vwo D Samenvatting Hoofdstuk 11

1. vwo D Samenvatting Hoofdstuk 11

2. De parabool als conflictlijn • Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden • tot een punt en een lijn. • De vergelijking van de parabool met brandpunt F( , 0) • en richtlijn l: x = is y2 = 2px. 11.1

3. Parabool en raaklijnen • De lijn k met richtingscoëfficiënt a die de parabool y2 = 2px raakt heeft • vergelijking k: • De lijn k die de parabool y2 = 2px raakt in A(xA, yA) heeft vergelijking • k: yAy = px + pxA. 11.1

4. De poollijn van een punt ten opzichte van een parabool • Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de parabool y2 = 2px • in de punten A en B, dan is • de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de parabool • het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de parabool • een vergelijking van de lijn AB: yPy = px + pxP. 11.1

5. De ellips als confictlijn • Een ellips is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot • een cirkel en een punt binnen de cirkel. • Een ellips is de verzameling van alle punten P waarvoor • geldt d(P, F1) + d(P, F2) = constant. • De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips. 11.2

6. Het lijnstuk AB heet de lange as van de ellips. • AB = 2a • Het lijnstuk CD heet de korte as van de ellips. • CD = 2b • De punten A, B, C en D heten • de toppen van de ellips. • Het snijpunt van de symmetrieassen heet • het middelpunt van de ellips. • De vergelijking van de ellips met toppen A(-a, 0), • B(a, 0), C(0, b) en D(0, -b) is 11.2

7. Ellips en raaklijnen • De lijn k die de ellips raakt in A(xA, yA) • heeft vergelijking k: • Heb je een vergelijking van de raaklijn in een punt A van de ellips opgesteld, • dan is daarna eenvoudig een vergelijking van de normaal in dat punt op te stellen. • De normaal snijdt de ellips loodrecht in het punt A. 11.2

8. De poollijn van een punt ten opzichte van een ellips • Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de ellips • in de punten A en B, dan is • de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de ellips • het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de ellips • een vergelijking van de lijn AB: 11.2

9. Is de vergelijking van de ellips b2x2 + a2y2 = a2b2 • dan is de vergelijking van de poollijn b2xPx + a2yPy = a2b2 • Is de vergelijking van de ellips • en een punt P(xP, yP) buiten de ellips, • dan wordt de vergelijking van de poollijn 11.2

10. Een hyperbooltak als conflictlijn • Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden • tot een cirkel en een punt buiten de cirkel. • Een hyperbool is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt • |d(P, F1) – d(P, F2)| = constant. • De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de hyperbool. • De lijn door de punten F1 en F2 is • een symmetrieas van de hyperbool • en snijdt de hyperbool in de punten A en B. • Deze punten zijn de toppen van de hyperbool. • De middelloodlijn van het lijnstuk F1F2 is de • andere symmetrieas van de hyperbool. • Het snijpunt van de symmetyrieassen heet • het middelpunt van de hyperbool. • De brandpuntsafstand is 2c, dus F1F2 = 2c. • Voor alle punten op de hyperbool geldt • |d(P, F1) – d(P, F2)| = 2a 11.3

11. De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en • brandpunten F1(-c, 0) en F2(c, 0) is • Daarbij is b2 = c2 – a2. • In het figuur is de vergelijking van de hyperbool • Hierbij is a2 = c2 – b2. • De lijnen en • zijn asymptoten van de hyperbool 11.3

12. Hyperbool, raaklijn en poollijn • De lijn k die de hyperbool raakt in A(xA, yA) • heeft vergelijking k: • Raken de lijnen l en m door het punt P(xP, yP) de • hyperbool in de punten A en B, dan is • de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de hyperbool • het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de hyperbool • een vergelijking van de lijn AB: 11.3

13. Kegelsneden • Bij wentelen van de lijn l om de x-as ontstaat een kegelvlak. • Dit omwentelingskegelvlak bestaat uit twee kegels zonder • grondvlak met de gemeenschappelijke top O. • De tophoek van zo’n kegel is 2α. • Doorsneden van een vlak V met een • kegelvlak heten kegelsneden. • Een kegelsnede is de doorsnede van een • plat vlak met een kegelvlak. • Cirkel, parabool, ellips en hyperbool zijn kegelsneden. 11.4