vwo A Samenvatting Hoofdstuk 9

1. vwo A Samenvatting Hoofdstuk 9

2. De recursieve formule van een getallenrij • Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term • uit één of meer voorafgaande termen volgt. • Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde. • vb.un= un – 1 + 160 met u0 = 25 9.1

3. opgave 15 • a) u0 = 1 • u1 = 1 + 1 + 1 = 3 • u2 = 3 + 2 + 1 = 6 • u3 = 6 + 3 + 1 = 10 • u4 = 10 + 4 + 1 = 15 • u5 = 15 + 5 + 1 = 21 • Totaal = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 • 10e laag is u9 = 55 • 15e laag is u14 = 120 • d) v9 = 220, dus uit 220 sinaasappels. • Voer in y1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3). • De tabel geeft : bij x = 14 hoort y = 680. • De stapel bestaat uit 15 lagen. 9.1

4. Rekenkundige rijen • Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee • opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. • Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is • de directe formule un = u0 + vn • de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0. • Voor de rekenkundige rij un geldt • som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term) 9.2

5. un = un – 1 – 4 met u0 = 251 • rr met u0 = 251 en v = -4 • dus un = 251 – 4n • b) u18 = 251 – 4 · 18 = 179 • c) 21e term is u20 = 251 – 4 · 20 = 171 • d) Los op • 251 – 4n = 0 • -4n = -251 • n = 62,75 • Dus u62 > 0 en u63 < 0. • Vanaf de 64e term is un negatief. opgave 22 9.2

6. Meetkundige rijen • Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee • opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. • Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is • de directe formule un = u0· rn • de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0. • Voor een meetkundige rij un geldt • som meetkundige rij = eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor 9.3

7. a) un = 5,2 · 0,8n • 8e week • u7 = 5,2 · 0,87 • u7 ≈ 1,1 • De toename in de 8e week is 11 mm. • 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,87 • = • ≈ 21,6 • De plant is 216 mm gegroeid. • c) 5,2 + 5,2 · 0,8 + … + 5,2 · 0,89 • = • ≈ 23,2 • De hoogte na 10 weken is 18 + 23,2 = 41,2 cm. opgave 43 9.3

8. Radiaal Er is een hoekmaat waarbij de lengte van de boog van de eenheidscirkel gelijk is aan de draaiingshoek α. booglengte PQ = hoek α booglengte = 1  α = 1 rad booglengte = 2  α = 2 rad booglengte = π  α = π rad 1 rad ≈ 57,3° y Q α P x O (1,0) 9.4

9. y Sinus en cosinus Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1,0). P(xP , yP) 1 1 yP PQ OP yP 1 sin α = = = yP cos α = = = xP α x ∟ Q A O (1,0) xP sos cas OQ OP xP 1 9.4

10. Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) 1 periode = 2π f(x) = sin(x) evenwichtsstand = 0 amplitude = 1 -π O π -2π 2π amplitude = 1 g(x) = cos(x) periode = 2π ½π -1 9.4

11. Bijzonderheden aflezen uit een formule met een sinus 9.4

12. Formules hebben de vorm : y = a + b sin(c(x - d)) en y = a + b cos(c(x - d)) amplitude = |b| en c > 0 Kenmerken van sinusoïden 9.5

13. Kenmerken van de grafiek van y = a + b sin(c(x - d)) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π c 9.5

14. voorbeeld f(x) = 5 – 3 sin (¼πx) evenwichtsstand = 5 amplitude = 3 periode = = 8 -3 < 0 dus grafiek dalend door beginpunt (0,5) 9.5