地域 (Regions)

1. 2010/03/21 国立オリンピック記念青少年総合センター（JOI 春合宿） 地域 (Regions) 秋葉 拓哉

2. 問題概要 • 辺に長さのついた木が与えられる • 頂点を M 個のグループに分ける • 各グループの直径の最大値を最小化せよ 元の木 M = 2 の場合 M = 3の場合

3. 最初の考察 M 個に分ける＝ M-1 本の辺を切る

4. 部分点 • M = 2とは，辺を 1 本だけ削除する場合

5. 木の直径 (1/6) • 木が与えられて，直径を計算する方法 • 辺の削除などはまだ考えない • まず，適当な頂点を根にする • 再帰的に計算する

6. 木の直径 (2/6) • 頂点 v 以下の部分木での直径 dia(v) • 頂点 v を通らない • 頂点 v を通る

7. 木の直径 (3/6) • その頂点を通らない • v の各子ノード x について • dia(x) は dia(v) の候補

8. 木の直径 (4/6) • 頂点 v を通る • 頂点 v の各子 x, y について • wv,x+ len(x) + wv,y+ len(y) • len(v) = v 発 v 以下の最長経路 • 頂点 v の各子 x について • len(v) = max x { wv,x + len(x) }

9. 木の直径 (5/6) • 動的計画法 • 頂点 v 以下の最長の経路 len(v) • 頂点 v 以下の部分木での直径 dia(v) len(v) = max x { wv,x + len(x) }（ x は v の子） dia(v) = max { max x, y { ( wv,x+ len(x) ) + ( wv,y+ len(y) ) }, （ x, y は v の子，x ≠ y） max x { dia(x) }（ x は v の子） } O(N) で計算できる

10. 木の直径 (6/6) • 別の方法 • ある頂点から最も遠い頂点 a を探す • 頂点 a から最も遠い頂点 b を探す • 頂点 a, b 間の距離が直径 • これでも O(N)

11. 20 点の解法 • M = 2 なので，辺は 1 本しか切らない • 全部の辺について，切断を試す • ある辺を切った際にできる 2 つのグループの直径を毎回求める • O(n2) なので，n ≦ 1000 ならば間に合う

12. 40 点の解法 (1/2) • 解について二分探索をする • 直径 D 以下の 2 つのグループに出来るか否かを判定する問題に帰着 • 答えを x 以下にできれば，x < y なる y について，y 以下にもできる • という性質から，二分探索ができる

13. 40 点の解法 (2/2) • 先程の DP を行う • ある頂点 vで dia(v) > D となってしまうなら，v に繋がる辺をどれか切る必要がある • この際に，wv,x+ len(x) が最も大きい x に繋がる辺を切れば良いことが示せる • 切断したら，残りの直径も求めて判定 • O(N log(答えの範囲) )

14. 40 点の別解 • 動的計画法を頑張ると O(N) • 複雑 • 直径となる経路に沿った DP で O(N) • 切られる辺は必ず直径となる経路に含まれる • 直径の DP をこれに沿って 2 方向に行う

15. 100 点の解法 • 40 点の解法と同様に，二分探索 + DP • 辺を切った後に，DP を続ける • 切断した回数を数える • 切断した回数 ≦ M - 1 であれば，OK