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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

4. Variable aleatoria discreta

El mismo Doob explicaba el origen del término variable aleatoria (random variable): "Cuando estaba escribiendo mi libro [Stochastic Processes] tuve una discusión con William Feller. Él aseguraba que todo el mundo decía "variable aleatoria" (random variable), mientras que yo sostenía que se usaba "variable al azar" (chance variable).

Obviamente, debíamos usar el mismo nombre en nuestros libros, así que optamos por tomar la decisión mediante un procedimiento aleatorio: lanzamos una moneda y él ganó".

variable aleatoria
Variable aleatoria

Una variablealeatoriaX es una función que asocia a

cada suceso del espacio muestral E de un experimento

aleatorio un valor numérico real:

Llamar variable a una función resulta algo confuso,

por ello hay que insistir en que es una función.

La variable aleatoria puede ser discreta o continua.

Veremos en este capítulo el caso discreto.

slide3

Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar

3 monedas.

Elementos del espacio muestral

+++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

Ley de correspondencia

Nº reales

(# de caras)

0 1 2 3 caras

Establecer una variable aleatoria

para un experimento aleatorio no

es más que una manera de asignar

de "manera natural" números a los

eventos.

slide4

P

........

1 2 3 99 100 X

1/100

Función de probabilidad

Voy a pensar un número entero del 1 al 100.

“¿Qué numero será?”

Intentaremos representar el estado de incertidumbre mediante una función matemática: la función de probabilidad.

slide5

Distribución uniforme discreta

En muchos casos asumimos que todos los resultados de

un experimento aleatorio son igualmente posibles.

Si X es una variable aleatoria que representa los resultados

posibles del experimento, decimos que X se distribuye

uniformemente.

Si el espacio muestral consta de n sucesos simples,

0 < n < ∞ , entonces la función de probabilidad discreta se

define como p(x) = 1/n para todo x del espacio muestral.

En un ordenador podemos generar una distribución de valores

con esta probabilidad con:

1 + int [n (rnd)]

slide6

Supongamos que me preguntáis si es par.

Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función?

P

1/50

........

1 2 3 99 100 X

Os pido una pregunta de modo que mi respuesta

genere una función de incertidumbre, de probabilidad,

tal que los valores del espacio muestral posibles (con

probabilidad distinta de cero) no tengan todos la misma

probabilidad. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?”

o “¿Es un número primo?” ?

slide7

Función de probabilidad o distribución

Una vez definida una variable aleatoria X, podemos

definir una función de probabilidad o distribución

de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:

La función de probabilidad debe cumplir:

(Suma sobre todos los posibles valores

que puede tomar la variable aleatoria).

funci n de probabilidad discreta
Función de probabilidad discreta

ValoresProbabilidad

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

Z

Z

Z

Z

requerimientos de una distribuci n de probabilidad

X

P(X)

X

P(X)

X

P(X)

-1

0

1

2

3

.1

.2

.4

.2

.1

1.0

-1

0

1

2

3

-.1

.3

.4

.3

.1

1.0

-1

0

1

2

3

.1

.3

.4

.3

.1

1.2

Requerimientos de una distribución de probabilidad
slide10

Observa que aun si el espacio muestral es infinito numerable, también podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad.

Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara.

Entonces:

P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 ∙ 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8

...

y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1, 2,…

Demuestra que está normalizada.

slide11

Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos

el espacio muestral E como:

E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como:

con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.

Una posible función de probabilidad es:

slide12

6/36

P

5/36

5/36

4/36

4/36

3/36

3/36

2/36

2/36

1/36

1/36

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

Función de probabilidad de la variable aleatoria X

Observa que cumple las dos condiciones: es siempre

positiva (y menor o igual a 1) y está normalizada.

slide13

Función de distribución (acumulada)

Dada una variable aleatoria discreta X se llama

función de distribución a la función F definida

como:

En nuestro ejemplo de los dos dados:

F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

slide14

Función de distribución de la variable aleatoria X

F

1,0

0,5

0,028

x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

slide15

1

F(x)

f(x)

0.5

x

x

6

0

1

6

1

0

Función de probabilidad f(x)

Función de distribución F(x)

Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:

X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valoresx=1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

slide16

Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X  b) de que X asuma algún valor en un intervalo (a, b]. Observa que:

P(a < X  b) = F(b) - F(a)

Para demostrarlo observa que, como los sucesos

X  a y a < X  b son mutuamente excluyentes, entonces:

F(b) = P(X  b) = P(X  a) + P(a < X  b)

= F(a) + P(a < X  b)

En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8:

P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

slide17

Algunas propiedades de la función de distribución

F es monótona creciente.

F es continua por la derecha: la probabilidad de

que la variable aleatoria discreta X tome un valor

concreto es igual al salto de la función de distribución

en ese punto.

slide18

Monte Carlo

Por método de Monte Carlo en general entendemos la simulación de los resultados de un experimento utilizando una computadora y un generador de números aleatorios. Se utiliza cuando un cálculo es difícil de realizar por otros métodos numéricos o algebraicos, o cuando somos demasiado vagos o ignorantes como para solucionarlo por métodos más elegantes.

Rectángulo de área A

y

Ejemplo clásico: área debajo de una curva. Dada un área A fácil de medir, que contiene una curva f(x) difícil de integrar, se puede calcular el área debajo de la curva mediante la generación de N pares de números aleatorios (x,y) que representan coordenadas. Se cuentan los puntos que caen por debajo de la curva y entonces:

f(x)

x

slide19

Aleatoriedad

Deborah J. Bennett

Alianza Editorial, 2000.

slide20

Método de Monte Carlo

Realicemos ahora el siguiente experimento aleatorio: girar la ruleta de la imagen y apuntar el número del sector que coincide con la flecha.

La variable aleatoria X de este experimento asocia cada sector a un número entero, como podemos observar en la imagen. Es una variable aleatoria discreta. Los resultados posibles son:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Por simetría podemos establecer una función de probabilidad: la probabilidad de cada resultado es 1/8.       

slide21

Repitamos un experimento aleatorio semejante, pero ahora con esta nueva ruleta:

Ahora el espacio muestral está compuesto por 4 eventos. Establecemos una nueva variable aleatoria discreta X' que asocia cada sector (evento) a los números: {0, 1, 2, 3}.

Ahora teniendo en cuenta el tamaño relativo de los sectores podemos establecer una función de probabilidad, que asocia a cada uno de los valores de la variable aleatoria

{0, 1, 2, 3} las probabilidades {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, respectivamente (proporcionales al ángulo del sector).           

slide22

La variable aleatoria X en el primer ejemplo de la ruleta está uniformemente distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el segundo ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida.

El problema crucial de la aplicación de los métodos de Monte Carlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1], proporcionada por el ordenador.

slide24

Una vez visto un caso particular, el problema general puede formularse del siguiente modo:

Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados son {x0, x1, x2 , ... xn} y sean {p0, p1, p2, ... pn} sus respectivas probabilidades. Al sortear un número aleatorio g, uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el resultado xi, si se verifica la siguiente condición:

esperanza matem tica o media de una funci n de probabilidad discreta
Esperanza matemática o mediade una función de probabilidad discreta

X P(X)

X

P(X)

-.1

.0

.4

.4

.3

1.0

-1

0

1

2

3

.1

.2

.4

.2

.1

Siempre que no genere

ambigüedad pasaremos

de arrastrar la variable

aleatoria: en vez de poner

X = xiponemos directamente xi.

slide27

(1)

(2)

Sean a, b y c constantes. Demuestra que:

(1)

(2)

(3)

slide28

Supongamos que tenemos que hacer unos análisis clínicos

de sangre. Queremos detectar una enfermedad que

afecta a 1 de cada 1000 personas. Los pacientes acuden

en grupos de 50. ¿Qué nos sale económicamente más

a cuenta: analizar paciente a paciente o mezclar la sangre de

los 50 y analizar la mezcla?

Tomando la mezcla, en promedio tendremos que hacer

unos 21 análisis en vez de 50 por grupo.

slide29

Juegos

  • A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza matemática de la variable aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media
  • que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces.
  • Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo.
  • Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador.
  • Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable.
  • Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?
slide30

Espacio muestral E = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas:

Variable aleatoria X Función de probabilidad

0,7

50

R

0,3

-150

N

Ganancia media

slide31

Una compañía de seguros domésticos tiene que determinar

el gasto medio por póliza suscrita, sabiendo que cada año

1 de cada 10.000 pólizas termina en una reclamación de

20 millones, 1 de cada 1.000 en 5 millones, 1 de cada 50 en

200.000 y el resto en 0.

slide33

Marc Kac, en Enigmas of Chance (1985), explica cómo aplicar el concepto de esperanza a la vida real:

"Una semana, apareció un anuncio del Imperial College of Science and Technology ofreciendo un puesto de profesor de Matemáticas con un salario de 150 libras anuales; ser ciudadano británico no era requisito necesario. El salario era tan escaso que supuse que ningún ciudadano británico respetable estaría interesado en ese trabajo. Fui a preguntar a Steinhaus si debía o no optar al puesto. Por entonces no sabía ni una palabra de inglés, pero estaba dispuesto a jurar que mis conocimientos eran los suficientes.

"Déjame pensar", me dijo Steinhaus. "Estimaría que la probabilidad de que consigas el trabajo es de una entre mil. Si multiplicas esto por ciento cincuenta libras, tienes tres chelines. Eso es mucho más de lo que cuesta enviar la carta, así que deberías hacerlo". Lo hice, pero el trabajo fue al final para un ciudadano británico (después de todo, sí que había alguno interesado)”.

slide34

Momento de orden k de una variable

aleatoria discreta

De forma más general podemos definir la esperanza

matemática o media no solo para una variable aleatoria X,

sino para cualquier función T(X) como:

Tomando como casos particulares a las funciones:

obtenemos los momentos de orden k centrados en el origen:

slide35

Y tomando como casos particulares a las funciones:

obtenemos los momentos de orden k centrados en

la media de X:

Observa que:

varianza y desviaci n est ndar o t pica de una funci n de probabilidad discreta
Varianza y desviación estándar o típica de una función de probabilidad discreta

Varianza

Desviación estándar

o típica

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación

típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.

ejemplo
Ejemplo

X

P(X)

.4

.2

.0

.2

.4

1.2

-1

0

1

2

3

.1

.2

.4

.2

.1

-2

-1

0

1

2

4

1

0

1

4

slide38

Calcula la varianza y desviación típica de la variable

aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

slide40

La apuesta de Pascal

Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien, y dos cosas que comprometer: su razón y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las que debe huir: el error y la miseria. Su razón no está más dañada, eligiendo la una o la otra, puesto que es necesario elegir. He aquí un punto vacío. ¿Pero su bienaventuranza? Vamos a pesar la ganancia y la pérdida, eligiendo cruz (de cara o cruz) para el hecho de que Dios existe. Estimemos estos dos casos: si usted gana, usted gana todo; si usted pierde, usted no pierde nada. Apueste usted que Él existe, sin titubear.

Pensamientos, Blaise Pascal (1670)

«Deberías vivir tu vida e intentar hacer del mundo un lugar mejor estando en él, tanto si crees en dios como si no. Si no hay dios, no habrás perdido nada y serás recordado al morir por todos los que dejaste atrás. Si existe un dios benevolente, te juzgará a ti y a tus méritos y no por el hecho de si has creído o no en él».

Michael Martin

slide41

La paradoja de Parrondo

(perder + perder = ganar)

slide42

Sea X(t), el capital en el instante t. Diremos que un juego es ganador (perdedor) si el promedio <X(t)> es una función monótona creciente (decreciente) de t. Y será un juego justo si <X(t)>

es constante.

Es fácil probar que el juego A es un juego perdedor si e positivo:

<X(t+1)>-<X(t)> = <X(t+1)-X(t)> =

(1/2 - e) - (1/2 + e) = -2e

slide44

La paradoja de San Petersburgo

«Se comienza con un “bote” de dos euros. Se lanza una moneda al aire: si sale cruz, yo doblo la cantidad que hay en el bote; si sale cara, usted se lleva el bote disponible en ese momento. Es decir, si la primera tirada es cara, usted gana 2 euros, si la primera tirada es cruz y la segunda cara, gana 4 euros, si la primera cara sale en la tercera tirada gana 8 euros, y si la primera cara sale en la tirada n-ésima gana 2neuros. Obviamente, lo que a usted más le conviene es que salga cara lo más tarde

posible. En cualquier caso, usted gana siempre algo de dinero, por lo que es justo que yo le cobre alguna cantidad o cuota para permitirle participar en el juego».

Daniel Bernoulli 1738

San Petersburgo.

  • «La pregunta que se hizo Bernouilli, y que en cierto modo sigue sin resolverse, es: ¿cuál es la cuota de entrada que se debería cobrar para que el juego fuera justo?»

J. M. Parrondo

INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 2007

slide45

La paradoja de San Petersburgo

Sea X la ganancia. Su valor esperado o ganancia media, es:

(La probabilidad de que salga cara por primera vez en la n-ésima tirada es: 1/2n )

¡El jugador debería pagar una cantidad infinita para que el juego fuera justo!

«En otras palabras, si yo le ofrezco entrar en el juego con una cuota de, digamos, un millón de euros, usted debería aceptar, porque la ganancia media en el juego, que es infinita, supera esa y cualquier otra cantidad. Sin embargo, nadie en su sano juicio aceptaría semejante trato. Esta es la paradoja de San Petersburgo: el sentido común nos dice que el valor medio de la ganancia no determina la cuota de entrada aceptable.

¿Cómo determinamos entonces dicha cuota?»

slide46

El problema fundamental del juego de San Petersburgo es que proporciona

premios muy cuantiosos con probabilidad extremadamente pequeña. Por ejemplo, si la primera cara aparece en la tirada décima, la ganancia es de 1024 euros, y esto ocurre con una probabilidad de 1 entre 1024. Las ganancias crecen exponencialmente mientras que las probabilidades decrecen también exponencialmente, siendo siempre el valor medio de cada posible premio igual a un euro.

Cruz 23 veces seguidas: más de 16

millones de ganancia (en un millón de

turnos, esto puede ocurrir

con una probabilidad

superior al 5 %).

slide47

La paradoja del vaticinio

(paradoja de William A. Newcomb 1969)

Vas a jugar contra el supercomputador HAL 9000, capaz de vaticinar la elección de su contrincante. HAL es un oráculo moderno. Te presenta dos cajas cerradas: la caja 1 que puede contener 0 o 1.000 euros y la caja 2 que puede contener 0 o 1.000.000 euros.

Piensa que HAL vaticina con total seguridad lo que vas a escoger:

Si HAL vaticina que optarás por las dos cajas, pondrá 1.000 euros en la caja 1 y nada en la caja 2.

Si HAL vaticina que optarás por la caja 2, pondrá 1.000euros en la caja 1 y 1.000.000de euros en la caja 2.

(c) Si HAL vaticina que elegirás las dos cajas, y sin embargo, optas por la caja 2, no ganas nada.

(d) Si HAL vaticina que optarás por la caja 2, y sin embargo, optas por las dos cajas, ganas las sumas contenidas en las cajas 1 y 2, es decir: 1.001.000euros.

slide48

Matriz de pagos (Teoría de juegos):

HAL

¿Qué eliges: recibir el contenido de ambas cajas o sólo el de la caja 2?

slide49

Todo está ya listo: ¿Qué opción eliges?

La gente (incluidos los matemáticos y filósofos profesionales) suele dividirse en dos bandos:

Los que optan por la caja 2:

Si optas por las dos cajas: HAL lo habrá vaticinado y habrá colocado 1.000 euros en la caja 1 y nada en la 2. Premio: 1.000 euros.

Pero si optas por la caja 2: HAL lo habrá vaticinado y habrá colocado 1.000 euros en la caja 1 y 1.000.000 de euros en la caja 2. Premio: 1.000.000 euros.

Es preferible tener la casi plena certeza de ganar 1.000.000 de euros que ganar 1.000 euros.

Los que optan por las dos cajas:

HAL ya ha efectuado su vaticinio, de modo que el contenido de la caja 2 ya está determinado: así que la caja 2 contiene 1.000.000 euros o nada.

Si HAL puso 1.000.000 de euros en la caja 2, al optar por las dos cajas, ganaré 1.001.000 euros. Si HAL solo puso 1.000 euros en la caja 1, me conviene también optar por las dos, puesto que mejor 1.000 euros que nada.