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Introdução à Lógica Digital

1. Introdução à Lógica Digital. Introdução à Lógica Digital. E LECTRÓNICA D IGITAL.

eden-dodson
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Introdução à Lógica Digital

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  1. 1 Introdução à Lógica Digital

  2. Introdução à Lógica Digital ELECTRÓNICA DIGITAL “...é o conjunto de determinadas técnicas e dispositivos integrados, de vários graus de complexidade, que se utilizam principalmente na realização de circuitos de controlo de processos industriais, de equipamentos informáticos para processamento de dados e, em geral, de outros equipamentos e produtos electrónicos.” Relativamente à Electrónica Analógica: • Permitiu melhorar sistemas e produtos já existentes e desenvolver outros até aí impossíveis ou inviáveis de construir. • Apresentam uma maior imunidade ao ruído eléctrico, elevada densidade de integração, facilidade de acoplamento com outros circuitos, simplicidade de projecto e de análise, ...

  3. Introdução à Lógica Digital SINAIS ANALÓGICOS: Toda a grandeza Analógica é aquela que assume uma infinidade de valores ao longo do tempo de uma forma contínua e sem saltos bruscos (p.e. variação da temperatura ao longo de um dia).

  4. Introdução à Lógica Digital SINAIS DIGITAIS: Toda a grandeza Digital é aquela que assume um número finito de valores e que varia de valor por saltos de uma forma descontínua (p.e. variação hora a hora da temperatura ao longo de um dia). Portanto a sua evolução no tempo consiste precisamente em saltar duns valores discretos para outros.

  5. Nível Alto 1 Nível Baixo 0 Introdução à Lógica Digital CIRCUITOS ELECTRÓNICOS DIGITAIS BINÁRIOS: Definição: São circuitos que funcionam baseados em apenas dois valores de amplitude. Em lógica positiva, faz-se corresponder ao nível mais elevado de tensão o valor lógico1. Ao valor mais baixo de tensão (que pode ser 0 volts ou outra tensão qualquer) o valor lógico0. RAZÕESPARA ASUA LARGA UTILIZAÇÃO: Simplicidade e grande tolerância dos componentes dos CIs; Interligação fácil e versátil com outros componentes; Imunidade ao ruído.

  6. Introdução à Lógica Digital APLICAÇÕES (ELECTRÓNICA DIGITAL): • Máquinas de calcular; • Instrumentos de medida; • Relógios digitais; • Contadores; • Computadores digitais; • Etc... APLICAÇÕES(ELECTRÓNICA ANALÓGICA): • Amplificadores de áudio • Receptores de rádio • Etc...

  7. 1 Sistemas de Numeração

  8. Sistemas de Numeração INTRODUÇÃO A utilização de 10 algarismos diferentes – 0 até 9 – para representação usual de números; Vários países tiveram sistemas não decimais, nomeadamente para medidas de peso ou comprimento. 1 pé → 12 polegadas. Sistema de base 12 (0 até 11); Usando a semana como unidade de contagem dos dias estamos a usar um sistema de base sete (0 até 6); Supondo que não existiam no sistema de base 10 os algarismos 8 e o 9 → sistema com 8 algarismos diferentes → sistema de base oito ou sistema octal. Quando temos que escrever diferentes números em diferentes bases a seguir ao número representamos. entre parentesis a sua base de modo a evitar ambiguidades e imprecisões. Por exemplo: 8(10) = 10(8) Esta igualdade sem os respectivos índices não teria qualquer significado! Nos circuitos digitais para a representação de números e execução de operações aritméticas com circuitos digitais, temos que usar um sistema de numeração que tenha simplesmente dois algarismos - 0 e 1 - sistema binário ou sistema de base 2.

  9. Sistemas de Numeração FÓRMULA GENÉRICA PARA DEFINIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL: Nn Nn-1 Nn-2... N1= Nn.bn-1+ Nn-1.bn-2+...+ N1.b0 Onde, N representa um algarismo qualquer pertencente ao valor; n é o número de algarismos pertencentes ao valor; b é a base de numeração pela qual se representa o valor.

  10. Sistemas de Numeração DESCRIÇÃO DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO  DECIMAL (base 10) Utiliza 10 dígitos {0,1,2,...,9}  BINÁRIO (base 2) Utiliza 2 dígitos {0,1}  OCTAL (base 8) Utiliza 8 dígitos {0,1,2,...,7}  HEXADECIMAL (base 16) Utiliza 16 dígitos {0,1,...,9,A,B,...,F}

  11. Unidades - 7 x 1= 7 Dezenas - 6 x 10= 60 Centenas - 4 x 100= 400 Milhares - 3 x 1000= 3000 3467 Sistemas de Numeração SISTEMA DECIMAL Baseia-se no facto de anatomicamente dispormos de 5 dedos em cada mão, torna-se necessário que a contagem envolva 10 dígitos  sistema de base 10 Sistema de Base 10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} PESO A posição de cada um destes dígitos diz-nos a grandeza que representa e pode ser designada por peso. EXEMPLO (número inteiro): 3 4 6 7 EXEMPLO (número inteiro): 1 5 7 2(…)= 1x103+5x102+7x101+2x100 E se for fraccionário? As potências são de base negativa, partindo do valor 1.

  12. Sistemas de Numeração SISTEMA BINÁRIO É o mais utilizado nos Circuitos Digitais (Sistemas Digitais) porque se baseia nos dois estados possíveis dos elementos neles usados, i. é., há tensão ou não. Sistema de Base 2 {0,1} Cada um dos algarismos designa-se por dígito binário ou bit (Binary Digit). PESO Cada dígito comparticipa na formação do número com um peso, determinado pela posição que ocupa no número (...32 (25), 16 (24), 8 (23), 4 (22), 2 (21), 1 (20)). FORMAÇÃO DOS NÚMEROS NO SISTEMA BINÁRIO 0 110 11100 101 110 111 Exemplo: Valor inteiro e fraccionário: • 1101(2)= 1x23+1x22+0x21+1x20 = 13 … em decimal ;) • E se for fraccionário? …procede-se da mesma forma! Atenção à base!!

  13. Sistemas de Numeração SISTEMA OCTAL O sistema de numeração Octal é composto por oito dígitos. Sistema de Base 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} PESO Cada dígito comparticipa na formação do número com um peso, determinado pela posição que ocupa no número (...32768 (85), 4096 (84), 512 (83), 64 (82), 8 (81), 1 (80)). Exemplo: Valor inteiro e fraccionário: • 347(8) = 3x82+4x81+7x80 = 231 • E se for fraccionário? …procede-se da mesma forma! Atenção à base!! • Nota: Todos os números representados num sistema de numeração para além do decimal, INCLUEM ENTRE PARENTESIS A RESPECTIVA BASE!!!

  14. Sistemas de Numeração SISTEMA HEXADECIMAL O sistema Hexadecimalé composto por 16 símbolos. Sistema de Base 16  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} PESO Cada dígito comparticipa na formação do número com um peso, determinado pela posição que ocupa no número (...65536 (164), 4096 (163), 256 (162), 16 (161), 1 (160)). Exemplo: Valor inteiro e fraccionário: • 4FA(16) = 4x162+15x161+10x160 = 1274 • … e se for fraccionário? • 4FA,AB(16) = 4x162+15x161+10x160+10x16-1+11x16-2= 1274,0664 • Nota: Todos os números representados num sistema de numeração para além do decimal, INCLUEM ENTRE PARENTESIS A RESPECTIVA BASE!!!

  15. Sistemas de Numeração TABELA

  16. Sistemas de Numeração CONVERSÃO DE DECIMAL PARA BASE b Números Inteiros: Base 2 Divisões sucessivas por 2; Exº 2672 = 101001110000(2) Base 8 Divisões sucessivas por 8; Exº 315 = 473(8) Base 16 Divisões sucessivas por 16; Exº 675 = 2A3(16) Números Fraccionários: Base 2 Multiplicações sucessivas por 2; Exº 0,125 = 0,001(2) Base 8 Multiplicações sucessivas por 8; Exº 0,125 = 0,1(8) Base 16 Multiplicações sucessivas por 16;Exº 0,125 = 0,2(16)

  17. Conversões de Números Inteiros Binário Octal Hexadecimal Divisões Consecutivas por 8 Dn…D2D1=Dn*8n-1+…+D2*81+D1*80 Decimal Divisões Consecutivas por 2 Divisões Consecutivas por 16 Dn…D2D1=Dn*2n-1+…+D2*21+D1*20 Dn…D2D1=Dn*16n-1+…+D2*161+D1*160 Sistemas de Numeração CONVERSÕES ENTRE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

  18. Conversão da Parte Fraccionária Binário Octal Hexadecimal Produtos Consecutivos por 8 0,D1D2…Dn=D1*8-1+D2*8-2+…+Dn*8-n Decimal Produtos Consecutivos por 2 Produtos Consecutivos por 16 0,D1D2…Dn=D1*2-1+D2*2-2+…+Dn*2-n 0,D1D2…Dn=D1*16-1+D2*16-2+…+Dn*16-n Sistemas de Numeração CONVERSÕES ENTRE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

  19. Binário Cada n.º é convertido para um binário de 4 Bits Cada n.º é convertido para um binário de 3 Bits Agrupam-se os Bits em grupos de 4 Agrupam-se os Bits em grupos de 3 Hexadecimal Octal Passa-se por uma base intermédia (Decimal ou Binária) Sistemas de Numeração CONVERSÕES ENTRE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

  20. Carry Sistemas de Numeração OPERAÇÕES EM BINÁRIO SOMA EXEMPLO

  21. Borrow Sistemas de Numeração OPERAÇÕES EM BINÁRIO SUBTRACÇÃO Nota: Dar exº de multiplicação em binário....

  22. Sistemas de Numeração OPERAÇÕES EM OCTAL SOMA SUBTRACÇÃO OPERAÇÕES EM HEXADECIMAL SOMA SUBTRACÇÃO

  23. Sistemas de Numeração OPERAÇÕES EM OCTAL/HEXADECIMAL MULTIPLICAÇÃO

  24. Sistemas de Numeração REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS COMPLEMENTAÇÃO Complemento de um número: É a diferença entre a base (B) e o número (N) COMPLEMENTO PARA UM O complemento para 1 de um número N com kbits é dado pela seguinte expressão: EXEMPLO O complemento para 1 do número 1001: REGRA PRÁTICA: Trocar os 0’s por 1’s e vice-versa.

  25. Sistemas de Numeração COMPLEMENTAÇÃO (cont.) COMPLEMENTO PARA DOIS O complemento para 2 de um número N com kbits é dado pela seguinte expressão: REGRAS PRÁTICAS • Determinar o complemento para 1 do número e somar ao resultado o valor 1 • . Da direita para a esquerda do número encontrar o primeiro dígito a 1. Mantê-lo e inverter os restantes.

  26. Sistemas de Numeração REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS (2´C) Registo de 8 flip-flops onde 7 flip-flops representam a grandeza do número e o 8º representa o sinal, olhando da direita para a esquerda. Se pretendermos usar um número fixo de bits (k bits), normalmente usado nas máquinas, a expressão seguinte indica-nos a gama de valores possíveis de representar, usando bit de sinal: EXEMPLO Registo com 4 bits (casas)  - 8  N  7 O número 3(10) = 0 011(2) O número –3 otém-se: 0011(2)1100(2) + 1(2) = 1 101(2)

  27. Sistemas de Numeração OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS ADIÇÃO Decidir sobre o número de casas com que vamos trabalhar. Tomar módulos dos números, em binário. Representar números negativos na forma de complemento para 2. Usar regra da adição. Analizar resultados: • Se existe carry, desprezá-lo. Se o bit mais significativo, após desprezar o carry é: • 0 – o resultado é positivo e o bit mais à esq. é o bit de sinal. • 1 – o resultado é negativo e está na forma de complemento para 2 SUBTRACÇÃO Idêntico ao ponto 1 da adição. Determinar o complemento para 2 do diminuendo. Adicionar o diminuidor ao diminuendo. Seguir o ponto 5 da adição.

  28. Sistemas de Numeração EXERCÍCIO: a) 12 + 9 b) 12 - 9 c) -12 - 9 d) -12 + 9 RESOLUÇÃO:

  29. Sistemas de Numeração RESOLUÇÃO(cont.): 3. a) 12 + 9 b) 12 - 9 c) -12 - 9 d) -12 + 9 4. a) e d) não carry b) e c)  carry desprezá-lo!! 5. a) 0 1 0 1 0 1 b) 0 0 0 0 1 1 c) 1 0 1 0 1 1 d) 1 1 1 1 0 1 + 21 + 3 - 21(2’C) - 3(2’C) Complemento para 2 do valor obtido

  30. 3 Álgebra de Boole

  31. Álgebra de Boole FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA DE BOOLE PROPOSIÇÃO – É uma frase ou expressão matemática cujo conteúdo pode ser verdadeiro ou falso. Considerar as seguintes proposições: p(x) = x é PAR = {0, 2, 4, 6, 8, ...} p(x) representa o conjunto dos números pares q(x) = x é MÚLTIPLO de 3 = {3, 6, 9, 12, 15, ...} q(x) representa o conjunto dos números que são múltiplos de 3. Estes conjuntos pertencem a um conjunto mais geral que se designa por universo, e que será o conjunto dos números naturais. U(x) = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

  32. Álgebra de Boole Os conjuntos podem ser representados graficamente através de DIAGRAMAS DE VENN, levando-nos à obtenção de funções lógicas. Conjunção, Intersecção ou Produto Lógico q(x) I- p(x) Disjunção, Reunião ou Soma Lógica q(x) II- p(x) Complementação ou Negação Lógica III- p(x)

  33. Álgebra de Boole CONJUNÇÃO, INTERSECÇÃO OU PRODUTO LÓGICO q(x) p(x) I - Conjunto representado pela proposição: Resulta da intersecção dos conjuntos q(x) e p(x). II - Conjunto representado pela proposição: Resulta da intersecção dos conjuntos q(x) e o complementar de p(x). III - Conjunto representado pela proposição: Resulta da intersecção dos conjuntos p(x) e o complementar de q(x). Conjunto representado pela proposição: Resulta da intersecção dos conjuntos complementar de p(x) e complementar de q(x). IV -

  34. Álgebra de Boole CONJUNÇÃO, INTERSECÇÃO OU PRODUTO LÓGICO (cont.) Verifica-se que as intersecções possíveis entre os dois conjuntos são as seguintes: A proposição p(x) é 1 ou verdadeira (V) quando engloba os números pares e q(x) quando engloba os números múltiplos de 3. Por outro lado, os seus complementos, que negam as condições inicais, são 0 oufalsos (F). Isto permite transformar as expressões em cima na seguinte TABELA DE VERDADE:

  35. Álgebra de Boole CONJUNÇÃO, INTERSECÇÃO OU PRODUTO LÓGICO (cont.) ESQUEMADE CONTACTOS ELÉCTRICOS TABELA DE VERDADE TABELA DE VERDADE Para efeitos lógicos e simplificação da tabela faz-se a correspondência dos estados em que: Aberto; Parado  0 Fechado; Actuado  1 FUNÇÃO LÓGICA DA INTERSECÇÃO OU PRODUTO LÓGICO PORTA LÓGICA (AND)

  36. Álgebra de Boole DIJUNÇÃO, REUNIÃO OU SOMA LÓGICA ESQUEMA DE CONTACTOS ELÉCTRICOS TABELA DE VERDADE TABELA DE VERDADE Para efeitos lógicos e simplificação da tabela faz-se a correspondência dos estados em que: P Fech.; L. Desl.  0 P. Aberta; L. Ligada 1 FUNÇÃO LÓGICA DA REUNIÃO OU SOMA LÓGICA PORTA LÓGICA (OR)

  37. Álgebra de Boole COMPLEMENTAÇÃOOUNEGAÇÃOLÓGICA ESQUEMA DE CONTACTOS ELÉCTRICOS TABELA DE VERDADE TABELA DE VERDADE Para efeitos lógicos e simplificação da tabela faz-se a correspondência dos estados em que: Aberto; Desligada  0 Fechado; Ligada  1 FUNÇÃO LÓGICA DA NEGAÇÃO OU INVERSOR LÓGICO PORTA LÓGICA (NOT)

  38. Álgebra de Boole OUTRASFUNÇÕESBÁSICAS IMPORTANTES

  39. Álgebra de Boole REGRASDECÁLCULODAÁLGEBRA DE BOOLE A utilização prática da Álgebra de Boole vai permitir: • Apresentar um dado circuito lógico através da sua equação ou expressão. • Simplificar a expressão lógica de forma ao circuito poder ser implementado com o menor número possível de portas lógicas (AND’s, OR’s, NOT’s, etc...). Semelhanças da Álgebra de Boole relativamente à Álgebra Clássica: • Propriedade Comutativa. • Propriedade Associativa. • Propriedade Distributiva. A principal diferença é que na Álgebra de Boole não é possível passar termos de um membro para o outro de uma equação.

  40. Álgebra de Boole REGRASDECÁLCULODAÁLGEBRA DE BOOLE (cont.) Regras da Álgebra de Boole a estudar: • Expressões só com constantes. • Expressões com uma constante e uma variável. • Dupla negação. • Expressões com mais de uma variável: • Propriedade Comutativa. • Propriedade Associativa. • Propriedade Distributiva. • Princípio da dualidade ou Lei de De Morgan. • Regras gerais de simplificação ou Leis de Absorção.

  41. Álgebra de Boole EXPRESSÕESSÓCOMCONSTANTES Constantes da Álgebra de Boole: ‘0’ e ‘1’ Função AND: Função OR: Função NOT:

  42. Álgebra de Boole EXPRESSÕESCOMUMACONSTANTE E UMA VARIÁVEL Função AND: Função OR:

  43. Álgebra de Boole DUPLANEGAÇÃO EXPRESSÕESCOM MAIS DE UMA VARIÁVEL Propriedade Comutativa: Propriedade Associativa: Propriedade Distributiva: - em relação à multiplicação - em relação à Soma

  44. Álgebra de Boole EXPRESSÕESCOM MAIS DE UMA VARIÁVEL (cont.) Princípio da dualidade ou Lei de De Morgan: ou com 3 variáveis, EXERCÍCIO: Tente fazer a demonstração das Leis de De Morgan. A demonstração poderá ser feita através: - tabela de verdade. - diagrama de Venn. - circuitos lógicos (ainda por abordar!!). - analiticamente.

  45. Álgebra de Boole REGRASGERAIS DA SIMPLIFICAÇÃO OU LEIS DE ABSORÇÃO 1ª Regra: 2ª Regra: 3ª Regra: Tente Demonstrar... EXERCÍCIO: Simplifique a seguinte expressão lógica:

  46. Álgebra de Boole FORMA CANÓNICA DE UMA FUNÇÃO BOOLEANA A todo o produto de somas ou soma de produtos nos quais aparecem todas as variáveis em cada um dos termos que constituem a expressão, em forma directa ou complementada, da-se a desigação de FORMA CANÓNICA. São exemplos de formas canónicas as seguintes funções: As funções do tipo S1 tomam o nome de primeira forma canónica ou MINTERMOS (Minterms) e as do tipo S2 denominam-se de segunda forma canónica ou MAXTERMOS (Maxterms).

  47. Álgebra de Boole FUNÇÃO LÓGICA A PARTIR DA TABELA DE VERDADE Seja definida pela tabela de verdade:

  48. Álgebra de Boole MAPAS DE kARNAUGH Um Mapa de Karnaugh é uma representação gráfica de uma função. Trata-se de um diagrama feito de quadrados. Cada quadrado representa um mintermo. Um mapa para uma função lógica com n entradas é um conjunto de 2n células, uma para cada mintermo. Mapa de duas entradas: Mapa de três entradas:

  49. Álgebra de Boole MAPAS DE kARNAUGH (cont.) Mapa de quatro entradas: Mapa de cinco entradas: • * - Posições adjacentes. • - Posições adjacentes. + - Posições adjacentes. Elementos em posições correspondentes, mas em quadros diferentes, são adjacentes.

  50. Álgebra de Boole MAPAS DE kARNAUGH (APLICAÇÃO) Tabela de Verdade Dada a seguinte função: 4 variáveis  24 = 16 quadriculas É prática comum envolver com um laço os 1s adjacentes; Apenas é possível efectuar agrupamentos com um nº de células igual a uma potência de 2 Uma função Booleana, expressa como soma de mintermos, especifica as condições que levam a função a ser igual a 1. Nota: O conceito de Don´t care conditions será abordado mais tarde.

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