UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade IV Interpolação Polinomial

2. SUMÁRIO INTRODUÇÃO PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO POLINÔMIO INTERPOLADOR TEOREMA (EXISTÊNCIA E UNICIDADE) FORMA DE LAGRANGE FORMA DE NEWTON FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

3. SUMÁRIO NEWTON GREGORY INTERPOLAÇÃO INVERSA

4. Introdução

5. Introdução: A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em certos pontos. A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

6. Um dos motivos desta aproximação é: Estimar valores intermediários entre dados precisos. EXEMPLO: É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada 10 anos. Portanto nos anos em que é realizado o censo, tem-se dados precisos da população do país. Os valores do número de habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de uma interpolação.

7. Problema Geral da Interpolação Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos: A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:

8. f(x) f(x) (x5 , f(x5)) (x1 , f(x1)) g(x) (x0 , f(x0)) (x3 , f(x3)) (x4 , f(x4)) (x2 , f(x2)) f(x) x x4 x5 x0 x1 x2 x3 Graficamente: x

9. Nesta unidade consideraremos queg(x) pertence à classe das funções polinomiais. OBSERVAÇÃO: Existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor para a qual as condições de interpolação são outras. Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc.

10. Polinômio interpolador: Consideremos o intervalo [a, b] Ì R, os pontos x0, x1, ..., xnÎ [a, b] e uma função f cujos valores são conhecidos naqueles pontos. Um polinômio P, de grau menor do que ou igual a n, que satisfaz P(xi) = f(xi), i = 0 , 1, 2, ..., n, chama-se polinômio interpolador de f nos pontos x0, x1, ..., xn.

11. Teorema (Existência e Unicidade) Dado um conjunto de n + 1 pontos distintos, isto é (xk, fk), k = 0, 1, ..., n, com xk≠ xj para k ≠j. Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que p(xk) = f(xk) = fk para k = 0, 1, 2, ..., n. DEMONSTRAÇÃO

12. Forma de Lagrange

13. Vamos considerar o conjunto de n+1 pontos (xk, fk), k = 0, 1, 2, ..., n, distintos e vamos considerar o polinômio representado por ondeLk(x) é um polinômio de grau· n que satisfaz a relação: Com isto temos que 0 0 1 0 pn(xj) = f0L0(xj) + f1L1(xj) + ...+ fjLj(xj) + ... + fnLn(xj) pn(xj) = fj

14. Logopn(x) satisfaz a condição de interpolação, sendo assim, o polinômio interpolador def(x) nos pontosx0, x1, ..., xn. Os polinômiosLk(x) são chamados de polinômios de Lagrange e estes são obtidos da seguinte forma:

15. Exemplo:Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo anterior e determinar uma aproximação para f(0.3) usando a forma de Lagrange. Calculando osLk(x)temos:

16. Fazendo: Obtemos: p(x) = x2 - x + 4. Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema linear. Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é único. Desta forma, para x =0,3Î [0, 0.4] , teremos f(0.3) ≈ p(0.3) = 3.79.

17. Forma de Newton OPÇÃO 1 OPÇÃO 2

18. Nesta unidade será visto outro método de determinar o polinômio de interpolação. Tal polinômio será chamado de Polinômio de Newton. A expressão do polinômio de Newton é dada por: onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios (x –x0), (x –x0) (x –x1), ..., (x –x0) (x –x1)... (x –xn-1) são chamados de diferenças divididas.

19. Como é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0, x1, ..., xn entãopn(xi) = f(xi), 0  i  n . Assim, pn(x0) = f(x0)  f(x0) = d0 pn(x1) = f(x1)  f(x1) = d0 + d1(x1 - x0)  d1 = f[x0, x1] pn(x2) = f(x2)  f(x2) = d0 + d1(x2 - x0) + d2(x2- x0) (x2 – x1)  d2 =

21. Diferenças divididas: CASO GERAL Pode-se mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades: (1) onde j é uma permutação do conjunto {0, 1, ..., n} (2)

22. Desta forma, o polinômio de Newton é expresso por: As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma tabela recursiva. Como exemplo, será apresentado uma tabela envolvendo diferenças divididas até ordem 4.

24. Teorema Seja f(x) derivadas contínuas até ordem n + 1. Sejam x0< x1< ...< xn, n + 1 pontos distintos da função. Seja pn(x) o polinômio que interpola f(x) nestes pontos. Então, , o erro de truncamento da interpolação polinomial vale: ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INT. INV. N. G.

25. A equação tem uso limitado na prática, pois raramente ξ é conhecido. Sua principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para as fórmulas de interpolação, integração e diferenciação numérica. Assim, é usual trabalhar com uma cota superior de erro de truncamento dada por:

26. Caso a expressão f(x) não seja conhecida, o erro pode ser estimado através do maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem n + 1, isto é: pois, e Logo,

27. INTERPOLAÇÃOINVERSA

28. Sejamconhecidosn + 1 pontosdistintos O problema da interpolação inversa consiste em : dado obter talque Umasoluçãopara este problema é obter que interpola f(x) nos pontos e em seguida encontrar talque Neste caso, não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do erro cometido. As equações permitem medir o erro ao se aproximarf(x) por , e não o erro ao se aproximar

29. Interpolação inversa: Considerando que f(x) seja inversível em um intervalo contendo pode-se fazer a interpolação de Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a , b] seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo.

30. Sef(x) é inversível, o problema de se obter , é facilmente resolvido, obtendo-se que interpola sobre o intervalo Para isto, basta considerar x como uma função de y e aplicar algum dos métodos estudados para interpolação:

31. Desta forma, o erro de truncamento cometido pode ser medido, utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente. Uma estimativa para o erro é dada por: