vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12

1. vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12

2. Reeksontwikkelingen • De formule van Maclaurin • In bovenstaande reeksontwikkeling is Rn de restterm. 12.1

3. De formule eiφ= cos(φ) + i sin(φ) • Je kunt een complex getal op twee manieren noteren. (zie H.8) • De notatie met behulp van het reële deel en het • imaginaire deel. • z = a + bi waarbij a = Re(z) en b = Im(z). • De notatie met behulp van poolcoördinaten. • z = r(cos φ + i sin φ) waarbij r = |z| en φ = arg(z). • In H.8 steeds in graden, in dit hoofdstuk in radialen. • De 3e manier is • z = r eiφ is een complex getal met r = |z| en φ = arg(z). • De formule van Euler: eiφ = cos(φ) + i sin(φ). 12.1

4. De functies f(z) = ezen g(z) = ln(z) • De functie f(z) = ex • beeldt de reële as af op de positieve reële as • beeldt de imaginaire as af op de eenheidscirkel • is periodiek met periode 2πi. • Bij het berekenen van functiewaarden bij de complexe logaritmische functie • f(z) = ln(z) gebruik je de rekenregels voor logaritmen en de formule van Euler. De functies f(z) = cos(z) en g(z) = sin(z) • cos(z) = • en • sin(z) = 12.2

5. opgave 23 Het beeld van Re(z) = 1 is de cirkel met middelpunt 0 en straal e1, ofwel de cirkel met de vergelijking | z | = e. Het beeld van Im(z) = π is de halve lijn met beginpunt 0 die een hoek van π radialen maakt met de positieve reële as, ofwel de halve lijn met vergelijking Arg(z) = π. 12.2

6. De factorstelling • Als x = k een oplossing is van de vergelijking x3 + ax2 + bx + c = 0, • dan is x3 + ax2 + bx + c = (x – k)(x2 + …). De vergelijking z3 + pz = q • Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z3 + pz = q • Stel z = u + v en p = -3uv en herleid hiermee de vergelijking tot • u3 + v3 = q. • Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot • u6 – qu3 – r = 0. • 3 Bereken u3 en v3 en bereken hiermee z. 12.3

7. De vergelijking z3 + az2 + bz + c = 0 • De formule van Cardano • Een reële oplossing van de vergelijking z3 + pz = q is • Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z3 + az2 + bz + c = 0 • Gebruik de substitutie z = y - a om de vergelijking te herleiden tot • de vorm y3 + py = q. • Stel y = u + v en p = -3uv. Dit geeft u3 + v3 = q. • Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot • u6 – qu3 – r = 0. • Bereken u3 en v3 en bereken hiermee y. • Gebruik z = y - a om een reële oplossing z te berekenen. • Gebruik de factorstelling om de andere oplossingen te berekenen. 12.3

8. opgave 40 opgave 41 12.3

9. De formule un = a· un - 1 + b · un - 2 • Een recursieve formule van de vorm un = a· un – 1 + b · un – 2 • met b ≠ 0 is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. • De differentievergelijking is lineair omdat er alleen termen in voorkomen • met un – 1 en un – 2 en niet bijvoorbeeld met (un – 1)2. • De differentievergelijking is van de tweede orde omdat de term un is • uitgedrukt in de twee voorafgaande termen. • GR 12.4

10. De karakteristieke vergelijking • Werkschema: het opstellen van een directe formule bij de rij • un = a· un – 1 + b · un – 2 met startwaarden u0 en u1 • Substitueren van un = gn geeft de karakteristieke vergelijking • g2 – ag – b = 0 met D = a2 + 4b. • 2a. Is D > 0 dan krijg je twee reële oplossingen g1 en g2 en is de directe • formule van de vorm un = A · (g1)n + B · (g2)n. • 2b. Is D = 0 dan krijg je één reële oplossing g en is de directe formule • van de vorm un = (A + Bn) · gn. • 2c. Is D < 0 dan krijg je twee complexe oplossingen g1 en g2 en is de • directe formule van de vorm un= (A cos(φn) + B sin(φn)) · gn. • Daarbij is φ een argument van g1 (of van g2) en g de modulus van g1. • 3. Je berekent A en B met behulp van de startwaarden u0 en u1. 12.4