Perspektiver fra matematikdidaktisk forskning på brug af IT i matematikundervisning

1. Perspektiver fra matematikdidaktisk forskning på brug af IT i matematikundervisning Morten Blomhøj, IMFUFA, NSM, RUC 1. IT i matematikundervisningen som didaktisk problemfelt 2. Typer af elevvirksomhed i IT baseret undervisning 3. IT støtte til elevernes begrebsdannelse 4. IT som redskab til matematisk modellering 5. Didaktiske udfordringer ved integration af IT

2. Genstandsområdet for matematikdidaktisk forskning Lærer- uddannelse Forskning i matematik- didaktik Matematik Læreren Elevernes for- og baggrund Lærebøger Lærings- miljø Elev(erne) Curriculum Skole og resurser Bedømmelses-systemer (Blomhøj, 2008)

3. Overordnede forskningsspørgsmål vedrørende IT (1) Hvordan påvirker brug af IT samspillet mellem eleverne og mellem læreren og eleven/eleverne? (2) Hvordan kan brugen af IT påvirke elevernes virksomhed i undervisningen og deres læring af matematik? (3) Hvordan kan brugen af IT støtte elevernes dannelse af matematiske begreber? (4) Hvordan kan IT bidrage til udvikling af kompetencer inden for problemløsning og modellering? (5) Hvilke nye didaktiske udfordringer giver brugen af IT? (6) Hvilke forhold henholdsvis hæmmer og fremmer integration af IT i matematikundervisning?

4. “The evolution of the mathematical field has always been dependent on the computation tools available and the development of software for symbolic computation has had an increasing influence on mathematical practices and even on its problematics. School, as is the case every time that it faces an evolution of scientific and/or social practices, can neither stand apart from this evolution, nor ignore the new needs it generates.” (Artigue, 2005, p.232) “…want to be convinced that the internal efficiency of the educational system will be increased by such a change in teaching means. Computer technology are thus asked to prove that they can help teachers to face the recurrent difficulties of mathematics teaching and learning...” (Artigue, 1998, p.122)

5. Integration af IT i matematikundervisning må betyde - at relevante IT ressourcer er tilgængelige for eleverne og for læreren i og uden for undervisningen - at fastlæggelse af undervisningens indhold og mål for elvernes læring sker under overvejelse af mulighederne for anvendelse af IT rummer - at brugen af IT i undervisningen underordnes pædagogiske og didaktiske overvejelser om undervisningens form og indhold - at IT indgår som et integreret element i bedømmelse og vurdering af elevernes udbytte.

6. 2. Typer af elevvirksomhed i en IT-baseret undervisning • Om forsøget Den elektroniske skole • Hver elev sin personlige bærbar computer. • Storskærm til klasseundervisning. • Eleverne blev introduceret til tre avancerede programmer: • (1) Geometers SketchPad (dynamisk geometri) • (2) MathCad (integreret CAS program) • (3) QuattroPro (regneark). • Reduceret pensum (kun mindre udeladelser). • Computeren til rådighed under den skriftlige eksamen med hjælpemidler. • (Blomhøj,2001)

7. Tre typer af elevvirksomhed Resultater fra en kvalitativ interviewundersøgelse af elevernes IT-baserede opgaveløsning. • Elevernes virksomhed kan karakteriseres med tre typer: • En usikker og defensiv virksomhed • En løsningsorienteret virksomhed • En reflekterende virksomhed Tilsvarende i (Guin & Trouche, 2002) og (Mehanovic, 2010)

8. Den usikre og defensive virksomhed er karakteriseret ved, at eleverne • har et fremmedgjort forhold til egne besvarelser • søger efter formler i bogen og tidligere opgaver • gør forståelse til et spørgsmål om hukommelse og opfatter viden om programmerne og viden om matematik som værende af samme type • er ufølsom overfor output fra programmerne, bruger programmerne meget ensidigt og er afhængig af computeren i deres opgaveløsning • har en negativ holdning til brug af IT i matematik • forklarer læringsvanskeligheder i matematik med deres dårlige forhold til brugen af IT. Selvforstærkende negativ effekt på elevernes læring.

9. Den løsningsorienterede virksomhed er karakteriseret ved, at eleverne • bruger programmerne effektivt til besvarelse af de enkelte spørgsmål i opgaverne • forklarer deres fremgangsmåde ved at referere til hvordan de har brugt programmerne • er ukritisk overfor valg af metode • ikke opfatter brugen af IT som en integreret del af matematikundervisningen • generelt har en positiv holdning til IT og matematik Det kræver målrettet udfordringer fra læreren at overskride den løsningsorienterede virksomhed.

10. Den reflekterende virksomhed er karakteriseres ved, at eleverne • tegner og regner på papir før eller samtidig med de bruger programmerne • bruger ofte flere forskellige metoder og programmer, og har en undersøgende og eksperimenterende tilgang • er meget fleksible i deres anvendelse af programmerne, og følsomme over for output fra programmerne, • oplever brugen af IT som en integreret del af deres læreproces i matematik • har en meget positiv holdning til matematik og til at bruge IT i matematik. • Selvforstærkende positiv effekt på elevernes læring. EksemplerAreal4

11. 3. IT støtte til elevernes begrebsdannelse • Avancerede matematikprogrammer kan • støtte eleverne til at opbygge og undersøge forskellige repræsentationer af matematiske objekter • danne grundlag for en eksperimenterende og undersøgende arbejdsform ved introduktion af nye begreber og metoder • støtte elevernes arbejde med problemløsning og modellering • ændre på grundlaget for dialogen mellem eleverne og mellem elev og lærer.

12. Begrebsdannelsens personlige karakter - begrebsdefinition over for begrebsforestillinger • We shall use the term concept image to describe the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and processes ... As the concept image develops it need not be coherent at all times ... We will refer to the portion of the concept image which is activated at a particular time as the evoked concept image. At different times, seemingly conflicting images may be evoked. Only when conflicting aspects are evoked simultaneously need there be any actual sense of conflict or confusion. • (Tall & Vinner, 1981, p. 152)

13. Diskrepans mellem: • Formelle definition af et matematisk begreb som studerende undervises i Og • De mentale billeder og forestillinger som studerende danner sig gennem deres arbejde • Begrebsforestillinger: • Den totale kognitive struktur associeret med et begreb dannes gennem konkrete erfaringer med begrebet. • Begrebsforståelsen er derfor begrænset af den enkeltes erfaringer med begrebet. • Oplevede konflikter: • Uklare og selvmodsigende begrebsforestillinger opleves ofte kun som sådan, hvis de aktiveres samtidig i en konkret situation.

14. 1. hovedsætning i matematikkens didaktik For den enkelte elev/studerende får et matematisk begreb ikke større anvendelsesdomæne eller flere relationer til andre begreber end det domæne og de relationer, der udspændes af den pågældendes personlige erfaringer med begrebet. Og det gælder uanset hvilke formelle begrebsdefinitioner eleven/studenten undervises i. (Niss, 1999)

15. Brug af IT former undervisningsmiljøet Viden Undervisnings- miljø Elev(er) IT-værktøjer Didaktisk situation Lærer (Balacheff, 1993)

16. Instrumental genesis Instrumentalization Student(s) in activity Artefact IT tool Instrumentation

17. Instrumental genesis is an ongoing, non-trivial and time-consuming evolution. A bilateral relationship between the artifact and the user is established: while the student’s knowledge guides the way the tool is used and in a sense shapes the tool (this is called instrumentalization), the affordances and constraints of the tool influence the student’s problem solving strategies and the corresponding emergent conceptions (this is called instrumentation). (Drijvers et al., 2007) The dual nature of instrumentation and instrumentalization within instrumental genesis comes down to the student’s thinking being shaped by the artifact, but also shaping the artifact (Hoyles & Noss, 2003).

18. Model for udvikling af verdens befolkningen Intentionerne er, at de studerende • - anvender transformation af data og lineær regression til at afprøve forskellige modeller til beskrivelse af udviklingen af verdensbefolkningen • opstiller differentialligningen for eksplosiv vækst • løser ligningen analytisk • estimerer parametrene for eksplosiv vækst ved hjælp af lineær regression • overvejer hvad, der er relevante kriterier for at vurdere kvaliteten af en model for verdensbefolkningen • oplever en vekselvirkning mellem model og matematik- læring

19. Design af forløbet • Inden forløbet: De studerende er introduceret til lineær regression (og brugen af MatLab) og transformation af data samt residualplot som grafisk metode til vurdering af overensstemmelse mellem data og model. De har arbejdet med løsning af simple differentialligninger numerisk (MatLab) og analytisk (separation af de variable). • Gruppedannelsen: • - Selvdannede grupper (3-4 studerende) • - ”Dem der ikke gider lave noget”

20. Design af forløbet Evaluering: - Opponeringsvirksomhed (skriftlig/mundtlig) - Gensidig undervisning (fremlæggelse) - Rapportskrivning - Individuel mundtlig evaluering I 3-grupper arbejder de studerende på grundlag af data for verdensbefolkningen i perioden år 1650-1960 med at lave en model, der kan beskrive udviklingen og forudsige verdensbefolkningstallet i år 2100.

21. Data for verdensbefolkningen i millioner mennesker År 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1920 1940 1960 Mio 545 623 728 906 1171 1608 1834 2295 3003

22. Med udgangspunkt i disse data arbejder grupperne med følgende spørgsmål: • Kan data for verdensbefolkningen med rimelighed beskrives som eksponentiel vækst i perioden 1650-1960? • Kan data med rimelighed beskrives som eksplosiv vækst i perioden? • Formuleret som: • Tilvæksten er proportional med befolkningstallet i anden potens. • Arbejdet kan evt. støttes af følgende underspørgsmål: • Opstil differentialligningen for eksplosiv vækst. • Find den fuldstændige løsning til denne ligning. • Bestem den løsning, der passer bedst muligt til data.

23. Diskuter kvaliteten af eksplosiv vækst som model for verdensbefolkningen. Hjælpespørgsmål kunne være: I hvilken periode kan den eksplosive model beskrive udviklingen i verdensbefolkningen? Hvor mange mennesker var der i år 0 ifølge modellen? Hvornår levede Adam og Eva ifølge modellen? Hvad forudsiger modellen om verdensbefolkningen? Skaf selv nyere data for verdensbefolkningen og sammenlign med modellerne. Opstil evt. selv en anden model for verdensbefolkningen. Hvor mange mennesker skal vi (de) forvente at være i 2100?

26. Pædagogiske observationer • Vanskeligheder og potentialer ved den eksplosive model: • Opstilling af differentialligningen ud fra den sproglige beskrivelse samt at læse mening ind i ligningen. • Estimation af differentialkvotienter ved hjælp af differenskvotienter beregnet ud fra data. D17 • Estimation af parameteren ved lineær regression. • Bestemmelse af konstanten til den partikulære løsning, der passer bedst til data. D18 • Fortolkning af den eksplosive vækstfunktion som funktion og som model til beskrivelse og forudsigelse af verdensbefolkningen D23D27 • Diskussion af modellen i forhold til nyere data D43.

27. Hvis differentialkvotienterne estimeres som højre differenskvotienter fås: k=6.6266e-006 D16

29. L: Er I sikker på, at den løsning til den eksplosive ligning, som I har tegnet, er den der passer bedst til de givne data? S2: Vi har fundet k ved lineær regression til ……. L: Ja, men hvor har I løsningskurven fra? S1: Vi har løst den i MatLab. L: Hvordan, hvad har I gjort? S1: Vi har løst den ved hjælp af ”ode45”. L: Ok, men hvilken begyndelsesværdi har I brugt? S2: Det første punkt selvfølgelig!

30. L: Ok, men hvorfor netop tage det første punkt, og ikke et af de andre? S2: Hvad mener du? L: Prøv at løs differentialligningen analytisk, så kan det være, at I kan få en idé til, hvordan I kan bestemme den bedste løsning ved transformation af data og lineær regression.

31. Lineær regression på N-1 som funktion af tiden t. k = 4.8590e-006 c = 0.0099 D16

32. D16

33. S1: Vi har tegnet den numeriske løsning med (1650, 545) som begyndelsesværdi. S2: Modellen siger, at der skulle være 7.2 milliarder mennesker i år 2000. Det passer vel meget godt. Er det ikke ca. 8 milliarder, der er på jorden nu? D25 L: Jo, det er vist deromkring, men det kan I prøve at tjekke. Hvad sker med verdensbefolkningen ifølge modellen på langt sigt? S1: Vi har kørt den frem til år 2100, men der får vi en fejl i MatLab – prøv at se. D26 S2: Den vokser optil 3 1016 , er det så bærekapaciteten? L: Det var voldsomt mange – og det er stadig mio. mennesker!

34. L: Men den eksplosive model har ingen bærekapacitet. Prøv at se på differentialligningen. Hvad sker der med N’, når N(t) bliver meget stor? S3: Så bliver N’ også stor. L: Ja, og hvad betyder det for N(t)? S3: N(t) bliver ved med at vokse. L: Ja, det er rigtig… i modsætning til den logistiske model, der netop kun vokser op til en bærekapacitet. L: Hvornår stopper MatLab den numeriske beregning? S1: I år 2026, det skriver den i fejlmeddelelsen. L: Godt, prøv om I kan løse ligningen N’ = k N2 analytisk, så kan det være, at I kan forklare hvorfor I får en fejl netop der! D16

35. D23

36. D23

37. S1: Se, vi har tegnet den analytiske løsning med de værdier for k og c, som vi fandt ved lineær regression, og det passer smukt med data! D29 L: Ja, det ser fint ud. L: Prøv lige at tegne grafen for løsningen frem til f.eks. år 2100. …………… S2: Den vokser frem til omkring år 2025 og så bliver den pludselig negativ, men det kan jo ikke passe…D30 S1: Er det en fejl i MatLab’s løsning? L: Det er jo ikke en numerisk beregnet løsning I har tegnet. Det er jeres analytiske løsning I har tegnet, så det kan det ikke være! L: Hvis I ser på funktionsforskriften for den analytiske løsning kan I måske forklare, hvorfor I får denne graf?

38. ……………. L: Prøv at se på nævneren, hvad sker der når t vokser? S1: Den bliver mindre … S2: Nåh, nævner bliver nul på et tidspunkt, og så vokser N mod uendelig. L: Ja, prøv at beregn, hvornår det sker? …………… S2: For t = 2029.1 det vil sige lige efter år 2029 bliver nævneren nul og der bliver uendelig mange mennesker! (Der grines). L: Hvad betyder det for grafen? S1: Hvad hedder det … Den har en lodret asymptote. L: Ja, og for større t-værdier bliver N(t) negativ. Hvad mener I om det i forhold til, at det skulle være en model for verdensbefolkningen? D16

39. D27

40. D27

42. Eksempel på en god konklusion De eksplosive model kan faktisk give en rimelig præcis beskrivelse af udviklingen i verdensbefolkningen i perioden 1650-1980. Modellen forudsiger imidlertid, at befolkning vokser mod uendelig, når tiden går mod år 2029, og det er forhåbentlig ikke realistisk. Den eksplosive model kan derfor ikke bruges til at forudsige befolkningen i år 2100. FN’s befolkningsmodel (http://esa.un.org/unpp/) kan bruges til at forudsige befolkningstallet frem til år 2050. Den bygger på estimeret fertilitets- og dødsrater i forskellige dele af verden. Den siger, at der vil være 9 milliarder mennesker i år 2050. 10 milliarder kunne være et optimistisk bud for år 2100.

43. Nyere data og FN’s officielle befolkningsmodel http://esa.un.org/unpp

44. De studerendes udbytte i forhold til intentionerne Bedømt ud fra rapporterne, samtaler undervejs, gruppe-fremlæggelserne og fremlæggelserne ved den mundtlige prøve. Forløbet styrkede generelt de studerendes forståelse af differentialligningen som en sammenhæng mellem en størrelse og den hastighed hvormed størrelsen udvikler sig. De fleste studerende fik gennem forløbet en god fornemmelse for samspillet mellem en model og estimering af modelparametre ud fra data. Forløbet styrkede de studerendes forståelse og håndtering af transformation af data og lineær regression som metode til estimering af modelparametre.

45. De studerendes udbytte i forhold til intentionerne Projektet styrkede de studerendes anvendelse af MatLab til lineær regression og numerisk løsning af differential-ligninger. Brugen og forståelsen af separation af de variable blev styrket for de fleste studerende. Betydningen af og forskelle på at fortolke resultaterne af en matematisk model matematisk og som model gik op for mange studerende under forløbet. Den eksplosive models opførsel gav anledning til faglig undren hos flere grupper.D36 Forskellen mellem at bruge en matematisk model til at beskrive en dataserie og til at forudsige en udvikling blev tydelig for alle. D52

46. Forløbet i forhold til det overordnede udviklingssigte (Bedømt ud fra elevernes evaluering af forløbet og vores egne erfaringer og refleksioner.) Forløbet (problemstillingen) fungerer godt som øvelsesbane for de studerendes arbejde med delprocesserne (c), (d) og (e) i modelleringsprocessen. Specielt bliver samspillet mellem data og den matematiske analyse af modellen godt belyst. Problemstillingen ligger ikke i særlig grad op til selvstændig matematisering.

47. Hvordan kan erfaringerne integreres i praksis Forløbet fungerer godt, men kan evt. gøres mere åbent ved at gøre valget af modeller mere frit. Der kan evt. lægges mere vægt på at beskrive og forstå FN’s befolkningsmodel.

48. Slopefield for y'=y 5 4 3 2 1 0 y -1 -2 -3 -4 -5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t

49. D33

50. Inspireret af Tall’s Procepts. (Tall, 1996)