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  1. Matemática – Unidade 1

  2. Educação a Distância – EaD Matemática Professor: Flávio Brustoloni

  3. Matemática Cronograma: Turma ADG0096

  4. Objetivos da Disciplina: • Conhecer os conceitos fundamentais da Matemática, com ênfase em equações, funções algébricas e suas aplicações, para alavancar os estudos afins no nível superior, desenvolvendo a capacidade de raciocínio formal e habilidades analíticas, tornando o processo de ensino e aprendizagem mais produtivo; • Observar, identificar, representar e utilizar conhecimentos algébricos e aritméticos, estruturando e apresentando relações com o uso de modelos matemáticos para compreender a realidade e agir sobre ela; • Estimar, prever resultados, realizar aproximações e apreciar a plausibilidade dos resultados numéricos envoltos no contexto de uma situação-problema; 1/94

  5. Unidade 1CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS 2/94

  6. Objetivos da Unidade: • A noção de conjunto e sua representação; • A classificação dos números: os conjuntos numéricos; • Potenciação e radiciação; • Equações algébricas; 3/94

  7. TÓPICO 1A noção de Conjunto e sua representação 4/94

  8. Tópico 1 Um conjunto é descrito como uma coleção de objetos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Por exemplo:* Conjunto dos países do MERCOSUL: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai* Conjunto das regiões brasileiras: Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sul, Sudeste* Conjunto dos números primos: 2,3,5,7,11,13, ... 2 Noção de Conjunto (Estamos na página 4 da apostila) 5/94

  9. Tópico 1 3 Representação de um Conjunto e relação de pertinência3.1 Representação Tabular (ou Descritiva) É aquela em que os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula. M = {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai} A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} (Estamos na página 5 da apostila) 6/94

  10. Tópico 1 3 Representação de um Conjunto e relação de pertinência3.1 Representação Tabular (ou Descritiva) Note que, no exemplo anterior, u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B, nem do conjunto M. Esses fatos são indicados por: (Lê-se “u pertence a A”) (Lê-se “u não pertence a A”) (Estamos na página 5 da apostila) 7/94

  11. Tópico 1 3 Representação de um Conjunto e relação de pertinência3.1 Representação Tabular (ou Descritiva) A B • a • e • i • o • u • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 (Estamos na página 6 da apostila) 8/94

  12. Tópico 1 3 Representação de um Conjunto e relação de pertinência3.2 Representação através de uma propriedade A representação de um conjunto A através de uma propriedade é aquela em que os elementos são descritos por uma característica comum que os determina.Apresenta-se o conjunto A por: A = {x | x tem a propriedade p}. Lê-se: “A é o conjunto de todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”. (Estamos na página 6 da apostila) 9/94

  13. Tópico 1 3 Representação de um Conjunto e relação de pertinência3.2 Representação através de uma propriedade a) A = {x | x é país da Europa}b) B = {x | x é mamífero}c) C = {x | x é par positivo}d) D = {x | x é divisível por 3} (Estamos na página 6 da apostila) 10/94

  14. Tópico 1 4 Tipos de Conjunto4.1 Conjunto Unitário É todo conjunto formado por um único elemento. a) A = {2}b) B = {x | x é estrela do Sistema Solar} = {Sol} (Estamos na página 7 da apostila) 11/94

  15. Tópico 1 4 Tipos de Conjunto4.2 Conjunto Vazio É todo conjunto que não possui elemento algum. Representado por ou { }. a) A = {x | x é número de 0 . x =3} = b) B = {x | x é palavra proparoxítona, da língua portuguesa, não acentuada} = { }c) C = {x | x R e é solução da equação x2 + 4 = 0} = { } (Estamos na página 7 da apostila) 12/94

  16. Tópico 1 4 Tipos de Conjunto4.3 Conjunto Finito É todo conjunto que, contando os elementos, um a um, chega-se ao fim da contagem. a) A = {a, b, c, d, e}b) B = {x | x é brasileiro}c) C = (Estamos na página 8 da apostila) 13/94

  17. Tópico 1 4 Tipos de Conjunto4.4 Conjunto Infinito É todo conjunto que não é finito. a) IN = {0, 1, 2, 3, ...}b) Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} (Estamos na página 8 da apostila) 14/94

  18. Tópico 1 4 Tipos de Conjunto4.5 Conjunto Universo Conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elementos desse estudo. a) Quando estudamos a história da humanidade, o conjunto de todos os seres humanos que viveram e vivem até hoje é chamado de “Conjunto Universo” (U).b) Quando estudamos os números que podem resultar da contagem de unidades, o “Conjunto Universo” (U) é o conjunto dos números naturais (U = N). (Estamos na página 8 da apostila) 15/94

  19. Tópico 1 5 Subconjunto e Relação de Inclusão H está contido em BM está contido em BT não está contido em B (Estamos na página 9 da apostila) 16/94

  20. Tópico 1 5 Subconjunto e Relação de Inclusão A = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 3, 8, 9} A está contido em S Pois para todo e qualquer elemento x pertencente ao conjunto A, x pertence também ao conjunto S. (Estamos na página 9 da apostila) 17/94

  21. Tópico 1 5 Subconjunto e Relação de Inclusão B = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 3} B pertence a S (Estamos na página 9 da apostila) 18/94

  22. Tópico 1 5 Subconjunto e Relação de Inclusão No entanto, como B = S, então S = B.Neste caso utiliza-se outra simbologia. B está contido em Se B = S (Estamos na página 9 da apostila) 19/94

  23. Tópico 1 5 Subconjunto e Relação de Inclusão C = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 7, 9} Nem todo elemento de C é também elemento de S, ou seja, C não está contido em S (Estamos na página 10 da apostila) 20/94

  24. Tópico 1 5 Subconjunto e Relação de Inclusão A B (Estamos na página 10 da apostila) 21/94

  25. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.1 União (ou reunião) de conjuntos A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, pode sempre formar um novo conjunto C, simplesmente pelo agrupamento de seus elementos. A esse novo conjunto chamamos de união. (Estamos na página 11 da apostila) 22/94

  26. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.1 União (ou reunião) de conjuntos a) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} (Estamos na página 11 da apostila) 23/94

  27. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.1 União (ou reunião) de conjuntos b) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} {1, 2, 3} (Estamos na página 11 da apostila) 24/94

  28. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.1 União (ou reunião) de conjuntos c) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} {1, 2, 3} (Estamos na página 11 da apostila) 25/94

  29. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.1 União (ou reunião) de conjuntos d) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (Estamos na página 11 da apostila) 26/94

  30. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.1.1 Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn A e B possuem elementos em comum B é subconjunto de A A e B são conjuntos disjuntos (Estamos na página 11 da apostila) 27/94

  31. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.2 Intersecção (ou interseção) de conjuntos a) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4, 5} {1, 2} (Estamos na página 12 da apostila) 28/94

  32. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.2 Intersecção (ou interseção) de conjuntos b) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} {1, 2, 3} (Estamos na página 12 da apostila) 29/94

  33. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.2 Intersecção (ou interseção) de conjuntos c) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} {1, 2} (Estamos na página 12 da apostila) 30/94

  34. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.2 Intersecção (ou interseção) de conjuntos d) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} { } (Estamos na página 12 da apostila) 31/94

  35. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.2.1 Representação da intersecção de conjuntos em diagramas de Venn A e B possuem elementos em comum B é subconjunto de A A e B são conjuntos disjuntos (Estamos na página 13 da apostila) 32/94

  36. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3 Diferença de conjuntos a) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {3, 6, 7} A – B = {1, 2} e B – A = {6, 7} (Estamos na página 13 da apostila) 33/94

  37. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3 Diferença de conjuntos b) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} A – B = { } e B – A = { } (Estamos na página 13 da apostila) 34/94

  38. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3 Diferença de conjuntos c) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} A – B = { 3 } e B – A = { } (Estamos na página 14 da apostila) 35/94

  39. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3 Diferença de conjuntos d) Exemplo: A = { }, B = {1, 2, 3} A – B = { } e B – A = {1, 2, 3} (Estamos na página 14 da apostila) 36/94

  40. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn 1ª Situação: A e B possuem elementos em comum A - B B - A (Estamos na página 14 da apostila) 37/94

  41. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn 2ª Situação: A e B são conjuntos distintos A - B B - A (Estamos na página 14 da apostila) 38/94

  42. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn 3ª Situação: B está contido em A A - B B – A = { } (Estamos na página 15 da apostila) 39/94

  43. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.4 Complementar de um Conjunto a) Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} (Estamos na página 16 da apostila) 40/94

  44. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3 Diferença de conjuntos b) Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z = {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} (Estamos na página 16 da apostila) 41/94

  45. Tópico 1 6 Operações com Conjuntos6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn (Estamos na página 17 da apostila) 42/94

  46. Tópico 1 7 Problemas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos 1) Num grupo de 22 universitários há 8 que cursam Ciências Contábeis, 10 que cursam Administração e 2 que cursam ambos. Quantos não estão cursando nem Contábeis nem Administração? (Estamos na página 17 da apostila) 43/94

  47. Tópico 1 7 Problemas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos C. Contábeis Administração 2 10 8 (Estamos na página 18 da apostila) 44/94

  48. Tópico 1 7 Problemas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos C. Contábeis Administração 8 - 2= 6 10 - 2= 8 2 (Estamos na página 18 da apostila) 45/94

  49. Tópico 1 7 Problemas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos * 8 estudantes cursam Ciências Contábeis, mas 6 cursam apenas Ciências Contábeis;* 10 cursam Administração, destes, 8 cursam somente Administração;* 2 estudantes cursam as duas disciplinas.* Total = 16 estudantes envolvidos* Total de estudantes: 22 – 16 = 6, ou seja, 6 estudantes não estudam nem Ciências Contábeis nem Administração. (Estamos na página 18 da apostila) 46/94

  50. TÓPICO 2Classificação dos Números: os Conjuntos Numéricos 47/94