Variable aleatoria discreta

1. Variable aleatoria discreta PEDRO GODOY G.

2. Variable Aleatoria (v.a.) Variable Aleatoria: Una regla que asocia un número a cada resultado del espacio muestra.

3. Variable Aleatoria • Ejemplo. Se lanzan dos monedas, S = { SS, CC, CS,SC } 0 1 2 Si X = Número de caras obtenidas x = Notación: X = Variable Aleatoria. x = Sus valores.

4. Variable aleatoria • Discretas “Contar” • Conjunto finito de valores • Conjunto infinito numerable Variables Aleatorias • Continuas “Mediciones” • Toman valores en un intervalo

5. Variable aleatoria Ejercicio. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos pueden corresponder a los valores de una variable aleatoria discreta?

6. Ejemplo : Supongamos que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espacio muestral es { CC, CS, SC , SS} Si queremos estudiar la prob de obtener cara, la siguientes tabla muestra tal situación

7. Distribución de Probabilidad La función de distribución de probabilidad (fdp) para una v.a. discreta se define por f(x) = P(X = x) la probabilidad de que X sea igual a x.

8. Función de probabilidad P(CC) = ¼ P(CS) = ¼ P(SC) = ¼ P(SS) = ¼ P(X=0) = P(SS) = ¼ P(X = 1) = P( CS  SC) = ¼ + ¼ = ½ P(X = 2) = P(CC) = ¼ Luego Así la función de probab está dada en la tabla

9. Puesto que f(x) representa una probabilidad, debe ser congruente con los axiomas de probabilidad: 1.- 0  f(x)  1 2.- ; No hay probabilidades negativas. ; La suma de todas las probabilidades es 1. Distribución de Probabilidad

10. c) Por ser A un suceso, tiene definida una probabilidad, y por tanto podemos obtener la probabilidad de que la variable tome valores inferiores a un x dado. P(A)= P(X ≤ x ) d) P( a ≤ X ≤ b) = P( X ≤ b) - P(X ≤ a)

11. Distribución de Probabilidad Ejercicio. Dada la siguiente fdp (función de distribución de probabilidad) Calcula las siguientes probabilidades: a)P(X = 1) b)P(X > 1) c) P(X  4) d)P(0 < X < 5) e)P(0 < X  5)

12. Función de Distribución Acumulada En ocasiones nos interesa sumar probabilidades, ¿no existirá una función alternativa para calcular directamente la suma de probabilidades? Sí. Se llama FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

13. La función de distribución acumulada (fda) F(x) de una v. a. discreta, cuya distribución de probabilidad es f(x), se define como, Función de Distribución Acumulada

14. Si X toma únicamente un número finito de valores Entonces la función de distribución es:

15. Dada la tabla de distribución de probabilidad Hallar la función de distribución para la variable aleatoria X

16. x , f(x) Función de Distribución Acumulada Ejemplo. Hallar la distribución acumulada F(x) para 1 2 0 3/28 15/28 10/28 Solución. Debemos subdividir los números reales en intervalos, los cuales tienen como extremos los valores que toma la variable aleatoria: ]-,0[, [0,1[, [1,2[, [2, [

17. x 0 1 2 3/28 15/28 10/28 f(x) Función de Distribución Acumulada

18. Haga la gráfica de la siguiente función de distribución Su gráfica es

19. Función de Distribución Acumulada Ejercicio Por una promoción sale una cantidad “sorpresa” de estampitas en un paquete de galletas. Sea X = número de estampitas en un paquete de galletas seleccionado al azar. • Hallar f(x) en forma tabular • Hallar: f(2) P(X ≤ 4) P(X < 3) P(X > 4) R = b) 0.2; P(X ≤ 4) =0.67; 0.39; 0.33

20. x 1 2 3 0 f(x) = P(X = x) 1/7 3/7 2/7 1/7 Valor esperado Consideremos a 70 personas que compran discos de colores, 10 no compran discos, 30 compran 1 disco rojo, 20 compran 2 discos rojos y 10 compran 3 discos rojos Si X = número de discos rojos que compra un cliente al azar. Supongamos que observamos muchos clientes. • ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 0? • ¿qué porcentaje esperamos que resultarían con X = 1?

21. x 1 2 3 0 f(x) = P(X = x) 1/7 3/7 2/7 1/7 Valor esperado • Queremos saber el promedio de discos vendidos por cliente.

22. Valor esperado Valor esperado de una v. a. discreta Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es,

23. Valor esperado Ejercicio: Se lanza un dado y sea X = el número obtenido, ¿cuál es el valor esperado de X? • R: 3.5

24. Valor esperado Sea X una v. a. con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de la v.a. g(x) es,

25. R = a) 5.8125; b) $23.250 Valor esperado • Ejercicio: Supongamos que la probabilidad de que ColoColo sea campeón en los próximos 4, 5, 6 o 7 juegos es respectivamente. • ¿Cuál es el valor esperado del número de juegos en que termina con colocolo campeón? • Si la entrada a cada partido es de $4000, ¿cuál es el valor esperado del gasto que hará una persona que asistirá a todos los juegos?

26. Valor esperado Propiedad del valor esperado

27. Varianza Sea X una v.a con distribución de probabilidad f(x) y media m = E(X). La varianza de X es

28. Varianza Ejercicio: La fdp del número X de cilindros del siguiente automóvil que vaya a afinarse en cierto taller es: Calcule E(X) y V(X). R = 5.4, 2.44

29. Varianza Fórmula abreviada. Ejercicio: Calcular V(X) del ejercicio anterior con la fórmula abreviada.

30. Varianza Propiedad de la varianza

31. Varianza R = 2.3, 0.81 Ejercicio Una compañía proveedora de productos químicos tiene actualmente en existencia 100 libras de cierto producto, que vende a clientes en envases de 5 libras. Sea X el número de envasesordenados por un cliente seleccionado al azar, y suponga que X tiene una fdp: Calcule E(X) y V(X).

32. Experimento BINOMIAL Hay muchos experimentos que cumplen con los siguientes requisitos. • El experimento consiste en una secuencia de n intentos. n es fijo. • Los intentos son idénticos y cada uno puede resultar en éxito (S) o fracaso (F). • Los intentos son independientes, es decir, el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de otro intento. • La probabilidad p de éxito es constante de un intento a otro. Un experimento así se llama experimento binomial. La variable aleatoria X que sea igual al número de éxitos se llama variable aleatoria binomial. x = { 0, 1, 2, …, n}.

33. Distribución BINOMIAL • Suponga un experimento binomial con: • n= 4 intentos. • p = probabilidad de éxito en cada intento • X = variable aleatoria que representa el número de éxitos en los 4 intentos. • Encuentre la distribución de probabilidad de X.

34. Distribución BINOMIAL

35. Distribución BINOMIAL Sea X una v. a. binomial. X ~ Bin(n, p) Su función de probabilidad está dada por:

36. Distribución BINOMIAL • Ejercicio: Un estudiante presenta un examen de falso/verdadero y dado que no conoce el tema decide contestarlo totalmente al azar. El examen consta de 10 preguntas. • ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas las preguntas correctamente? • ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen con al menos un 7? R = a) 1/1024; b) 0.1719;

37. Distribución BINOMIAL • Sólo el 20% de los automovilistas se detienen por completo cuando no hay otros automóviles visibles en un crucero donde hay un semáforo con luz roja en todas direcciones. ¿Cuál es la probabilidad de que, de 4 automovilistas seleccionados al azar… • a lo más 2 se detengan por completo? • exactamente 2 se detengan por completo? • por lo menos 3 se detengan por completo? • ¿Cuántos automovilistas, de entre los 4 seleccionados, se espera que se detengan por completo? • R: 0.9728, 0.1536, 0.0272, 0.8 autos en promedio

38. Ejemplo: Se realiza ocho veces el lanzamiento de un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 veces el número 6?

39. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: • Las cinco personas • Al menos tres personas • Exactamente dos personas

40. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

41. Teorema: (Valor esperado y varianza de una v.a.binomial) Sea X Bin (n; p) : El valor esperado de X está dado por E(X) = np La varianza de X está dada por Var (X) = npq

42. La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque dada es 3/4. Si se prueban seis componentes de manera consecutiva, a) Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente dos de los seis componentes. b) Encuentre la probabilidad de que sobrevivan a lo más dos componentes. c) Encuentre la probabilidad de que sobrevivan más de dos componentes. d) Calcule el número esperado de componentes que sobrevivirán entre los seis probados.

43. Se realiza el lanzamiento de tres monedas y se observa X = Número de águilas en los lanzamientos. a) Calcule la probabilidad de observar cero águilas.. b) Calcule la probabilidad de que se observe un águila., X = 1 c) Obtenga la probabilidad de observar cuando mucho un águila. d) Obtenga la probabilidad de observar más de un águila. e) Calcule el número esperado de .águilas. en los tres lanzamientos y la varianza del número de .águilas

44. Parte de cierto examen de estadística contiene cinco preguntas que deben ser respondidas con verdadero o falso. Suponga que un alumno responde aleatoriamente a las cinco preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte a) a ninguna respuesta? b) cuando mucho a una respuesta? c) a más de una respuesta? d) a las cinco respuestas? e) Calcule el número esperado de respuestas correctas y la varianza del número de respuestas correctas.

45. Ejemplo Los registros muestran que 30% de todos los pacientes admitidos a una clínica paga sus facturas con tarjeta de crédito. Suponga que durante cierta semana fueron admitidos 10 pacientes. Determine: a) La probabilidad de que ningún paciente pague con tarjeta de crédito. b) La probabilidad de que menos de cinco pacientes paguen con tarjeta de crédito. c) La probabilidad de que todos los pacientes paguen con tarjeta de crédito. d) Que todos los pacientes, menos uno, paguen con tarjeta de crédito. e) Calcule el valor esperado y la varianza del número de pacientes que pagarán con tarjeta de crédito.