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Définition #1: Champ vectoriel

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Définition #1: Champ vectoriel - PowerPoint PPT Presentation


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Définition #1: Champ vectoriel. Vector field . Champ vectoriel. Équivalent à une fonction vectorielle. Point. Vecteur. Si f est un champ vectoriel «  smooth  ». f est différentiable un nombre infini de fois. Définition #2: Dérivée de Lie…. …de h par rapport à f (Lie derivative ).

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
d finition 1 champ vectoriel
Définition #1: Champ vectoriel
  • Vectorfield.

Champ vectoriel

Équivalent à une fonction vectorielle

Point

Vecteur

Si f est un champ vectoriel « smooth »

f est différentiable un nombre infini de fois

d finition 2 d riv e de lie
Définition #2: Dérivée de Lie…
  • …de h par rapport à f (Lie derivative).

Fonction scalaire

Champ vectoriel

Scalaire

Semblable à la dérivée de h dans la direction de f

Gradient de h

Produit scalaire

pertinence de la d riv e de lie par rapport aux syst mes dynamiques
Pertinence de la dérivée de Lie par rapport aux systèmes dynamiques
  • Soit le système suivant:
  • Alors:
        • Et ainsi de suite…
d finition 3 lie bracket
Définition #3: « Lie bracket »…
  • …de f et g.

Champ vectoriel

Champ vectoriel

Jacobiennes

pertinence des lie brackets par rapport aux syst mes dynamiques
Pertinence des « Lie brackets » par rapport aux systèmes dynamiques
  • Soit le système suivant:

Directions du mouvement instantané

Aussi directions de la vitesse instantanée

Combinaison linéaire de f et g

la contr labilit en question
La contrôlabilité en question
  • Étant donné l’état initial x0 et l’état final désiré xd, tel que:
  • Existe-t-il une séquence d’entrées u1 et u2 qui va faire en sorte que l’état du système passe de x0 à xd?

Oui, mais seulement si [f,g](x0) ≠ 0

lemme 1
Lemme 1
  • Considérez la séquence de commande suivante:
  • Alors:

Petit

Termes d’ordre élevés

preuve
Preuve
  • Utilisant les séries de Taylor…
preuve1
Preuve
  • Suite …
  • Puis:
preuve2
Preuve
  • Et enfin:
  • Donc x(4h) ≠ x0.
d finition 4 diff omorphisme
Définition #4: Difféomorphisme
  • Diffeomorphism

Région ouverte

est « smooth »

Fonction vectorielle

Telle que:

existe

est aussi « smooth »

lemme 2
Lemme 2
  • Supposons:
    • une fonction « smooth »;
    • non singulière;
  • Alors:
    • Il existe une région Ω (dans laquelle x0 est inclus) tel que est un difféomorphisme local.

A un certain point

Jacobienne

pertinence des diff omorphismes par rapport la lin arisation entr e tat
Pertinence des difféomorphismes par rapport à la linéarisation entrée-état
  • Soit le système suivant:
  • … et un difféomorphisme donné:

Transformation algébrique d’état

cela m ne
Cela mène à…
  • … une équation équivalente dans le nouvel espace d’état:

Le travail à faire, c’est de trouver un difféomorphismeφ tel que les nouvelles équations d’état soient sous la forme compagnon d’un système non-linéaire. (NSCF)

forme compagnon d un syst me non lin aire
Forme compagnon d’un système non linéaire
  • Voici ce que l’on désire:
  • Pourquoi ???
forme compagnon d un syst me non lin aire1
Forme compagnon d’un système non linéaire
  • Soit la commande linéarisante suivante:
  • Alors:

Nouvelle commande

forme compagnon d un syst me non lin aire2
Forme compagnon d’un système non linéaire
  • C’est la forme compagnon d’un système linéaire.
  • Et on aura:

n-ième dérivée

Ce système correspond à une chaine de n intégrateurs avec l’entrée v sur le premier et la sortie x sur le n-ième…

proc dure
Procédure
  • Point de départ:
    • Avoir une fonction non-linéaire:
    • Exemple:
proc dure tape 1
Procédure – étape 1
  • Construire:
    • Exemple:
proc dure tape 2
Procédure – étape 2
  • Vérifier la contrôlabilité et l’involutivité.
    • Exemple:
    • Et, il est maintenu tant que –a cos x2 ≠ 0. Pour assurer l’involutivité, il faut que x2 ne force jamais le cosinus à être à 0.
proc dure tape 3
Procédure – étape 3
  • Construire une fonction telle que:
    • Exemple:
proc dure tape 4
Procédure – étape 4
  • Calculer le diffémorphisme:
    • Exemple:
proc dure tape 5
Procédure – étape 5
  • Définir la commande u comme étant:
    • Exemple:
fin de l exemple
Fin de l’exemple
  • Puisque:
  • Alors:
fin de l exemple1
Fin de l’exemple
  • Le système équivalent est donc:
  • On peut alors concevoir une commande par retour d’état…
proc dure1
Procédure
  • Point de départ:
    • Avoir une fonction non-linéaire:
    • Exemple:
proc dure tape 11
Procédure – étape 1
  • Dériver y jusqu’à faire apparaitre u dans la r-ième dérivé:
    • Traduction:
    • Exemple:

Degré relatif

 Degré relatif : r = 1

proc dure tape 21
Procédure – étape 2
  • Construire des fonctions telles que:
    • Exemple:
proc dure tape 32
Procédure – étape 3
  • Calculer:
    • Exemple:
proc dure tape 41
Procédure – étape 4
  • Dériver les équations du système:
    • Or:
bilan
Bilan
  • La forme obtenue ressemble à:
commande
Commande
  • Choisir la commande équivalente suivante:
    • Exemple:
mais il faut v rifier la dynamique de
Mais, il faut vérifier la dynamique de η
  • Dynamique appelée la dynamique du 0 (zerodynamics).
  • Il faut vérifier que est asymptotiquement stable.
    • Si oui, notre design convient.
    • Si non, on a un grave problème…
    • Exemple:

On a justement un problème !!!!