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Der Simplexalgorithmus

Der Simplexalgorithmus. Typische Aufgabenstellung:. In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G 1 ( zur Verfügung stehen 45 t ) G 2 ( zur Verfügung stehen 11 t ) G 3 ( zur Verfügung stehen 27 t ) die beiden Produkte P 1 und P 2 hergestellt.

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Der Simplexalgorithmus

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Presentation Transcript

  1. Der Simplexalgorithmus

  2. Typische Aufgabenstellung: In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G1( zur Verfügung stehen 45 t) G2( zur Verfügung stehen 11 t) G3 ( zur Verfügung stehen 27 t) die beiden Produkte P1undP2hergestellt. Für eine Einheit P1 benötigt man: 3tvon G1, 1t von G2 und 3t von G3 . Für eine Einheit P2 benötigt man: 5t von G1, 1t von G2und 1t von G3. Der Nettogewinn pro produzierter Einheit P1 : 4 Euro pro produzierter Einheit P2 : 3 Euro. Durch einen Produktionsplan ist der Nettogewinn zu maximieren!

  3. Mathematisches Modell x1 : Anzahl der herzustellenden Einheit P1 x2 : Anzahl der herzustellenden Einheit P2 Zielfunktion: f(x1, x2) = 4x1 + 3x2 = max oder (f(x1, x2) =  4 x1  3 x2 = min) Nebenbedingungen: 3x1+ 5x245 1x1+ 1x211 3x1+ 1x227 x1 , x2 0

  4. Wie findet man den maximalen Nettogewinn? • Zielfunktion: • f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 • = max • Nebenbedingungen: • 3x1 + 5 x2  45 • II) x1 + x2  11 • III) 3x1 + x2  27 x2 x1

  5. Zielfunktion: f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 = Gewinn (= maximieren!) g: 4x1 + 3 x2 = C (konst.)  x2 = - 4/3 x1 + C/3 Die punktierten Geraden entsprechen einem konstanter Gewinn C. „Gewinn maximieren“ : Gerade g soweit wie möglich vom Ursprung weg nach außen verschieben. Die Lösung ist also immer ein Eckpunkt. Hier: P(8/3), also C = 41

  6. Ergebnis:Die Zielfunktion nimmt ihren optimalen Wert in (mindestens) einer der Ecken deskonvexen Polyeders an !

  7. Erfinder: George B. Dantzig • Geb. : 8. Nov 1914 Portland, Oregon, USA • arbeitete als Zivilist im Pentagon; war mathematischer Berater für den obersten Rechnungsprüfer der us-amerikanischen Air Force. • suchte 1947 nach einer Lösungsmethode

  8. Zulässiges Gebiet bildet ein Polytop (Simplex) • Das Optimum befindet sich an einer Ecke ! • ZF hat an (fast) jeder Ecke einen anderen Wert • wähle eine Ecke, wandere an den Kanten entlang zum nächsten Eckpunkt und verbessere den ZF-Wert!

  9. Beispiel 1 NB (in Normalform): 3x1+ 5x2 + x3 = 4 x1+ x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5 0 ZF : f(x1, x2) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max

  10. Was kann man über die Ecken aussagen ? • NB (in Normalform): • 3x1+ 5x2 + x3 = 4 • x1+ x2 + x4 = 11 • 3x1 + x2 + x5 = 27 • x1 , x2, x3 , x4 , x5 0 • ZF : f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max • Es ist n = 5 (Variablenzahl), m = 3 (Anzahl der Gleichungen) • wenn man nun  n – m = 2 Variablen gleich Null setzt, dann erhält man ein anderes LGS mit m Variablen und m Gleichungen. • Eine Lösung eines solchen LGS heißt Basislösung und die Variablen, die nicht Null sind bilden eine Basis. •  Ecken haben 2 Nullkomponenten und eine Basislösung.

  11. Erste Ecke bzw. erste Lösung des LGS NB (in Normalform): 3x1+ 5x2 + x3 = 4 x1+ x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5 0 ZF : f(x1, x2, x3, x4, x5) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max Erste Ecke (sofort ersichtlich): x1 = ( 0, 0, 4, 11, 27) f(x1) = 0 ; entspricht im x1 /x2 - Koordinatensystem der Ursprungsecke.  Wandern nun in x1 - Richtung, da in diese Richtung die Zielfunktion am meisten wächst (Koeffizient in der Zielfunktion ist am größten).

  12. Tafelanschrieb

  13. Aufstellen der Simplextableaus NB: 3x1+ 5x2 + x3 = 4 x1+ x2 + x4 = 11 3x1 + x2 + x5 = 27 ZF : f(x1, x2, x3, x4, x5) = 4 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max f(x1, x2, x3, x4, x5) = – 4 x1 – 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = max

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