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Chapter 1

Chapter 1. Strategic Problems: Location. PS 1. PS 2. PS 3. PS 4. Production site. …. transportation. Full truck load. CW 1. CW 2. Central warehouse. …. transportation. FTL or tours. DC 1. DC 2. DC 3. DC 4. Distribution centers. …. transportation. tours. C 1. C 2. C 3.

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  1. Chapter 1 Strategic Problems: Location

  2. PS1 PS2 PS3 PS4 Production site … transportation Full truck load CW1 CW2 Central warehouse … transportation FTL or tours DC1 DC2 DC3 DC4 Distribution centers … transportation tours C1 C2 C3 C4 customers … Location problems QEM - Chapter 1

  3. More levels possible (regional warehouses) • Can be delagated to logistics service providers • Decision problems • Number of warehouses • Location of warehouses • Transportation problem (assignment of customers) QEM - Chapter 1

  4. Median Problem • Simplest location problem • Represent in complete graph. Nodes i are customers with weights bi • Choose one node as location of warehouse • Minimize total weighted distance from warehouse • Definition: Median • directed graph (one way streets…): • σ(i) = ∑dijbj → min. • undirected graph: • σout(i) = ∑dijbj → min … out median • σin(i) = ∑djibj → min … in median QEM - Chapter 1

  5. 3 2/0 4/3 2 2 2 6/2 3 4 1/4 5 3 2 3/2 5/1 4 D= b= Example: fromDomschke und Drexl(Logistik: Standorte, 1990, Kapitel 3.3.1) QEM - Chapter 1

  6. 4*0 0*12 2*2 3*10 6*1 2*12 64 1 4*0 4*12 4*2 4*10 24 48 4*2 0*0 2*3 3*3 7*1 2*5 40 2 0*2 0*0 0*3 0*3 0 0 4*12 0*10 2*0 3*8 4*1 2*10 96 3 2*12 2*10 2*0 2*8 8 20 4*4 0*2 2*5 3*0 5*1 2*2 4 3*4 3*2 3*5 3*0 15 6 35 4*8 0*6 2*9 3*4 0*1 2*6 74 5 1*8 1*6 1*9 1*4 0 6 4*11 0*9 2*12 3*7 3*1 2*0 92 6 2*11 2*9 2*12 2*7 6 0 σin(i) 66 98 56 74 53 80 Example: Median σout(i) 1 2 3 4 5 6 City 4 is median since 35+74 = 109 minimal OUT e.g..: delivery of goods IN e.g.: collection of hazardous waste QEM - Chapter 1

  7. Related Problem: Center • Median • Node with min total weighted distance • → min. • Center • Node with min Maximum (weighted) Distance • → min. QEM - Chapter 1

  8. 4*0 0*12 2*2 3*10 6*1 2*12 30 1 4*0 4*12 4*2 4*10 24 48 4*2 0*0 2*3 3*3 7*1 2*5 10 2 0*2 0*0 0*3 0*3 0 0 4*12 0*10 2*0 3*8 4*1 2*10 48 3 2*12 2*10 2*0 2*8 8 20 4*4 0*2 2*5 3*0 5*1 2*2 4 3*4 3*2 3*5 3*0 15 6 16 4*8 0*6 2*9 3*4 0*1 2*6 32 5 1*8 1*6 1*9 1*4 0 6 4*11 0*9 2*12 3*7 3*1 2*0 44 6 2*11 2*9 2*12 2*7 6 0 in(i) 24 48 24 40 24 48 Solution out(i) 1 2 3 4 5 6 City1 is center since 30+24 = 54 minimal QEM - Chapter 1

  9. W1 W2 m C1 C2 C3 C4 n Uncapacitated (single-stage) Warehouse Location Problem – LP-Formulation • single-stage WLP: • warehouse • customer: • Deliver goods to n customers • each customer has given demand • Exist: m potential warehouse locations • Warhouse in location i causes fixed costs fi • Transportation costs i  j are cij if total demand of j comes from i. QEM - Chapter 1

  10. Problem: • How many warehouses?(many/few  high/low fixed costs, low/high transportation costs • Where? • Goal: • Satisfy all demand • minimize total cost (fixed + transportation) • transportation to warehouses is ignored QEM - Chapter 1

  11. Example: from Domschke & Drexl (Logistik: Standorte, 1990, Kapitel 3.3.1) Solution 2: just warehouses 1 and 3 Solution 1: all warehouses Fixed costs = 5+7+5+6+5 = 28 high Transp. costs = 1+2+0+2+3+2+3 = 13 Total costs = 28 + 13 = 41 Fixed costs = 5+5 = 10 Transp. costs = 1+2+1+5+3+7+3 = 22 Total costs = 10 + 22 = 32 QEM - Chapter 1

  12. when locations are decided: • transportation cost easy (closest location) • Problem: 2m-1 possibilities (exp…) • Formulation as LP (MIP) • yi … Binary variable for i = 1, …, m: yi= 1 if location i is chosen for warehouse 0 otherwise • xij … real „assignment“ oder transportation variable für i = 1, …,m and j = 1, …, n: xij= fraction of demand of customer j devivered from location i. QEM - Chapter 1

  13. i = 1, …, m j = 1, …,n xij≤ yi j = 1, …,n i = 1, …, m For all i and j MIP for WLP transportation cost+ fixed cost Delivery only from locations i that are built Satisfy total demand of customer j yi is binary xij non negative QEM - Chapter 1

  14. Problem: • m*n real Variablen und m binary → for a few 100 potential locations exakte solution difficult → Heuristics • Heuristics: • Construction or Start heuristics (find initial feasible solution) • Add • Drop • Improvement heuristics (improve starting or incumbent solution) QEM - Chapter 1

  15. ADD for WLP • verwendete Notation: I:={1,…,m} Menge aller potentiellen Standorte I0 Menge der endgültig verbotenen Standorte (yi bei 0 fixiert) Iovl Menge der vorläufig verbotenen Standorte (yi vorläufig auf 0) I1 Menge der endgültig einbezogenen Standorte (yi bei 1 fixiert) Transportkostenersparnis, falls Standort i zusätzlich realisiert wird Z Gesamtkosten (Zielfunktionswert) QEM - Chapter 1

  16. Initialisierung: • Ermittlung, welcher Standort realisiert werden soll, wenn genau einer gebaut wird • Zeilensumme ci := ∑cij der Kostenmatrix • Auswahl des Standortes k mit den minimalen Kosten ck + fk • Setze I1 = {k}, Iovl = I – {k} und Z = ck + fk • Berechne die Transportkostenersparnis ωij = max {ckj – cij, 0} für alle i aus Iovl und alle Kunden j sowie die Zeilensumme ωi. • Beispiel: erster Standort k=5 mit Z:= c5 + f5 = 39, I1 = {5}, Iovl = {1,2,3,4} QEM - Chapter 1

  17. 5 2 1 3 11 5 4 6 4 14 7 5 4 1 10 5 1 1 2 6 ωiist die Transportkostenersparnis bei der Belieferung von j, wenn zusätzlich Standort i gebaut wird. → Zeilensumme ωi ist die Gesamt-transportkostenersparnis, wenn Standort i zusätzlich gebaut würde. QEM - Chapter 1

  18. Iovl = Iovl – {k} und Z = Z – ωk + fk Verbiete alle mit ωi ≤ fi endgültig: • Iterationsschritt: • in jeder Iteration wird genau der potentielle Standort aus Iovl endgültig einbezogen, durch den die größte Kostenersparnis erzielt werden kann → • Suche potentiellen Standort k aus Iovl, für den die Gesamtersparnis (Transportkostenersparnis minus zusätzliche Fixkosten) ωk – fk maximal ist. • Zusätzlich können alle Standorte endgültig verboten werden, deren Transportkostenersparnisse geringer als die zusätzlichen Fixkosten wären → • Berechne für alle i aus Iovl und alle Kunden j die Transportkostenersparnisse neu: ωij = max {ωij - ωkj, 0} QEM - Chapter 1

  19. 5 2 1 3 11 5 4 6 4 14 7 5 4 1 10 5 1 1 2 6 • Abbruch: • Das Verfahren endet, sobald durch die Einbeziehung eines weiteren Standortes aus Iovl keine zusätzliche Verringerung des Zielfunktionswertes erreicht werden kann, wen also Iovl = { }. • An den Standorten i aus I1 ist ein Lager zu errichten. • Gesamtkosten = Zielfunktionswert Z • kostenminimale Zuordnung : xij = 1 falls • Beispiel: Iteration 1 baue k = 2 verbiete i = 4 • Wegen ω4 < f4 wird Standort 4 endgültig verboten. Standort k=2 wird endgültig einbezogen. • Es gilt nun Z=39 – 7 = 32. Es ist nun Iovl = {1,3}, I1 = {2,5}, Io = {4}. Ermittle erneut die Transportkostenersparnisse ωij. QEM - Chapter 1

  20. 1 2 3 6 5 1 5 baue k = 1 verbiete i = 3 1 • Iteration 2: • Die durch (die noch nicht endgültig verbotenen) Standorte 1 und 3 maximal möglichen Transportkostenersparnisse zeigt die obige Tabelle. Standort 3 wird endgültig verboten, Standort k = 1 wird endgültig einbezogen. • Ergebnis: • Das Verfahren endet mit I1 = {1,2,5}, Io = {3,4} und Z = 32 – 1 = 31 bzw. Iovl = { }. • Standorte 1, 2 und 5 sind zu realisieren • Kunden {1,2,7} werden von Lager 1, {3,5} von Lager 2 und {4,6} von Lager 5 aus beliefert. Die Gesamtkosten Z = 31. QEM - Chapter 1

  21. DROP for WLP • Die Menge Iovl wird durch I1vl ersetzt. • I1vlMenge der vorläufig einbezogenen Standorte (die yi sind vorläufig zu 1 fixiert) • Der Drop-Algorithmus verläuft umgekehrt als ADD, d.h. zunächst sind alle potentiellen Standorte vorläufig einbezogen. • Initialisierung: I1vl = I, I0= I1= { } • Iteration • In jeder Iteration wird genau derjenige potentielle Standort aus I1vl endgültig verboten, durch dessen Verbot die Gesamtkosten am meisten gesenkt werden können. • Würde sich durch das Verbieten eines Standortes aus I1vl die Gesamtkosten erhöhen, so kann er endgültig einbezogen werden. QEM - Chapter 1

  22. 5 baue verbiete 1 0 1 1 1 2 0 2 3 2 3 2 4 1 3 3 3 5 1 1 2 4 2 5 1 2 5 3 5 3 4 3 • In Zeile m+3 (Zeile m+4) wird die Zeilennummer h1 (bzw. h2) gespeichert, in der das kleinste (bzw. zweitkleinste) Kostenelement steht. Wird Standort h1 (aus I1vl) verboten, steigen die Transportkosten für den Kunden j um ch2j - ch1j • Erweiterung der Transportkostenmatrix C: • In Zeile m+1 (Zeile m+2) wird für jede Spalte j = 1, …, n von C das kleinste Kostenelement ch1j (bzw. das zweitkleinste ch2j) notiert. Dabei sind nur nicht endgültig verbotene Standorte zu berücksichtigen → • Obiges Beispiel: Initialisierung und Iteration 1: I1vl ={1,2,3,4,5} QEM - Chapter 1

  23. 2 Beispiele: • Nun ermitteln wir für alle i aus I1vl die Transportkostenerhöhung δifalls i im aktuellen Iterationsschritt endgültig verboten wird. Dabei ist δi die Summe der Differenzen zwischen kleinstem und zweitkleinstem Kostenelement jener Spalten, wo die Zeile i = h1 das kleinste Kostenelement enthält. • δ1 = (c21 – c11) + (c52 – c12) + (c37 – c17) = 5 • δ2 = (c33 – c23) + (c35 – c25) = 1 • Übersteigen die ersparten Fixkosten fi die Transportkostenerhöhung δi, so bringt das Verbot von i eine Senkung der Gesamtkosten. In Iteration 1 wird also Standort 1 wegen δi = fi endgültig einbezogen. • Iteration 2: • I1vl = {3,4,5}, I1= {1}, I0= {2} • Zeile 2 ist wegzulassen, da 2 endgültig verboten ist. Nun müssen die letzten 4 Zeilen korrigiert werden, wobei sich Änderungen nur in jenen Spalten ergeben, wo das kleinste oder zweitkleinste Element gestrichen wurde. • Zeile 1 muss erhalten bleiben, da I1= {1}, allerdings ist 1 kein Kandidat mehr dafür, gestrichen zu werden. Daher muss in dieser Zeile kein δi mehr ermittelt werden. QEM - Chapter 1

  24. - 8 baue 1 verbiete 1 1 2 1 2 3 2 3 6 4 6 3 6 3 5 3 1 1 4 3 5 1 4 5 5 5 1 4 3 Nun wird Standort 3 endgültig einbezogen und Standort 4 endgültig verboten. QEM - Chapter 1

  25. - - 7 1 2 1 3 3 2 3 6 4 6 5 6 7 5 1 1 3 5 3 5 1 5 5 5 3 1 1 3 • Iteration 3: • I1vl = {5}, I1 = {1,3}, I0 = {2,4} baue Nun wird Standort 5 endgültig einbezogen, da ein Verbieten nur Fixkosten von f5 = 5 einsparen würde aber die Transportkosten um δ5 = 7 steigern würde.. QEM - Chapter 1

  26. Ergebnis: • Standorte aus I1= {1,3,5} werden gebaut • Kunden {1,2,7} werden von Standort 1, Kunden {3,5} von Standort 3 und Kunden {4,6} von Standort 5 aus beliefert. • Gesamtkosten Z = 30 (etwas besser als ADD-Algorithmus) QEM - Chapter 1

  27. Improvement for WLP • verschiedene Vertauschungsmethoden (bei jedem Iterationsschritt): • je einen bezogenen Standort (aus I1) gegen einen verbotenen Standort (aus I0) austauschen und z.B. jene Vertauschung durchführen, die die größte Kostensenkung bewirkt (oder die erste, die eine Kostensenkung bewirkt) • nach den Regeln des DROP-Algorithmus jenen Standort entfernen, sodass die Kosten am meisten sinken (oder am wenigsten steigen) und dann nach dem ADD-Algorithmus solange Standorte hinzufügen, bis keine Kostensenkung mehr möglich ist. • nach den Regeln des ADD-Algorithmus jenen Standort hinzufügen, sodass die Kosten am meisten sinken (oder am wenigsten steigen) und dann nach dem DROP-Algorithmus solange Standorte entfernen, bis keine Kostensenkung mehr möglich ist. QEM - Chapter 1

  28. P-Median Number of facilities is fixed … p Typacally fixed costs are not needed (but can be considered if not uniform) QEM - Chapter 1

  29. i = 1, …, m j = 1, …,n xij ≤ yi j = 1, …,n i = 1, …, m For all i and j MIP for p-Median transportation cost+ fixed cost Delivery only from locations i that are built Satisfy total demand of customer j yi is binary xij non negative Exactly p facilities QEM - Chapter 1

  30. Design of Transport Networks Transportation Problem: Model & LP • Situation: • Location of warehouses and customers are given • Supply and demand given • Example: • 3 warehouses and 4 customers • Transportation cost per unit from i to j • Total demand must be = total supply QEM - Chapter 1

  31. i = 1, …, m j = 1, …, n i = 1, …, m; j = 1, …, n Data must satisfy Total demand = Total supply • m supplyers with supply si, i = 1, …, m • n customers with demand dj, j = 1, …, n • Transportation cost cij per unit from i to j, i = 1, …, m; j = 1, …, n • General formulation: • LP-Formulation: • variable: Transportation quantity xijfrom ito j Transportation cost Supply Demand Non negativity QEM - Chapter 1

  32. K = (10x11+5x12+6x13+11x14) + (x21+2x22+7x23+4x24) + (9x31+x32+4x33+8x34)  min • Supply: • x11 + x12 + x13 + x14 = 25 (i=1) • x21 + x22 + x23 + x24 = 25 (i=2) • x31 + x3 2+ x33 + x34 = 50 (i=3) : • In example: • Damand: • x11 + x21 + x31 = 15 (j=1) • x12 + x22 + x32 = 20 (j=2) • x13 + x23 + x33 = 30 (j=3) • x14 + x24 + x34 = 35 (j=4) • Non negativity: • xij 0 für i = 1, … , 3; j = 1, … , 4 QEM - Chapter 1

  33. Make use of special structure: • Solution: • As LP (o.k. but less efficient) • In each column exactly 2 of the m + n elements are ≠ 0 • Transportation simplex or network simplex • Starting solution • Iteration (stepping stone) QEM - Chapter 1

  34. 3.2.2. Eröffnungsverfahren – Ermittlung einer Basislösung 3.2.2.1 Eröffnungsverfahren: Nordwesteckenregel • 1.) Man stellt folgende Tabelle auf und füllt sie aus, wobei man von links oben (Nord-West) nach rechts unten vorgeht. • 2.) Man wählt nun den maximal möglichen Wert, sodass die gesamte Spalten- oder Zeilenressource aufgebraucht ist; ist die Zeilenressource aufgebraucht, geht man nach unten weiter, andernfalls nach rechts. • 3.) Ist nur mehr eine Zeile oder eine Spalte nicht gestrichen → wähle alle nichtgestrichenen xijdieser Zeile oder Spalte als Basisvariable (BV) mit maximal möglichen Werten → ansonsten weiter mit 2.) • Resultat: • immer eine zulässige Lösung (da Produktion = Nachfrage) • man hat genau m + n - 1 Basisvariablenxij • Die restlichen m*n – (m+n-1) Variablen müssen immer 0 sein (NBV) QEM - Chapter 1

  35. Nur mehr eine Zeile nicht gestrichen 15 10 • Beispiel: Ausgangslösung für das obige Transportproblem: 10 15 15 35 • Das nächste Beispiel zeigt, dass man durchaus mehrmals hintereinander nach rechts bzw. nach unten gehen kann: 5 15 10 20 10 25 QEM - Chapter 1

  36. Dabei kann auch Degeneration auftreten (eine oder mehrere der m+n-1 Basisvariablen werden Null) Letztere dürfen dann nicht weggelassen werden: Hier könnte man sowohl die Spalte als auch Zeile streichen. Wir dürfen aber nur eine streichen (zufällige Auswahl). • Vorteil: sehr einfach und sehr schnell 10 5 15 0 30 20 • Nachteil: Völlige Vernachlässigung des Kostenfaktors → meist keine gute Startlösung QEM - Chapter 1

  37. 3.2.2.2 Die Vogel - Approximation • 2.) In jeder noch nicht gestrichenen Zeile bzw. Spalte berechne man die Differenz zwischen dem kleinsten und dem zweitkleinsten noch nicht gestrichenen cij. • 1.) Man beginne mit dem selben Tableau wie bei der NW-Ecken-Regel wobei zunächst keine Zeile oder Spalte gestrichen ist. • 3.) In jener Zeile oder Spalte, wo diese Differenz am größten ist, wähle man das kleinste cij und mache das entsprechende xij maximal. • 4.) Ist die Spaltenressource aufgebraucht → streiche Spalte j, ODER ist die Zeilenressource aufgebraucht → streiche Zeile i. • 5.) Ist nur mehr eine Zeile oder eine Spalte nicht gestrichen → wähle alle nichtgestrichenen xij dieser Zeile oder Spalte als BV mit maximal möglichen Werten ansonsten weiter mit 2. QEM - Chapter 1

  38. 10 5 6 11 / / / 1 1 5 1 2 7 4 / / 1 2 9 1 4 8 / 5 25 3 3 4 8 1 4 2 2 4 3 • Beispiel: Ausgangslösung für das obige Transportproblem 25 15 10 10 20 30 5 25 • Vogel-Approximation → sog. Regret-Verfahren → nicht der unmittelbarer Gewinn oder Kostenersparnis sondern die abgeschätzten zukünftigen Gewinne oder Kosten. → es wird eine Entscheidung getroffen, die versucht zukünftigen Schaden (Regret) zu vermeiden. QEM - Chapter 1

  39. 3.2.2.3 Die Spaltenminimummethode • 2.) Von links beginnend suche man die erste noch nicht gestrichene Spalte • 1.) Man beginne mit dem selben Tableau wie bei der NW-Ecken-Regel wobei zunächst keine Zeile oder Spalte gestrichen ist. • 3.) In dieser Spalte wähle das kleinste noch nicht gestrichene cij und mache das zugehörige xij maximal. • 4.) Ist die Spaltenressource aufgebraucht → streiche Spalte j, ODER ist die Zeilenressource aufgebraucht → streiche Zeile i. • 5.) Ist nur mehr eine Zeile oder eine Spalte nicht gestrichen → wähle alle nichtgestrichenen xij dieser Zeile oder Spalte als BV mit maximal möglichen Werten ansonsten weiter mit 2. QEM - Chapter 1

  40. 15 20 30 25 • Beispiel: Ausgangslösung für das obige Transportproblem 10 0 • Beachte: • Spaltenminimummethode ist ein reines Greedyverfahren • einziger Ansatzpunkt: Kosten in der unmittelbaren Spalte • optimale Lösung bei der Beschäftigungsglättung QEM - Chapter 1

  41. 3.2.3 Exaktes Verfahren: MODI, stepping stone • Ausgangspunkt ist eine mittels einem Eröffnungsverfahren ermittelte Basislösung • Iterationschritt der Transportximplexmethode: • Man stellt das kleine mn-Tableau wie im Initialisierungsschritt auf, aber trägt zusätzlich in das linke obere Eck jeder Zelle die Kosten cij ein und in die Mitte der Zelle bei den Basisvariablen deren Wert (fett gedruckt). • Vorgangsweise wie bei Simplexmethode, aber mit weniger Speicherbedarf QEM - Chapter 1

  42. Für die aktuelle Basislösung werden die ui und vj berechnet, nach der Regel [MODI] cij = ui + vj wenn xijeine BV ist • Die Werte werden außen in das erweiterte Tableau eingetragen. Da die ui und vj nicht eindeutig bestimmt sind, wird eine dieser dualen Variablen mit dem Wert 0 normiert. Dazu wählt man am besten jene, in deren Zeile/Spalte die meisten BV stehen. (Dies erleichtert die weitere Berechnung der ui und vj) • Bei allen NBV wird der Koeffizient in der Zielfunktion, also cij – ui – vj errechnet und eingetragen. Die neue BV ist jene mit dem am stärksten negativen solchen Koeffizienten.Sind hingegen alle Koeffizienten nicht-negativ, so ist die optimale Lösung erreicht. • Erhöhe die neue BV und betrachte die Kettenreaktion, die sich dadurch bei den anderen BVn ergibt. Man beachte dabei, dass sich Zeilen- und Spaltensummen der transportierten Mengen (Werte der BV) nicht ändern dürfen. Jene BV, die als erste gleich 0 wird, scheidet aus. [stepping stone] • Bestimme die neue Basislösung, d.h. führe die Kettenreaktion durch und führe den nächsten Schritt durch. QEM - Chapter 1

  43. -4 -3 15 10 -6 -7 10 15 5 2 15 35 • Zur Illustration wird die mittels NW-Ecken-Regel bestimmte Ausgangslösung verwendet, welche in das erweiterte Tableau eingetragen wird. Dann werden ui und vj gemäß Punkt 1 berechnet (wobei u1=0). Danach werden Koeffizienten der NBV gemäß Punkt 2 berechnet. Lösung des obigen Beispiels: 0 -3 -6 10 5 10 14 QEM - Chapter 1

  44. Als Probe kann bei jedem Iterationsschritt überprüft werden, ob primale und duale Zielfunktion den gleichen Wert haben: • Die Gesamtkosten dieser Lösung sind 10*15 + 5*10 + 2*10 + 7*15 + 4*15 + 8*35 = 665. • K = 25*0 + 25*(-3) + 50*(-6) + 15*10 + 20*5 + 30*10 + 35*14 = 665 • Das am stärksten negative Element cij – ui – vj bei den NBV ist der Koeffizient -7 bei x24neue Basisvariable x24. • Kettenreaktion: erhöhe den Wert der neuen BV um  und betrachte die Auswirkungen auf die anderen BV (da die Summe aller BV einer Spalte bzw. einer Zeile nicht verändert werden darf, muss in einer Zeile, in der  in einer Spalte addiert wird, auch wieder  in einer anderen Spalte subtrahiert werden. Analog für die Spalten. Die BV, die  am stärksten beschränkt, scheidet aus. QEM - Chapter 1

  45. -4 -3 0 15 10 -6 -7 -3 10 5 2 -6 10 5 10 14 • Neue BV x24 hat den Wert 0 → wird um den Wert  erhöht. Bei den anderen BVn wird +  oder -  addiert. • Wenn x24 um  steigt, müssen x23 und x34 und  sinken, wodurch x33 um  erhöht werden muss. Für  = 15 wird x23 gleich 0 → BV x23 scheidet aus. • Kettenreaktion: K = 665 – 7 *  = 665 – 7*15 = 560 15- +  15+  35-  QEM - Chapter 1

  46. 3 4 15-  -6 7 10-  15 -2 -5 30 20 • x34 = 35-15 = 20 • x33 = 15+15 = 30 • x23 ist keine BV mehr und alle anderen BV bleiben gleich. • Nächster Iterationsschritt: • neue BV x24 bekommt den Wert =15 → Kettenreaktion K = 560 – 6 *  = 560 – 6*10 = 500 0 10+  -3  1 10 5 3 7 QEM - Chapter 1

  47. -3 -2 5-  6 7 10+  4 1 30-  20+  K = 500 – 3 *  = 500 – 3*5 = 485 • nächster Iterationsschritt: 0 20  -9 15-  -5 10 5 9 13 QEM - Chapter 1

  48. 3 1 3 7 4 -2 K = 485 – 2 *  = 485 – 2*20 = 445 • nächster Iterationsschritt: 0 20- 5+  -6 15 10 -2 25  25-  7 5 6 10 QEM - Chapter 1

  49. 3 2 1 5 7 4 Bei allen NBVn stehen positive Ko-effizienten → optimale Lösung gefunden. 2 • nächster Iterationsschritt: 25 • Basisvariablen: • x13 = 25 • x21 = 15 • x24 = 10 • x32 = 20 • x33 = 5 • x34 = 25 -4 15 10 0 25 20 5 5 1 4 8 • Gesamte Transportkosten:K = 445 QEM - Chapter 1

  50. 3.2.3.1 Sensitivitätsanalyse • Aus der Dualitätstheorie kann man sehr leicht ableiten, dass die Datenänderung • Das Transportproblem ist ein LP-Problem mit Gleichheitsbeschränkungen. Aus diesem Grund dürfen die dualen Variablen ui bzw. vj auch negativ sein (freie Variablen). sisi +  für ein i unddjdj +  für ein j bei (kleinen Änderungen der rechten Seiten si und dj) die dualen Variablen ui und vj nicht ändert, sodass sich die Zielfunktion um (ui + vj) ändert: K  K + (ui + vj) • Klarerweise müssen ein si und ein djgleichzeitig geändert werden, da sonst die Summen der angebotenen und nachgefragten Mengen nicht mehr übereinstimmen würden. QEM - Chapter 1

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