TEMA 2: VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL

1. TEMA 2: VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL 2.1 VARIABLE ALEATORIA. 2.3 CARACTERIZACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA 2.2 CLASIFICACIÓN: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS/CONTINUAS 2.4 DISTRIBCIONES DE PROBABILIDADES 2.5 FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES Bibliografía: Freund y Miller (2000) Estadística matemática con aplicaciones Casas (1995) Introd. a la estad. para Economía y Admi. de Empr.

2. VARIABLE ALEATORIA: Definición y caracterización Definimos el término Variable Aleatoria: transformación que permite pasar del campo del experimento al campo o conjunto de los números reales. “En la mayoría de los experimentos sólo nos interesan números asociados con sus resultados  valores asumidos por las Var. Aleatorias” Ejemplo: Supongamos un experimento consistente en lanzar una moneda 2 veces: W[ (cc) (cx) (xc) (xx)]. Definimos una variable aleatoria  = nº de caras al lanzar una moneda 2 veces, el ´nuevo espacio muestral B en el entorno de los números reales es: (cc)2 (cx)1 B[2,1,0] (xc)1 (xx)0

3. VARIABLE ALEATORIA: Definición y caracterización Ejercicio 1: De una gaveta que contiene 5 calcetines rojos y 3 calcetines verdes se sacan en sucesión 2 al azar. Enumera los elementos del espacio muestral así como las probabilidades asociadas a cada uno de sus posibles resultados. Obtener los resultados/espacio muestral de la variable aleatoria “nº de calcetines rojos seleccionados” W[RR, RV, VR, VV] Resultado Prob Var. Aleatoria RR  5/8*4/7=5/14  2 RV  5/8*3/7=15/56  1 VR  3/8*5/7=15/56  1 VV  3/8*2/7=3/28  0

4. VARIABLE ALEATORIA: Clasificación • Variables aleatorias discretas: cuando el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable es finito o infinito numerable • X= nº de caras al lanzar una moneda al aire • Y= nº de llamadas telefónicas en una centralita en una hora • Variables aleatorias continuas: cuando el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable es infinito no numerable. • X= altura de todos los alumnos de la facultad • Y= tiempo en subir a la facultad

5. VARIABLE ALEATORIA: Clasificación Variables aleatorias discretas Variables aleatorias continuas Función Cuantía Función de densidad Función de distribución

6. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Función Cuantía Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2,..xn. La función cuantía o de probabilidad viene dada por: P(X=x)= f(x) f(x) f(x2) f(x3) f(x1) Representa la probabilidad de que la Var. Aleatoria tome un determinado valor x1 x2 x3 x

7. Dibujar la función cuantía del Ejercicio 1 Variable aleatoria “nº de calcetines rojos seleccionados” 5 calcetines rojos, 3 calcetines blancos W[RR, RV, VR, VV] Prob Var. Aleatoria RR  5/8*4/7=5/14  2 RV  5/8*3/7=15/56  1 VR  3/8*5/7=15/56  1 VV  3/8*2/7=3/28  0

8. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Función de densidad La función de densidad representa el límite del histograma de frecuencias relativas. El área bajo la función f(x) es igual a la unidad. f(x)0  - x

9. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Propiedades de la función de densidad f(x)

10. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Función de distribución Llamamos función de distribución de una variable aleatoria discreta X a aquella que a cada valor de la variable le hace corresponder la probabilidad de que tome un valor menor o igual al observado: F(X)= P(Xxi)=xix P(xi) F(x) 1 F(x2) F(x1) x1 x2 x3 x

11. Dibujar la función de distribución del Ejercicio 1 Variable aleatoria “nº de calcetines rojos seleccionados” 5 calcetines rojos, 3 calcetines blancos W[RR, RV, VR, VV] Prob Var. Aleatoria RR  5/8*4/7=5/14  2 RV  5/8*3/7=15/56  1 VR  3/8*5/7=15/56  1 VV  3/8*2/7=3/28  0

12. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Función de distribución F(x) función de distribución acumulativa = probabilidad de que la variable aleatoria continua X como valores menores o iguales a x. x

13. Propiedades de la Función de distribución • 0F(X) 1 • Si x1<x2 F(x1)<F(x2) • Lim Fx(x)=1 • x  • Lim Fx(x)=0 • x - • Sean a,b R y a<b P(a<X b)= F(b)-F(a) • P(X>x)=1-F(x)