MATEMATIKA

1. MATEMATIKA Kombinatorika

2. ÚVOD • Kombinatorika je podľa môjho názoru ľahšou časťou matematiky a to vôbec nie som žiadny matematický génius. Je to tak trochu odbočenie od zložitých výpočtov, ale vzorcom sa nedá vyhnúť ani tu. S kombinatorikou sa môžeme stretnúť aj v bežnom živote - napríklad u zmrzlinára, ale o tom až na ďaľších stanách. Tak s chuťou do kombinatoriky!

3. KOMBINÁCIE,VARIÁCIE ČI PERMUTÁCIE? • V kombinatorike môžeme počítať príklady pomocou vzorcov na kombinácie, variácie, alebo permutácie. • Na ďaľších stranách Vám podrobne vysvetlím ako ktorý vzorec používať. • Ale najprv Vám vysvetlím ako sa označujú jednotlivé pojmy v kombinatorike.

4. VŠEOBECNE... • Kombinácie sa označujú C • Kombinácie s opakovaním sa označujú C’ • Variácie sa označujú V • Variácie s opakovaním sa označujú V‘ • Permutácie sa označujú P • Trieda sa označuje k • Počet prvkov sa označuje n • Faktoriál sa označuje ! • VŽDY platí 0! = 1

5. VARIÁCIE • Pri variáciách ZÁLEŽÍ na poradí prvkov:idete napríklad k už spomínanému zmrzlinárovi, a nie je Vám jedno či Vám dá najprv jahodovú alebo čokoládovú zmrzlinu.Vy chcete najprv čokoládovú a na vrch jahodovú zmrzlinu a nie naopak. • Sú dva vzorce ktoré môžeme použiť na výpočet variácií: • V(k,n)= • V’(k,n)=nk • Poznámka:Faktoriál napr.čísla :5 5!=5.4.3.2.1=120

6. Variácie s opakovaním : príklad • Čo je to vlastne to “opakovanie”?Zasa príklad so zmrzlinou:chcete tri kopčeky zmrzliny,ale v ponuke sú už len dve. Tak si vyberiete dve rovnaké a tá tretia bude iná, ale stále tu platí, že záleží na poradí. • Príklad.:Určte počet všetkých 3-ciferných prirodzných čísel zoztavený z číslic 1, 3, 5, 7, 9. • Riešenie:Ide o počet variácií tretej triedy s opakovaním z daných piatich prvkov.Pre hľadaný počet čísel tak dostávame: V’(3,5)=5 =53=125

7. Variácie : príklad • Príklad:Osem priateľov si sľúbilo, že z prázdnin každý každému napíše pohľadnicu.Koľko pohľadníc poslali? • Riešenie:Každá dvojica čo si napíše pohľadnicu vytvorí tzv. druhú triedu a budeme počítať s ôsmimi prvkami.Takže riešenie je nasledovné:

8. PERMUTÁCIE • Permutácie sa zaraďujú mezi variácie. • Sú to variácie bez opakovania, kde sa počet prvkov rovná s počtom tried. • Vzorec pre permutácie: • V(n,n)=P(n)=n!

9. Permutácie : príklad • Príklad:Do päť miestnej lavice treba usadiť päť žiakov.Uveďte všetky možné riešenia ako ich možno usadiť. • Riešenie:Vyberáme z piatich prvkov a tak riešenie bude takéto : P(5)=5!=5.4.3.2.1=125

10. KOMBINÁCIE • Pri kombináciách NEZÁLEŽÍ na poradí. Čiže je Vám jedno či Vám dá zmrzlinár najprv jahodovú alebo čokoládovú zmrzlinu. • Pri výpočtoch kombinácií môžeme použiť taktiež dva vzorce: • C(k,n) = = =>kombinačné číslo • C’(k,n)= • Poznámka:Pri týchto výpočtoch budeme musieť použiť tzv. Pascalov trojuholník,pretože nebudeme ináč môcť vypočítať kombinácie s opakovaním)

11. PASCALOV TROJUHOLNÍK • ČÍSLO VÝSLEDOK • 1 • 1 1 • 1 2 1 • 1 3 3 1 • 1 4 6 4 1

12. Kombinácie s opakovaním: príklad • Príklad:Koľkými rôznymi spôsobmi možno rozdeliť deväť autíčok štyrom deťom? • Riešenie:Sú to kombinácie s opakovaním , pretože je jedno či dáme autíčka najprv Jankovi, alebo Ferkovi a takisto im môžeme dať nie len jedno ale aj všetky autíčka . Takže riešenie bude nasledovné: C’(9,4)=

13. Kombinácie:príklad • Príklad:Určte koľkými rôznymi spôsobmi sa dá vypísať tiket športky, ak tipujeme šesť čísel zo 49. • Riešenie:Ako je známe, v športke nie je dôležité či zaškrtneme najprv číslo 12, alebo 64 a tak to budú kombinácie bez opakovania šiestej triedy zo 49 prvkov.Riešenie je takéto: C(6,49)= =

14. ZÁVER • Myslím že som Vám vysvetlila celkom jednoducho a nenáročnou formou kombinatoriku. • Možno že táto látka natoľko niekoho zaujala že keď nebude mať vo voľnom čase čo robiť, tak si vezme pero a papier a vypočíta si len tak pre seba koľkými rôznymi spôsobmi si môže dať veľkú zmrzlinu ak má na výber zo siedmich druhov:-) • Katka Fečkeová,2.B,GLN