1 / 95

Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/Discretos

Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/Discretos. M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez. Sistemas Analógicos. Se usan para procesar señales analógicas y se describen empleando ecuaciones diferenciales

Download Presentation

Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/Discretos

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/Discretos M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

  2. Sistemas Analógicos • Se usan para procesar señales analógicas y se describen empleando ecuaciones diferenciales • La clase de sistemas lineales invariantes en el tiempo también se pueden describir por su respuesta al impulso

  3. Definiciones • Un sistema físico es una interconexión de dispositivos y elementos sujetos a leyes físicas • Un sistema analógico es un sistema de tiempo continuo • La señal que se va a procesar se llama excitación y la señal procesada se llama respuesta

  4. Modelar un sistema significa abstraer las características del sistema • Una especificación del sistema requiere una descripción en términos de su estructura y la otra por su nivel de energía o estado (estado aterrizado, relajado, cero). Aquí se emplean métodos de variables de estado • El comportamiento del sistema depende no sólo de la energía en un instante. Los valores iniciales de las variables de estado definen las condiciones iniciales

  5. Operadores en tiempo contínuo • Una ecuación se basa en operadores • Un operador es una regla o un conjunto de instrucciones (un procedimiento) que nos dice como transformar una función en otra: • Ej: el operador sd/dt transforma una función de x(t) a y(t)=s{x(t)}

  6. Un operador se representa por el símbolo O, O{x(t)}=y(t) • Ej: La operación O{}=4d/dt{}+6 indica que para obtener y(t), debemos derivar x(t), multiplicar por 4 y sumar 6 al resultado para obtener 4d/dt{x(t)}+6=4dx(t)/dt+6=y(t)

  7. Operadores lineales • Operador aditivo: O{x1(t) + x2(t)}=O{x1(t)} + O{x2(t)} • Operador homogéneo: O{kx(t)}=kO{x(t)} Las dos operaciones juntas describen el principio de superposición: O{Ax1(t) + Bx2(t)}=AO{x1(t)} + BO{x2(t)}

  8. Ej: Considere el operador O{}=log{} Puesto que log(Kx)  Klogx, el operador no es lineal, porque no es homgéneo • Ej: Considere el operador O{}=C{}+D Aplicando la prueba de homogeneidad O{Ax(t)}=ACx(t)+D pero AO{x(t)}=A(Cx(t)+D) Las dos difieren, la operación no es lineal

  9. Clasificación de sistemas contínuos • Los sistemas se modelan por ecuaciones diferenciales y relacionan la salida y(t) con la entrada x(t): y(n)(t)+a1y(n-1)(t)+…+any(1) (t) = b0x(m)(t)+b1x(m-1)(t)+…+bmx(m)(t) El orden n describe la derivada más alta de la salida y(t). Los coeficientes pueden ser funciones de x(t) y/o y(t)

  10. Usando el operador derivada skdk/dt con s01, se puede expresar esta ecuación en notación de operadores como {sn + a1sn-1 +…+ ans1}y(t) = {b0sm + b1sm-1 +…+bm}x(t)

  11. Linealidad • Un sistema lineal es aquel para el cual se aplica la superposición e implica: • El sistema de ecuaciones debe incluir sólo operadores lineales • No debe contener fuentes internas independientes • Debe ser relajado (c.i.=0)

  12. ¿Qué hace a un sistema no lineal? • Elementos no lineales • Condiciones iniciales distintas de cero • Fuentes internas

  13. Salida Salida Salida Salida Entrada Entrada Entrada Entrada • Linealidad a partir de la relación entrada-salida

  14. Invariante en el tiempo • Implica que la forma de la respuesta y(t) depende sólo de la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en el que se aplica: O{x(t-t0)}=y(t-t0)

  15. Ej: y(t)=x(t)x’(t) es no lineal pero invariante en el tiempo La operación es O{}=({})(d/dt{}) A O{x(t)}=A[x(t)x’(t)], pero O{Ax(t)}=[Ax(t)][Ax’(t)]. No son iguales • Ej: y(t)=x(t) es lineal pero variante en el tiempo. Con t  t, vemos que AO{x(t)}=A[x(t)] y O{Ax(t)}=Ax(t) son iguales

  16. x(t) y1(t) y1(t-2) 1 1 1 Escala de tiempo (comprimida por 2) Escala de tiempo (comprimida por 2) 4 2 2 4 Retraso 2 unidades x(t-2) y2(t) 1 1 No es lo mismo 2 6 3 1

  17. Ej: y(t)=tx(t) es lineal, pero variante en el tiempo. La operación es O{}=t{} AO{x(t)}=A[tx(t)] y O{Ax(t)}=t[Ax(t)] son iguales • Ej: y(t)=ex(t)x(t) es no lineal pero invariante en el tiempo. La operación es O{}=e{}{} AO{x(t)}=Aex(t)x(t) pero O{Ax(t)}=eAx(t) [Ax(t)] No son iguales O{x(t-t0)}=ex(t-t0)x(t-t0) y y(t-t0)=ex(t-t0)x(t-t0). Iguales

  18. Sistemas LTI • Se describen con ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Para probar no linealidad o invariante en el tiempo verificamos que: • Los términos contienen productos de la entrada y/o salida. Un término constante hace no lineal a una ecuación • Los coeficientes de la entrada o la salida que son funciones explícitas de t, hacen variante al sistema o bien las entradas o salidas escaladas en el tiempo, como y(2t)

  19. Ejemplos: • y’(t)-2y(t) = 4x(t). Es LTI • y’’(t) – 2ty’(t) = x(t). Es lineal, pero variante • y’(t) + 2y2(t) = 2x’(t) – x(t). No lineal, invariante • y’(t) – 2y(t) = ex(t)x(t). No lineal, invariante • y’(t) – 4y(t)y(2t) = x(t). No lineal y variante

  20. + 3i2(t) - 3 i(t) i(t) v(t) 2H v(t) 2H 3 3t  i(t) i(t) v(t) v(t) 2H 2H 4V - +

  21. Implicaciones de LTI • La representación de una señal arbitraria x(t), como: • Una suma ponderada de impulsos, es la base para el método de convolución • Una combinación lineal de armónicas es la base de la serie de Fourier • Una serie ponderada de exponenciales complejas es la base de la Transformada de Fourier y Laplace

  22. Causalidad • Un sistema causal o no anticipativo es aquel para el que la respuesta presente no depende de valores futuros de la entrada • Una ecuación describe un sistema no causal, si los términos de la salida tienen un argumento de la forma y(t) y un término de la entrada tiene el argumento x(t+)

  23. Memoria • En un sistema dinámico o con memoria, se caracteriza por ecuaciones diferenciales donde la respuesta presente depende de entradas presentes y pasadas (debido a elementos almacenadores de energía) • Por contrario, en los sistemas estáticos (como circuitos resistivos que operan en estado estacionario) la respuesta depende sólo del valor instantáneo de la entrada

  24. Ej: y’’(t) + 2ty’(t) = x(t), causal y dinámico y(t) = x(t) + 3, causal e instantáneo, no lineal y(t) = 2(t+1)x(t), causal e instantáneo, variante y’(t) + 2y(t) = x(t+5), anticausal y dinámico y’(t+4) + 2y(t) = x(t+2), causal y dinámico y(t) = x(t+2), anticausal y dinámico (los argumentos de x y y difieren) y(t) = 2x(t), causal e instantáneo si =1, causal y dinámico si <1, no causal y dinámico si >1

  25. Análisis de Sistemas LTI • Se pueden analizar por medio de: • Ecuaciones diferenciales: Sistemas no lineales y variantes en el tiempo, sistemas LTI. Su desventaja es que a medida que se incrementa el orden del sistema, las ecuaciones se vuelven difíciles • Variables de estado: describe un sistema de orden n, con n ecuaciones simultáneas de primer orden: sistemas no lineales, entradas y salidas múltiples. Para sistemas lineales se aplican métodos matriciales • Respuesta al impulso h(t): sistemas LTI relajados, la respuesta se obtiene de la suma de convolución

  26. Sistemas LTI con ecuaciones diferenciales • Una ecuación diferencial de orden n requiere n condiciones iniciales para su solución completa • El método de coeficientes indeterminados conduce a la respuesta como la suma de la respuesta natural yN(t) y la respuesta forzada yF(t)

  27. Respuesta natural • La forma de la respuesta natural depende sólo de los detalles del sistema y es independiente de la entrada • Es una suma de exponenciales cuyos exponentes son las raíces de la ecuación característica: y(n)(t) + a1y(n-1)(t) + …+ an-1y(1)(t) + any(t) = x(t) {a0sn + a1sn-1 + …+ an-1s + an} = x(t) a0sn + a1sn-1 + …+ an-1s + an=0

  28. Respuesta forzada • Es producto de la interacción del sistema con la entrada y depende de ésta y del sistema • La respuesta total se obtiene sumando primero las respuestas forzada y natural y después evaluando las constantes indeterminadas (en la componente natural), usando las c.i. dadas

  29. Ej: Considere el sistema de primer orden y’(t) + 2y(t) = x(t). Encuentre su respuesta si x(t)=6, y(0)=8 La ec. característica es s+2=0, la raíz s=-2 La resp. natural es yN(t)=Ke-2t Ya que x(t)=6 es constante, yF(t)=C y’F(t)=0 y y’F(t) + 2yF(t)=2C=6, yF(t)=C=3 La respuesta total es y(t)=yN(t)+yF(t)= Ke-2t + 3 Con y(0)=8, 8=K+3, K=5 y y(t)= 5e-2t +3=(5e-2t +3)u(t)

  30. La respuesta de estado cero • Se describe la respuesta y(t) de un sistema LTI como la suma de su respuesta de estado cero (ZSR), suponiendo condiciones iniciales cero y su respuesta de entrada cero (ZIR) • Cada componente se encuentra usando el método de coeficientes indeterminados • Las respuestas de estado cero y entrada cero obedecen a la superposición

  31. Ej: Considere y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t), con x(t)=4e-3t y c.i. y(0)=3, y y’(0)=4. Encuentre su respuesta de entrada cero y de estado cero La ec. característica es s2+3s+2=0, raíces s1=-1 y s2=-2. La respuesta natural es yN(t)=K1es1t + K2es2t = K1e-t + K2e-2t • La respuesta de entrada cero se encuentra de yN(t) y las c.i. yzi(t)= K1e-t +K2e-2t yzi(0)= K1+K2=3 y’zi(0)= -K1-2K2=4, K2=-7, K1=10 yzi(t)= 10e-t -7e-2t

  32. yzs(t) se encuentra de la forma general de y(t) pero c.i.=0 Ya que x(t)=4e-3t, se tiene yF(t)=Ce-3t Entonces y’F(t)=-3Ce-3t, y’’F(t)=9Ce-3t y’’F(t) + 3y’F(t) + 2yF(t)=(9C - 9C + 2C) e-3t = 4e-3t Así C=2, yF(t)= 2e-3t y yzs(t)=K1e-t + K2e-2t + 2e-3t Con c.i. se obtiene yzs(0)=K1+K2+2 = 0, y’zs(0)=-K1-2K2-6=0, Que resulta K2=-4, K1=2, y yzs(t)=2e-t -4e-2t +2e-3t • La respuesta total es la suma de yzi(t) y yzs(t) y(t) = yzi(t) + yzs(t) = 12e-t -11e-2t +2e-3t , t0

More Related