INSTRUMENTY POCHODNE

1. INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE

2. Instrumenty pochodne /definicja • Instrument pochodny – umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji. Przedmiotem transakcji mogą być towary lub produkty finansowe, których cena uzależniona jest od wybranych indeksów giełdowych, kursów walut, stóp procentowych, itp. • Termin wykonania transakcji oraz cena transakcji są ustalone w momencie jej zawierania. • Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

3. Instrumenty pochodne / charakteryzacja Elementy składowe instrumentu pochodnego • Rodzaj transakcji (kupno-sprzedaż, wymiana płatności, wymiana walut) • Instrument bazowy (towar, akcja, kurs walutowy, indeks giełdowy, stopa procentowa, inny instrument pochodny) • Termin wygaśnięcia kontraktu (dzień, przedział czasowy) • Obowiązki i prawa stron • Sposób rozliczenia i realizacja kontraktu

4. OPCJE / DEFINICJA • Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego) po z góry ustalonej cenie i w ciągu umówionego okresu lub w wyznaczonym terminie. • Opcja jest to umowa dająca jej posiadaczowi prawo do wykonania określonej czynności w określonym momencie lub przedziale czasu.

5. CELE ZAWIERANIA KONTRAKTÓW OPCYJNYCH • Zabezpieczenia przed niekorzystnymi zmianami cen instrumentu bazowego • Spekulacji na spadku lub wzroście instrumentu bazowego • Arbitrażu między rynkiem instrumentów pochodnych a rynkiem instrumentów bazowych

6. INSTRUMENTY BAZOWE DLA OPCJI • Stopy procentowe opcje na kontrakty futures na stopy procentowe opcje na kontrakty FRA (forward rates agreement) opcje na kontrakty wymiany (swapy) • Waluty opcje na kursy walutowe opcje na walutowe kontrakty futures • Akcje opcje na poszczególne akcje opcje na kontrakty futures na indeksy akcji • Towary opcje na towary opcje na towarowe kontrakty futures

7. EUROPEJSKA OPCJA KUPNA NA AKCJE (CALL) • Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania • Opcja posiada swoją wartość. Premia jest to cena, którą musimy zapłacić za nabycie opcji. • Przykład : akcja PKN kosztuje 33 zł. Europejska opcja kupna z ceną wykonania 38 zł wygasająca 23 marca 2010 roku daje jej nabywcy prawo kupienia jednej akcji PKN za 38 zł w dniu 23 marca 2010 roku. (W praktyce opcje nabywa się w ustalonych pakietach pozwalających kupić większe ilości akcji)

8. OPCJE AMERYKAŃSKIE • Prawo (bez obowiązku) kupna akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości (OPCJA KUPNA) • Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, do określonego momentu w przyszłości (OPCJA SPRZEDAŻY)

9. EUROPEJSKA OPCJA SPRZEDAŻY NA AKCJE (PUT option) • Prawo (bez obowiązku) sprzedaży akcji określonej spółki po z góry ustalonej cenie, zwanej ceną wykonania, w określonym momencie w przyszłości zwanym datą wykonania

10. STRONA KUPUJĄCA, STRONA WYSTAWIAJĄCA • KAŻDY INWESTOR MOŻE BYĆ • NABYWCĄ OPCJI (KUPUJĄCYM) • WYSTAWCĄ OPCJI (SPRZEDAJACYM) • (dotyczy to obu rodzajów opcji : kupna, sprzedaży) • o nabywcy mówimy że : ZAJĄŁ DŁUGĄ POZYCJĘ NA OPCJI • o wystawcy mówimy że : ZAJĄŁ KRÓTKĄ POZYCJĘ NA OPCJI

11. RAWA I OBOWIAZKI WYSTAWCY, NABYWCY

12. Funkcja wypłaty / europejskaopcja kupna K - cena realizacji (wykonania) T- data wygaśnięcia opcji ST - cena w momencie T walorubazowego, na który wystawiona jest opcja Jeśli w chwiliT cena rynkowa waloru (ST) jest większa od ceny wykonania K, to posiadający opcję kupna uzyskuje kwotęST - K , ( opcja daje mu prawo do zakupienia waloru za cenę K, który może sprzedać po cenie rynkowej wynoszącej ST). Jeśli ST ≤ K, to opcja kupna jest bezwartościowa i nie zostanie zrealizowana. Niech Coznaczać będzie cenę opcji kupna a P będzie ceną opcji sprzedaży

13. Funkcja wypłaty / europejskaopcja kupna Definicja Funkcję zdefiniowaną wzorem nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji kupna.

14. Funkcja wypłaty / europejskaopcja sprzedaży Jeżeliw chwili Tcena rynkowa ST waloru będzie niższa niż cena realizacji K, to posiadacz opcji sprzedażyuzyskuje kwotęK- ST>0 (opcja daje prawo do sprzedaży w cenieK waloru, który można kupić za ST). Jeżeli ST ≥ K to opcja sprzedaży jest bezwartościowa.

15. Funkcja wypłaty / europejskaopcja sprzedaży Funkcję zdefiniowaną wzorem nazywamy funkcją wypłaty dla posiadacza opcji sprzedaży.

16. Zysk posiadacza opcji kupna (long call)

17. Zysk wystawcy opcji kupna (short call) C – cena opcji kupna (premia)

18. Zysk posiadacza opcji sprzedaży (long put)P – cena opcji sprzedaży (premia)

19. Zysk wystawcy opcji sprzedaży (short put)P – cena opcji sprzedaży (premia)

20. Zagadnienia • Wycena opcji kupna w modelu jednookresowym • Wycena opcji sprzedaży w modelu jednookresowym • Wycena opcji kupna w modelu dwuokresowym • Wycena opcji kupna w modelu dyskretnym wielookresowym • Algorytm wsteczny wyceny • Wzór na wycenę

21. Wycena opcji – model dwumianowy Autorzy (1979) : John Cox Stephen Ross Mark Rubinstein Model dwumianowy wyceny opcji zakłada,że zmiany ceny instrumentu bazowego kształtują się zgodnie z rozkładem dwumianowym.

22. Wycena opcji – model dwumianowyzałożenia o rynku doskonałym oprocentowanie depozytów i kredytów bankowych jest jednakowe wysokość zaciąganych kredytów nie jest ograniczona zapewniona jest płynność obrotu wszystkimi aktywami nie ma żadnych kosztów związanych z zawieraniem transakcji wszystkie aktywa są doskonale podzielne dopuszczalna jest krótka sprzedaż aktywów brak możliwości arbitrażu

23. Arbitraż • Możliwość uzyskania zysku ponad stopę wolną od ryzyka, bez ryzyka ponoszenia strat • Możliwość uzyskania zysku z różnicy cen, gdy walor handlowany jest na dwóch rynkach

24. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Instrument bazowy - akcja Cel: określenie ceny opcji kupna C0 Dane: cena realizacji - K cenapoczątkowa akcji - S0 cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu w przypadku spadku stopa wolna od ryzyka - r Zakładamy ponadto że - wycena będzie dokonana w warunkach obojętności wobec ryzyka, tzn. cena opcji nie będzie zależała od późniejszego zachowania akcji - akcja nie przynosi dywidendy - rynek jest doskonały

25. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład cena realizacji – 110 zł cenapoczątkowa akcji - 100 zł cena akcji po upływie okresu w przypadku wzrostu – 150 zł w przypadku spadku – 70 zł okresowa stopa wolna od ryzyka - 20 %

26. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku wzrostu ceny akcji Wartość opcji (funkcja wypłaty) po upływie jednego okresu w przypadku spadku ceny akcji

27. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład • Rozważmy portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczamy symbolem ∆0 • Wartość portfela po upływie jednego okresu będzie wynosić: - gdy cena akcji wzrośnie - gdy cena akcji spadnie.

28. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Zgodnie z założeniami portfel ma być wolny od ryzyka, czyli spełniać warunek oznacza to, że Stąd∆0 = 0,5 Portfel powinien składać się z długiej pozycji w akcjach w liczbie 0,5 oraz z krótkiej pozycji opcji kupna w liczbie 1. W obu przypadkach (wzrostu bądź spadku ceny akcji) wartość portfela po upływie jednego okresu wynosi 35 zł.

29. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład Aby po jednym okresie uzyskać z lokaty 35 zł należyw chwili początkowej zainwestować kwotę: Oznacza to, że wartość jego portfela (∆0 , - 1) w chwili początkowej musi być równa V0= 29,17 zł. (Portfel jest wolny od ryzyka, dlatego jego okresowa stopa zwrotu musi być równa 20%). Z drugiej strony wartość portfela w chwilipoczątkowej można przedstawić w postaci stądC0 = 20,83

30. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przykład • Cena opcji C0 = 20,83 zł jest tzw. ceną arbitrażową, lub ceną fair. • Gdyby cena opcji była większa, to inwestor potrzebowałby mniej niż 29,17 zł na konstrukcję portfela w chwili początkowej, zatem roczny zysk byłby większy niż 20%, czyli. istniałaby możliwość arbitrażu. (C0 = 22, to wartość portfela początkowego 28 zł, końcowego 35, zysk 25%) • Gdyby cena opcji była mniejsza niż 20,83 zł , (np. 20 zł) to inwestor powinien zająć pozycję odwrotną (sprzedać akcje, kupić opcję, uzyskane pieniądze ze sprzedaży zdeponować na koncie). Ale wtedy upływie okresu wartość portfela byłaby większa niż 35 zł, (36 zł).

31. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Rozważmy - jak w przykładzie - portfel składający się z jednej opcji kupna w pozycji krótkiej oraz pewnej liczby akcji ∆0 Portfel ma być wolny od ryzyka tzn: czyli gdzie

32. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Gdyby d > 1+r, to możliwy byłby arbitraż polegający na możliwości zaciągnięcia nieograniczonego kredytu przy stopie r oraz inwestycja w akcje. Gdyby 1+r >u, to możliwy byłby arbitraż polegający na krótkiej sprzedaży akcji i ulokowanie pieniędzy na lokacie o oprocentowaniu r.

33. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny Skoro portfel jest wolny od ryzyka, jego roczna stopa zwrotu musi być równa stopie zwrotu wolnej od ryzyka. Zatem: wart. końc. portf./(1+r)= wart. początk. portf. Stąd wyliczając C0otrzymujemy (uwzględniając wzór na delta)

34. Po uproszczeniach otrzymujemy

35. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. Przypadek ogólny. Podsumowanie Cena europejskiej opcji kupna w dwustanowym modelu jednookresowym (przy wcześniejszych oznaczeniach) dana jest wzorem zatem

36. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji sprzedaży. Cena europejskiej opcji sprzedaży z ceną realizacji K w jednookresowym modelu dwumianowym wynosi: gdzie P1u oraz P1u oznaczają wartości opcji sprzedaży odpowiednio po wzroście lub spadku akcji, czyli Dowód w przypadku opcji sprzedaży można uzyskać naśladując postępowanie z dowodu dla opcji kupna

37. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. UWAGI 1. Wzór określający cenę opcji kupna nie zawiera wartości prawdopodobieństw wzrostu ani spadku ceny akcji. 2.Liczby p i (1-p) można interpretować jako prawdopodobieństwo (odpowiednio) wzrostu, spadku ceny akcji Przy takiej interpretacji cena opcji kupna jest oczekiwaną wartością funkcji wypłaty zdyskontowaną czynnikiem (1+ r).

38. Model dwustanowy jednookresowy wyceny opcji kupna. UWAGI Przy przyjętej interpretacji liczb p i (1- p) wartość oczekiwana ceny akcji po roku jest równa przyszłej wartości kwoty S0 przeznaczonej na zakup akcji czyli Dowód

39. Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji

40. Model dwustanowy dwuokresowy • gdzie

41. Model dwustanowy dwuokresowy wyceny opcji kupna. Zmienność wartości opcji • Oznaczenia wartości opcji w węzłach

42. Model dwustanowy dwuokresowy Stosując wzór na wycenę opcji kupna w modelu jednookresowym dla węzłów (b), (c) otrzymujemy Znając te wyceny można wyznaczyć cenę opcji w chwili początkowej - czyli w węźle (a)

43. Model dwustanowy dwuokresowy Podstawiając dwa poprzednie wzory do ostatniego otrzymujemy Mamy więc

44. Model dwustanowy dwuokresowy 1. Podobnie jak dla wyceny opcji w modelu jednookresowym liczby można interpretować jak prawdopodobieństwa odpowiednio dwukrotnego wzrostu ,wzrostu i spadku oraz dwukrotnego spadku akcji. 2. Wzór na wycenę opcji można przedstawić następująco

45. Model dwustanowy n – okresowyUogólnienie wzoru na wycenę opcji kupna dla modelu dwuokresowego wycena opcji kupna w modelu dwuokresowym: wycena opcji kupna w modelu n - okresowym:

46. Interpretacja wzoru na wycenę opcji kupna w modelu n - okresowym Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba jest prawdopodobieństwem uzyskania ceny końcowej akcji ukdn-kS0, zaś liczba Max(ukdn-kS0-K,0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji kupna przy tej cenie akcji. Liczba C0 jest więc równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty.

47. Model dwustanowy n – okresowyWzór na wycenę opcji sprzedaży Jeżeli p potraktujemy jako prawdopodobieństwo wzrostu akcji, to liczba P0 jest równa zaktualizowanej na moment początkowy oczekiwanej wartości funkcji wypłaty opcji sprzedaży. Liczba Max(K-ukdn-kS0, 0) jest wartością (funkcją wypłaty) opcji sprzedaży przy cenie akcji ukdn-kS0.

48. Model dwustanowy wielookresowyPrzykład wyceny w modelu 10 - etapowym • Dokonamy wyceny opcji kupna przy następujących danych

49. Model dwustanowy wielookresowy Algorytm wyceny w modelu 10 – etapowym • Zbudowanie siatki cen akcji w modelu dwumianowym • Ustalenie funkcji wypłaty opcji ( max{ cena końcowa akcji – cena realizacji opcji, zero}) • Wycena opcji w węzłach sieci etapu 9, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym • Wycena opcji w węzłach sieci etapu 8, ze wzoru na wycenę w modelu jednoetapowym • Itd. • Wycena opcji w momencie początkowym

50. Przykład wyceny w modelu 10 – etapowym Siatka cen akcji w modelu dwumianowym