Robó tica

1. Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

2. 4aAula Parte A - Cinemática Inversa 6ª Aula para a Graduação

3. Objetivos desta aula • Modelo cinemático inverso: • Métodos analíticos (ou soluções fechadas): • Geométrico (por Trigonometria). • Algébrico. • Matlab.

4. Bibliografia • Capítulos 4 do Craig. • RobotManipulators: Mathematics, Programming, andControl • Paul, R. P. - 1982 - MIT Press. • RobotAnalysis: The Mechanicsof Serial andParallelManipulators • Lung-Wen TSAI - 1999 - John Wiley.

5. Cinemática Inversa K-1 (1 … n) (x, y, z, x, y, z)

6. Cinemática Inversa • Como o próprio nome diz: • Como encontrar as posições das juntas dadas a posição e a orientação da ferramenta. • Problema complexo: • Planejamento de trajetória • Dinâmica.

7. Cinemática Inversa • “We do inversekinematicsunwittingly, oureyescan determine whereanobject is in 3D space, andoursub-sub-consciouscan figure out thevariablesrequired to move ourhand to thatposition”

8. Introdução • O problema de resolver as equações cinemáticas de um manipulador é não linear. • Como em qualquer conjunto de equações não lineares, temos de nos preocupar com: • a existência de soluções, • com múltiplas soluções e • com o método de solução.

9. Existência de soluções • Para que uma solução exista, o alvo deve estar dentro do espaço de trabalho. • Computar o envelope é difícil… • Cada manipulador tem de ser estudado para se entender o seu espaço de trabalho. • Projetos especiais facilitam essa computação.

10. Exemplo: 2R

11. Exemplo: 2R • Se l1 = l2, o espaço de trabalho alcançável consiste de um disco com raio 2l1. • Dentro do espaço de trabalho alcançável há duas orientações possíveis para o efetuador. • Nos limites do espaço de trabalho existe apenas uma orientação possível.

12. Duas soluções: qual a melhor? • O problema pode ter mais que uma solução… • Como escolher a apropriada?

13. EscolhendoSoluções • O fato de um manipulador ter múltiplas soluções pode causar problemas, porque o sistema deve ser capaz de escolher uma. • Os critérios nos quais basear a decisão variam, mas uma opção bastante razoável seria a solução mais próxima.

14. EscolhendoSoluções • Por exemplo, se o manipulador está no ponto A, como na figura anterior e queremos levá-lo para o ponto B, uma boa escolha seria a solução que minimiza o quanto cada junta terá de se mover. • Assim, na ausência do obstáculo, a configuração superior pontilhada da Figura seria escolhida.

15. Qual a maisapropriada?

16. Puma: 4 soluções para o manipulador …

17. Puma: 2 Soluções para o pulso… • Total: 8 soluções

18. Métodos de Solução para a Cinemática Inversa • Enquanto a função f() é relativamente fácil de computar, f-1() geralmente não o é. • Dado o valor numérico de uma transformada, tentamos encontrar os valores de θ1, θ2, ... θn • Pode ser solucionado de diversas maneiras: • Geometricamente. • Algebricamente. • Numericamente.

19. ManipuladorSolucionável • Um manipulador é considerado solucionável se: • existir um algoritmo que permita determinar todo o conjunto de variáveis de juntas associados a uma posição e orientação dadas. • O principal ponto dessa definição é que, no caso de múltiplas soluções, deve ser possível calcular todas elas.

20. Subespaço quando n< 6 • O conjunto de sistemas de referência meta alcançáveis para um dado manipulador constitui seu espaço de trabalho alcançável. • Para um manipulador com n graus de liberdade (sendo n < 6), esse espaço de trabalho alcançável pode ser pensado como uma porção de um subespaço com n graus de liberdade.

21. Subespaço quando n < 6 • Por exemplo, o subespaço do robô de dois elos é um plano, mas o espaço de trabalho é um subconjunto desse plano: • um círculo de raio l1 + l2 para o caso em que l1 = l2.

22. Subespaço quando n < 6 • Em geral, ao definir um alvo para um manipulador com n graus de liberdade, usamos n parâmetros para especificar a meta. • Se, por outro lado, damos uma especificação para todos os seis graus de liberdade, não conseguiremos atingir o alvo com um manipulador n < 6.

23. Subespaço quando n < 6 • Nesse caso podemos atingir um alvo que está no subespaço do manipulador e situado tão “próximo” quanto possível do original desejado: • Dado um sistema de referência de meta genérico, compute um sistema de referência de meta modificado de forma que este se situe no subespaço do manipulador e o mais “próximo” possível do alvo...

24. Soluções analíticas x numéricas • Soluções do problema da cinemática inversa podem ser classificadas em: • Analíticas (ou soluções fechadas): • Encontram uma solução exata através da inversão das equações de cinemática direta. • É possível apenas para problemas simples. • Numéricas: • Utilizam aproximação e diversas iterações para tentar convergir para a solução. • Tendem a ser mais genéricos e computacionalmente mais custosos.

25. Cinemática inversa utilizando métodos analíticos. Soluções fechadas ou Closed-formsolutions

26. Método analítico. • Para criar o modelo cinemático inverso, “basta” analisar o problema matematicamente. • Vantagens: • Cria o modelo completo. • Desvantagens: • Complexidade dependendo da geometria do manipulador.

27. Soluções de forma fechada • “Forma fechada” significa: • um método de solução baseado em expressões analíticas ou na solução de um polinômio de grau 4 ou menor. • Apenas cálculos não iterativos são suficientes para chegar a uma solução.

28. d2 d1 Exemplo 1: 2P • Dados x, y, solucione para d1, d2:

29. Exemplo 1: 2P • A cinemática direta e a inversa são triviais para juntas prismáticas. • Existe somente uma solução: • Equações lineares. • Não usam funções trigonométricas. • Por este motivo esta geometria é popular: • CNC • Gantry • Plotters, …

30. Exemplo 2: R+P • Dados x e y, solucionar para 1 e d2 REFERENCE POINT (x, y) d2 y f 2  1 x 1

31. Exemplo 2: R+P • Solução 1: • Solução 2:

32. Solucionando equações trigonométricas… • A cinemática inversa geralmente envolve funções trigonométricas: • Inverso das funções geralmente possuem múltiplas soluções. • Ruim pois causa indefinição sobre o ângulo real do manipulador.

33. Solucionando equações trigonométricas…

34. Função atan2(y,x) • Função atan2(y,x): • Função inversa da tangente. • Leva 2 argumento: x e y, com sinais. • Sempre gera a mesma resposta. • Definição:

35. Definição de atan2(y,x) y x

36. Atan2(y,x)

37. Algébrico x Geométrico • Dois métodos podem ser usados para se obter a solução fechada: • o algébrico e o geométrico. • Tal distinção é um tanto quanto nebulosa: • todo método geométrico empregado é aplicado por expressões algébricas, portanto os dois métodos são similares. • Os métodos diferemapenas em termos de abordagem.

38. Algébrico x Geométrico • Como introdução, vamos considerar as duas abordagens para a solução de um manipulador planar simples de três elos: • Geométrica • Algébrica

39. Exemplo 3: Manipulador 3R

40. Exemplo 3: Manipulador 3R • Como trabalhamos com um manipulador planar, a especificação desses pontos alvos pode ser obtida com mais facilidade especificando-se três números: x, ye ϕ, sendo ϕ a orientação do elo 3 no plano.

41. Soluçãogeométricapara o 3R • Na abordagem geométrica para encontrar a solução de um manipulador, procuramos decompor a geometria espacial do braço em vários problemas de geometria plana. • Para muitos manipuladores (em particular quando αi = 0 ou ±90), isso consegue ser feito com bastante facilidade.

42. Soluçãogeométricapara o 3R • A Figura 4.8 mostra o triângulo formado por l1, l2e a linha que une a origem do sistema de referência {0} com a origem do sistema de referência {3}. • As linhas pontilhadas representam a outra configuração possível do triângulo que levaria à mesma posição do sistema de referência {3}.

43. Figura 4.8 (livro Craig) ϕ

44. Figura 4.8 (livro Craig) θ3 θ2 θ1

45. Soluçãogeométricapara o 3R • Considerando o triângulo contínuo, podemos aplicar a “lei dos cossenos” para resolver θ2: • Agora, , assim:

46. Figura 4.8 (livro Craig)

47. Soluçãogeométricapara o 3R • Para que esse triângulo exista, a distância ao ponto alvo deve ser menor ou igual à soma do comprimento dos elos, l1 + l2. • Em um algoritmo computacional essa condição seria verificada neste ponto, para confirmar a existência de soluções. • Tal condição não é satisfeita quando o ponto alvo está fora do alcance do manipulador.

48. Soluçãogeométricapara o 3R • Presumindo que uma solução existe, essa equação é resolvida por um valor de θ2 que está entre 0 e –180 graus, porque somente para esses valores o triângulo da Figura 4.8 existe. • A outra solução possível (indicada pelo triângulo pontilhado) é encontrada por simetria como θ'2 = –θ2.(arccos resulta em 2 valores)

49. Solução geométrica para o 3R • Para resolver θ1, encontramos expressões para os ângulos ψ e β como mostra a Figura 4.8. • Primeiro, β pode estar em qualquer quadrante, dependendo dos sinais de x e y:

50. Figura 4.8 (livro Craig)