Matematika
Download
1 / 11

MATEMATIKA - PowerPoint PPT Presentation


  • 298 Views
  • Uploaded on

MATEMATIKA. Halmazok, műveletek halmazokkal. Halmazok, műveletek halmazokkal. 1. Halmazelmélet. Halmaz: alapfogalomnak tekintjük, más fogalmakkal nem definiáljuk! Valamilyen meghatározott tulajdonságok alapján szelektáljuk az elemeket

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'MATEMATIKA' - eli


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Matematika
MATEMATIKA

Halmazok, műveletek halmazokkal

Halmazok, műveletek halmazokkal

1


Halmazelm let
Halmazelmélet

Halmaz: alapfogalomnak tekintjük, más fogalmakkal nem definiáljuk!

Valamilyen meghatározott tulajdonságok alapján szelektáljuk az elemeket

Halmaz elemei: az adott halmazba tartozó elemek összessége

Jelölések:

halmaz -> (A,B,C)

halmaza eleme -> (a,b,c)

nem eleme a halmaznak

Ábrázolása: Venn-diagramm segítségével

Halmaz megadása:

elemek felsorolásával: {1;2;3}

halmaz elemeire jellemző tulajdonság definiálásával:

Halmaz ekvivalencia: ha a halmazok elemei megegyeznek (pl.: A={1;1;2} és B={1;2})

Jelölése: A~B

Üres halmaz: az a halmaz, melynek egyetlen eleme sincs

Jelölése: vagy {}

I

A

B

C

Halmazok, műveletek halmazokkal

2


Halmazelm let1
Halmazelmélet

Véges halmaz: egy halmaz véges, ha véges sok eleme van. Véges halmaz számossága egyenlő az elemek számával.

Halmazok számosságának jelölése: |A|

Részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme.

Jelölés:

Valódi részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha A részhalmaza B és B-nek van olyan eleme, mely nem eleme A-nak.

Jelölés:

Hatványhalmaz: adott halmaz összes részhalmazának halmaza

Halmazok, műveletek halmazokkal

3


M veletek halmazokkal
Műveletek halmazokkal

Az alábbi definíciók adott A és B nem üres halmazok esetére értendőek!

A) Egyesítés (unió): azon elemek halmaza, melyek elemei vagy A-nak vagy B-nek.

Jelölés:

B) Metszet (közös rész): azon elemek halmaza, melyek mind A-nek mind B-nek elemei.

Jelölés:

C) Különbség: azon elemek halmaza, mely A-nak azon elemeiből áll, melyek nem elemei B-nek.

Jelölés:

A)

B)

C)

Halmazok, műveletek halmazokkal

4


Sz mhalmazok term szetes sz mok
Számhalmazok – Természetes Számok

Természetes számok halmazának jelölése: N (nem negatív egész számok)

Halmaza: a valós számok olyan részhalmaza, melyre:

a)

b)

c ) ha és kielégíti a) és b) feltételeket, akkor , ahol N* pozitív egész számok halmaza

Vagyis: ha egy természetes számokból álló halmaz tartalmazza a 0-t és 1-t, valamint minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot.

Összeadás: tag1+tag2=összeg

a) kommutatív (felcserélhetőség) -> a+b+c=a+c+b=összeg

b) asszociatív (csoportosíthatóság) -> (a+b)+c=a+(b+c)=összeg

Kivonás: kisebbítendő-kivonandó=különbség

Az N számok halmazán a kivonás csakkor végezhető el, ha a kisebbítendő≥kivonandó

Halmazok, műveletek halmazokkal

5


Sz mhalmazok eg sz sz mok
Számhalmazok – Egész Számok

  • Egész számok halmazának jelölése: Z

  • Ahol, az egész számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre:

  • Vagyis: az egész számok halmaza a természetes számok halmazának bővítése, ahol a kivonás mindig értelmezhető és elvégezhető.

  • Szorzás: tényező1*tényező2*tényező3 = szorzat (azonos előjelek száma meghatározza a szorzat előjelét)

  • a) kommutatív

    • b) asszociatív

    • c) Disztributív (széttagolható) -> a(b+c)=ab+ac=szorzat

      Osztás: osztandó:osztó=hányados -> abszolút értékük hányadosát egyenlő előjelű osztandó és osztó esetén +, különböző előjel esetén – előjellel látjuk el.

      Egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el! (10+3=3 és maradt az 1)

      Nullával való osztást nem értelmezzük!

Halmazok, műveletek halmazokkal

6


Sz mhalmazok racion lis sz mok
Számhalmazok – Racionális Számok

Racionális számok halmazának jelölése: Q

Ahol, a racionális számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre:

Vagyis: a racionális számok halmaza az egész és természetes számok halmazának olyan bővítése, mely esetén az osztás mint matematikai művelet minden elem esetén elvégezhető.

Hatványozás: egyenlő számok, betűkifejezések szorzatának rövidített alakja. (an=a*a*a…*a)

a: hatvány alap

n: hatvány kitevő

0n=0 (n>0) és 1n=1

pozitív szám hatványa mindig pozitív

negatív szám hatványa (ha páros a kitevő -> pozitív, ha páratlan a kitevő -> negatív)

Halmazok, műveletek halmazokkal

7


Sz mhalmazok racion lis sz mok1
Számhalmazok – Racionális Számok

Hatványozás alapszabályai

Halmazok, műveletek halmazokkal

8


Sz mhalmazok racion lis sz mok2
Számhalmazok – Racionális Számok

Gyökvonás: azon művelet, mely során az adott hatványhoz és hatványkitevőhöz keressük a hatványalapot.

Az olyan nem negatív szám, melynek n-edik hatványa a és ahol n a gyökkitevő; a gyök alatti mennyiség.

Gyökvonás alapszabályai

Negatív számok gyökvonása nem értelmezett a racionális számok halmazán!

Negatív számok gyökvonása a komplex számok halmazán értelmezett!

Halmazok, műveletek halmazokkal

9


Sz mhalmazok val s sz mok
Számhalmazok – Valós Számok

Irracionális számok: a végtelen, nem szakaszos tizedes törteket irracionális számoknak nevezzük. Vagyis, ezen számok halmazának elemei nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.

Jelölése: Q*

Valós számok halmaza: a racionális és irracionális számok halmazának unióját valós számoknak nevezzük.

Jelölése:R

N={Természetes számok halmaza.}Z={Egész számok halmaza.}Q={Racionális számok halmaza. }Q*={Irracionális számok halmaza.}T={Transzcendens számok halmaza.}R={Valós számok halmaza.}

Halmazok, műveletek halmazokkal

10


Summary mit illik tudni
Summary – Mit „illik” tudni?

Kivonás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában.

Az osztás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában.

A valós számok halmazában sem végezhető el mindig a gyökvonás, pl negatív

számoknak a négyzetgyöke nem tartozik a valós számok halmazába.

A valós számok halmazán mindig értelmezett műveletek, az összeadás, szorzás, osztás mint matematikai műveletek tulajdonságainak pontos ismerte és alkalmazása.

Halmazok, műveletek halmazokkal

11