmile je předchozí zpracován) • to vše komplikuje návrh • budeme mít jen ten nejjednodušší případ Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  14. Kvantování • obdoba vzorkování v časové oblasti je kvantování (quantization) v oblasti hodnot signálů • kvantování je náhrada spojitého oboru reálných hodnot (nebo velmi hustého diskrétního) relativně malou množinou čísel nebo symbolů • podle reprezentace čísel v konkrétním počítači • kvantování provádí A/D převodník (analogově-digitální) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  15. Digitalizace • digitalizace je vzorkování a kvantování současně • totéž se provádí v čase i v hodnotách • často je vzorkovač součástí A/D převodníku • „digitalizovaný signál“ • Příklad audio CD disk: • vzorkování s frekvencí 44,100 Hz a • kvantovánís 216 = 65,536 možnými hodnotami (reprezentace 16 bitů= 2 bytů) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  16. Tvarování • Převod diskrétního signálu na spojitý: tvarování (holding) diskrétní signál spojitý signál • Zero-Order Hold ZOH Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  17. průměrná hodnota Tvarování • srovnání původního spojitého signálu se vzorkovaným a tvarovaným • průměrná hodnota tvarovaného signálu je oproti spojitému opožděná o T/2 • způsobeno tvarováním (hold) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  18. Vztah mezi s a z spojitý signál • má Laplaceův obraz • a pól v diskrétní signál (vzniklý vzorkováním) • má z-obraz • a tedy pól v Mezi póly spojitého a (vzorkovaného) diskrétního signálu platí vztah Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  19. Im Re Diskrétní systémy – póly a nuly • vypočtou se stejně jako u spojitých systémů ale interpretace jejich polohy je jiná • mez stability je jednotková kružnice • okolí bodu z = 1 odpovídá okolí bodu s = 0 • z je bezrozměrné – s má rozměr času • poloha v komplexní rovině dává informaci normalizovanou ve frekvenci vzorkování a ne v čase • záporná reálná osa v z-rovině reprezentuje frekvence ωs/2, kde ωs = 2π/T je frekvence vzorkování v rad/s Im Re nestabilní stabilní Im Re Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  20. Vliv polohy pólů Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  21. Diskrétní systémy • frekvence větší než Nyquistova frekvence ωs/2 se projeví jako překryté odpovídajícími nižšími frekvencemi • kvůli periodicitě funkce exp v komplexní rovině • tomu se říká stroboskopický efekt (aliasing, folding) • aby vzorky rozumě representovali signál, musí být vzorkovací frekvence > 2 × nejvyšší frekvence v signálu • kauzalita - ryzost Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  22. Doba ustálení Ts Stejná doba ustálení • v s-rovině póly ležící na vertikálních přímkách σ = konst. • v z-rovině jim odpovídají soustředné kružnice se středem v počátku Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  23. Okamžik prvého maxima Tp Stejný okamžik prvého maximaTp • v s-rovině horizontální čáry ωd = konst. • v z-rovině jim odpovídají radiální přímky vycházející z počátku Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  24. Doba náběhu Tr Stejná doba náběhu • v s-rovině póly ležící na soustředných kružnicích ωn = konst. • v z-rovině jim odpovídají křivky Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  25. Překmit a tlumení Stejný překmit a tlumení • s-rovině mu odpovídají přímky procházející počátkem • v z-rovině části spirál Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  26. Diskrétní systémy • diskrétní mřížka • v Matlabu funkce zgrid Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  27. Systémy a řízení Příklad • spojité specifikace • (podle požadované OS) • (podle požadované Tr) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 27

  28. Systémy a modely Diskrétní frekvenční charakteristiky Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 28

  29. Diskrétní Bodeho graf • frekvenční přenos • je periodická funkce ω s periodou • graf proto kreslíme jen pro (tedy na horní polovině kružnice) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  30. Systémy a modely Příklad • spojitý přenos vzorkovaný s periodou Ts= 0.2, 1, 2 s >> G=tf(1,[1 1 0]) 1 ------- s^2 +s >> Gz1=c2d(G,0.2) Transfer function: 0.01873 z + 0.01752 ---------------------- z^2 - 1.819 z + 0.8187 Sampling time: 0.2 >> Gz2=c2d(G,1) Transfer function: 0.3679 z + 0.2642 ---------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679 Sampling time: 1 >> Gz3=c2d(G,2) Transfer function: 1.135 z + 0.594 ---------------------- z^2 - 1.135 z + 0.1353 Sampling time: 2 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 30

  31. Diskrétní Bodeho graf • nelze kreslit pomocí jednoduchých asymptot • neplatí vztah mezi fází a derivací amplitudy v log-log souřadnicích • vzorkování způsobuje přídavné fázové zpoždění • tato aproximace je dobrá do tj. Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  32. Diskrétní Nyquistův graf • je periodická funkce ω s periodou Diskrétní Nyquistův graf • proto ho často kreslíme jen pro (na horní polovině kružnice) • Control System Tbxho (default) kreslí na celé kružnici Příklad G = tf(1,[1 1]); nyquist(G,c2d(G,0.2), … c2d(G),1),c2d(G,2)) G = tf(1,[1 1]) nyquist(G) Gz=c2d(G,0.2), nyquist(Gz) Transfer function: 0.1813 ---------- z - 0.8187 Sampling time: 0.2 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  33. Systémy a modely Příklad • spojitý přenos vzorkovaný s periodou Ts= 0.2, 1, 2 s >> G=tf(1,[1 1 0]) 1 ------- s^2 +s >> Gz1=c2d(G,0.2) Transfer function: 0.01873 z + 0.01752 ---------------------- z^2 - 1.819 z + 0.8187 Sampling time: 0.2 >> Gz2=c2d(G,1) Transfer function: 0.3679 z + 0.2642 ---------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679 Sampling time: 1 >> Gz3=c2d(G,2) Transfer function: 1.135 z + 0.594 ---------------------- z^2 - 1.135 z + 0.1353 Sampling time: 2 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 33

  34. Systémy a řízení Stroboskopický efekt - Aliasing Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 34

  35. Systémy a řízení Příklad: • Když sinusový signál o frekvenci 60Hz • vzorkujeme se vzorkovací frekvencí 50Hz • vlivem stroboskopického efektu „vidíme“ jiný signál: o frekvenci 10Hz • musíme vzorkovat s frekvencí větší než 2x120 Hz • 50 Hz • 120Hz • 240 Hz • v angličtině: aliasing (od alias = falešné jméno, přezdívka) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 35

  36. Spektrum vzorkovaného signálu • v oboru komunikace vzorkování reprezentujeme impulsní modulací • vzorkovanou verzi r*(t) spojitého signálu r(t) vyjádříme jako • funkce (distribuce) se nazývá Diracův hřeben nebo š-funkce (shah-function, protože připomíná písmeno ш v Cyrilice) • protože je periodická, vyjádříme ji Fourierovou řadou • kde Fourierovy koeficienty jsou obecně • protože v rozsahu integrálu je jediný impuls: v počátku δ(t) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  37. Spektrum vzorkovaného signálu • tedy celkem kde jsme označili • Laplaceův obraz (v oboustranné LT) vzorkovaného signálu vypočteme z • jako s posunutým argumentem • tedy celkem kde • v radiotechnice: řadě impulsů odpovídá řada nosných frekvencí v celočíselných násobcích • a když r(t) moduluje všechny tyto nosné, vytváří nekonečnou posloupnost postraních pásem Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  38. Spektrum vzorkovaného signálu spektrum r(t) • pro signál s L-obrazem vzorkovaný s • spektrum vzorkovaného signálu obsahuje nekonečně mnoho kopií spektra spojitého signálu • pokud se překrývají, je to problém - aliasing • pro frekvenci ω1 se spektrum skládá „správného“ plus „nesprávného“ = alias spektrum r*(t) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  39. Spektrum vzorkovaného signálu • v důsledku vzorkování s frekvencí má výsledný signál harmonický obsah pro frekvenci ω1 nejen s originálního signálu na frekvenci ω1, ale i na všech frekvencích, které jsou aliasy ω1, • tj. obsahuje komponenty od všech frekvencí • pokud původní spojitý signál obsahuje významné komponenty s vysokými frekvencemi, dochází k velkému překryvu a tedy k velkým chybám • překryté kopie spektra • při zpětné rekonstrukci se použije rozdělené na • to vede k chybám Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  40. Systémy a modely Příklad: • Když signál • vzorkujeme s periodou 1/8 s, • dostaneme po zpětné rekonstrukci velmi zkreslený signál • aliasing způsobí ztrátu informace o vysokých frekvencích • současně se ale vysoké frekvence objeví v nízkých frekvencích a zkreslí jejich obsah v signálu Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Michael Šebek - ČVUT - 2005 40

  41. Jak zabránit aliasing? • zmenšit periodu vzorkování (hustěji vzorkovat) aby se spektrum vzorkovaného signálu nepřekrývalo • musíme mít HW, který to stihne • před vzorkováním odfiltrovat ze signálu vysoké frekvence (anti-aliasing filter – dolní propust) • tím se sice informace o vysokých frekvencích také ztratí • ale aspoň nezkreslí obsah nízkých frekvencí • asynchronní nebo adaptivní vzorkování • v řízení se neužívá • tyto a další jevy a triky – viz obor zpracování signálů Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  42. Věta o vzorkování (Sampling Theorem) • vzdálenost mezi sousedními vrcholy je • kde je frekvence vzorkování • šířka jednoho „kopce“ (= spektra spojitého signálu) je • kde je maximální frekvence obsažená v původním signálu Z toho je zřejmé, že • k překrytí a tedy k aliasing nedojde • když • Takový signál může být plně obnoven ze svých vzorků • Naopak daný signál musíme vzorkovat frekvencí • Shannon - Kotělnikova(Nyquist -Whittaker): Věta o vzorkování Nyquistova frekvence Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  43. Volba periody vzorkování • Pro dosažení malé chyby při řízení obvykle volíme • kde je maximální frekvenceobsažená v původním signálu • Pro systémy typu dolní propust ji určíme jako frekvenci,kde dojde k poklesu amplitudy o -3 dB • Podle doby náběhu Tr z přechodové charakteristiky Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  44. Systémy a modely C. E. Shannon Claude Elwood Shannon 1916 –2001 • americký elektroinženýr a matematik • „otec teorie informace“ • zakladatel teorie návrhu digitálních obvodů • vzdálený příbuzný Edisona • Bc. a MSc. na Univ. Michigan • PhD. na MIT • za války v Bell Labs (řízení střelby, kryptografie) • od 1956 učí na MIT Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 S využitím: Systémy a řízení,Michael Šebek - ČVUT - 2005 44