Les quatre opérations de base et calculs

1. Les quatre opérations de base et calculs David Rolland, formateur en Mathématiques

2. Plan du cours- Préambule - Classification et analyse des différents modes de calcul - Addition et soustraction - Multiplication et division - Calculs sur les radicaux - Calculs sur les puissances

3. Préambule : Indiquez comment vous effectueriez ces 5 calculs suivant : • 38 x 25 • 60 + 16 • 38 x 0,25 • 326,25 x 82,75 • 2332 - 568

4. I / Classification des différents modes de calcul Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques. Calcul automatisé : fait appel à un résultat déjà mémorisé et se limite à exécuter un algorithme Calcul réfléchi ou raisonné : ayant à faire un certain type de calcul, on utilise une procédure dépendant des nombres en jeu. Exemple : ayant à faire une soustraction, on utilise toujours la même technique de calcul posé. Exemples : 64 - 5 = 64 - 4 - 1 = 60 - 1 = 59 Calcul écrit 64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5 12×25 = 3×4 ×25 = 3×100 = 300 Exemple : ayant à diviser par 25, mentalement, on multiplie par 4 et on divise par 100. Exemple : Calcul mental Exemple : pour calculer la valeur exacte de 128 000 618 × 514 avec une calculatrice, on effectue à la calculatrice les calculs 128 × 514 et 618 x 514. Exemple : ayant à calculer le produit de deux nombres, on utilise la touche × de la calculatrice. Calcul instrumenté (on utilise une calculatrice ou un tableur)

5. 1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi

6. 2/ Analyse des différents modes de calcul a/ Résultats et procédures mémorisés. • Pour exécuter un calcul sans machine, il est indispensable de pouvoir disposer immédiatement de certains résultats ou de certaines procédures. • Citons quelques facteurs favorables à la mémorisation : • On mémorise mieux ce qui a du sens : mieux vaut donc travailler sur le sens des opérations que sur la mémorisation des tables. • Les conditions d’apprentissage retentissent sur les conditions de récupération en mémoire (ex : réciter le début de la table de 8 pour retrouver le résultat de 8x7). • Certains résultats sont plus faciles à mémoriser et constituent des points d’appui pour la suite de la mémorisation (ex : les doubles, la table de 5…). • La connaissance de relations entre les résultats à mémoriser ou de propriétés réduit le coût de la mémorisation. • La répétition est un facteur qui n’est pas à négliger, surtout si elle s’inscrit dans un contexte motivant (ex : dans le cadre des jeux)

7. b/ Algorithmes opératoires et calculatrices. • Les algorithmes écrits de calcul ont longtemps constitué un objectif primordial de l’école primaire. • La diffusion de nouveaux instruments de calculs (calculatrice, ordinateur) en réduit l’usage social. • L’école ne peut pas rester à l’écart de ce phénomène. • L’apprentissage des techniques opératoires demeure un objectif important de l’école primaire, mais ses finalités sont en partie à reconsidérer.

8. c/ Calculatrices et tableurs. • L’apprentissage d’une utilisation intelligente des calculatrices est prévue dès le cycle 2 de l’école primaire et l’initiation au tableur figure au programme du collège. • Pour les calculatrices, vous devez être capables d’utiliser une calculatrice d’usage courant et de maîtriser certaines fonctionnalités comme la mémoire (touches [M+], [M-], [MR]…). • Reportez vous au document d’accompagnement des programmes de mathématiques de l’école primaire « Utiliser les calculatrices en classe » disponible sur le site internet : http://www.cndp.fr/ecole/. • Exemple d’utilisation des calculatrices en classe : dans les problèmes complexes, l’effort de l’élève devrait être en priorité centré sur le raisonnement. Si la charge mentale de travail due aux calculs est trop importante, certains élèves peuvent perdre le fil de leur raisonnement ou même renoncer à utiliser tel calcul, jugé par eux comme trop difficile. • La mise à disposition de calculatrices permet de surmonter cette difficulté.

9. d/ Divers aspects du calcul réfléchi. • Calcul réfléchi exact : • Il fait appel à 3 types de connaissances : • - des résultats et procédures de base stockés en mémoire : tables, relations entre certains nombres, procédures pour certains calculs comme « multiplier par 10 »… • - des connaissances relatives à la numération écrite ou orale • - des connaissances relatives aux propriétés des opérations (ex : associativité de l’addition et de la multiplication …). • Ce type de calcul peut être conduit de façon purement mentale mais peut aussi être accompagné de traces écrites : résultats partiels, traces de la procédure mise en œuvre…

10. Exemples de traces écrites pour le calcul de 857 – 438 (élève de CE2): • a/ Traces de calculs auxiliaires effectués mentalement : • 800 – 400 = 400 • 57 – 30 = 27 • 27 – 8 = 19 • 857 – 438 = 419 b/ support de la droite numérique : ______|_______________|____|________ 438 857 858 + 420 -1 + 419

11. Calcul approché: Tout calcul approché est un calcul réfléchi qui exige toutes les compétences mises en œuvre dans ce type de calcul, auxquelles il faut en ajouter d’autres : - Déterminer l’ordre de grandeur, souvent en fonction du contexte de la situation dans lequel le calcul est conduit - Déterminer, en conséquence, les arrondis choisis pour les nombres en jeu, ces arrondis étant eux-mêmes fonction de l’ordre de grandeur recherché et des possibilités de calcul mental.

12. II/ Addition et soustraction 1/ Introduction Trouvez différentes procédures pour effectuer mentalement les calculs suivants : a/ 14 + 19 + 16 +11 b/ 85 + 39 c/ 85 – 39 d/ 94 – 46 e/ 205 – 198 f/ 17,45 + 49,55 g/ 6 - 2,75

13. Solutions : a/ 14 + 19 + 16 +11 On réorganise le calcul proposé : 14 + 19 + 16 + 11 = 14 + 16 + 19 + 11 = 30 + 30 = 60 Utilisation de la commutativité de l’addition puis de l’associativité de l’addition • b/ 85 + 39 • 1ère méthode : • + 39 = (80 + 5) + (30 + 9) • = 80 + 30 + 5 + 9 • = 110 + 14 • = 124 Utilisation des propriétés de l’addition relatives aux regroupements possibles des termes et des connaissances relatives à la numération

14. 2ème méthode : 85 + 39 = 85 + (40 - 1) = (85 + 40) - 1 = 125 - 1 = 124 Utilisation de la propriété de « déplacement des parenthèses » • c/ 85 – 39 • 1ère méthode : • - 39 = 85 - (30 + 9) • = 85 - 30 - 9 • = 55 - 9 • = 46 Les parenthèses ont été déplacées, entraînant la modification de certains signes opératoires

15. 2ème méthode : 85 - 39 = (85 + 1) - (39 + 1) = 86 - 40 = 46 On a ajouté 1 aux deux termes de la différence, ce qui permet d’obtenir une différence égale à la première. • d/ 94 - 46 • 1ère méthode • 94 - 46 = 94 - (50 - 4) • = 94 - 50 + 4 • = 44 + 4 • = 48 Les parenthèses ont été déplacées, entraînant la modification de certains signes opératoires

16. 2ème méthode : 94 - 46 = (94 + 4) - (46 + 4) = 98 - 50 = 48 On a ajouté 4 aux deux termes de la différence, ce qui permet d’obtenir une différence égale à la première. e/ 205 - 198 1ère méthode 205 - 198 = 205 – 200 + 2 = 5 + 2 = 7 On remplace 198 par 200 – 2. 2ème méthode 205 - 198 On calcule par sauts le complément de 198 à 205 : de 198 à 200, puis de 200 à 205

17. f/ 17,45 + 49,55 On utilise le fait que 45 + 55 = 100, donc 0,45 + 0,55 = 1 Puis on calcule 17 + 49, puis, 17 + 49 + 1 d’où 67 g/ 6 – 2,75 1ère méthode On enlève 2 puis 0,75. On obtient : 4 – 0,75 = 3,25 2ème méthode Aller de 2,75 à 3, puis de 3 à 6. On utilise le fait mémorisé que l’écart entre 0,75 et 1 est égal à 0,25.

18. 2/ Apports théoriques a/ Quelques définitions Somme et addition Ensemble A Nombre d’éléments : a Ensemble B Nombre d’éléments : b Réunion des ensembles A et B Nombre d’éléments : a + b

19. On généralise cette définition au cas de l’addition de deux nombres décimaux positifs en se situant dans le contexte des grandeurs (par exemple des longueurs) : 4,8 + 2,75 est alors la mesure en mètres de la longueur obtenue en mettant bout à bout deux segments mesurant respectivement 4,8 m et 2,75 m.

20. Ainsi, pour trouver 5 + 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … . 1 2 3 donc 5 + 3 = 8 Cette définition est également généralisable au cas de l’addition des nombres décimaux positifs : sur une droite graduée en centièmes, 4,8 + 2,75 est le nombre qui correspond à la graduation atteinte en partant de la position de 4,8 et en avançant successivement de 2 unités, de 7 dixièmes et de 5 centièmes.

21. b/ Différence et soustraction Ensemble complémentaire de B dans A Nombre d’éléments : a - b Ensemble B Nombre d’éléments : b Ensemble A Nombre d’éléments : a

22. On généralise cette définition au cas de l’addition de deux nombres décimaux positifs en considérant, par exemple, que 7,8 – 2,45 correspond à la mesure en cm de la longueur d’un segment qu’il faut placer bout à bout avec un segment mesurant 2,45 cm pour obtenir un segment mesurant 7,8 cm.

23. Ainsi, pour trouver 8 - 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 3 2 1 . donc 8 - 3 = 5 Comme pour l’addition, cette définition est également généralisable au cas de la différence de deux nombres décimaux positifs

24. Il y a donc équivalence entre x = a – b et b + x = a.

25. a/ Propriétés de l’addition et de la soustraction sur les entiers naturels et les décimaux. - Associativité de l’addition Exemple : 47 + 23 = 47 + (3 + 20) = (47 + 3) + 20 Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.

26. - Commutativité de l’addition Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction. - Existence d’un élément neutre {0} pour l’addition

27. - Autres propriétés

29. 3/ techniques opératoires a/ L’addition La technique utilisée aujourd’hui donne lieu aux traces écrites suivantes : 4 5 4 8 + 7 6 4 1 1 1 5 3 1 2 Autre technique : méthode rapportée par BahaEddin (1547-1622)dans son livre Les Principes du calcul 4 5 4 8 + 7 6 4 1 2 1 0 1 2 4 . 5 3 1 2 Exercice : Toto additionne 2 nombres entiers avec la méthode habituelle et trouve 499 sans faire d’erreur. Combien de retenues a-t-il effectué ?

30. b/ La soustraction La technique traditionnelle : 5 - 7 est impossible dans N. On ajoute 10 dizaines au nombre du haut, mais pour ne pas modifier le résultat, on ajoute également 10 dizaines, sous la forme d’une centaine au nombre du bas. 6 4 5 6 - 2 8 7 2 1 1 1 1 3 5 8 4 En réalité, au lieu de calculer la différence entre « 6 milliers 4 centaines 5 dizaines et 6 unités » et « 2 milliers 8 centaines 7 dizaines et 2 unités », on a calculé la différence de « 6 milliers 14 centaines 15 dizaines et 6 unités» et « 3 milliers 9 centaines 7 dizaines et 2 unités»

31. La technique dite « par complément » : On cherche combien il faut additionner à 2 pour avoir 6 : on écrit 4. On cherche combien il faut additionner à 7 pour avoir 15 : on écrit 8 (et on indique 1 en retenue au niveau des centaines). On cherche combien il faut additionner à 9 pour avoir 14 : on écrit 5 (et on indique 1 en retenue au niveau des milliers) etc. 6 4 5 6 - 2 8 7 2 1 1 3 5 8 4 Technique : consiste à traiter la soustraction comme une « addition à trou » : 2872 + …. = 6456

32. La technique dite « par emprunt » : Procédé : calculer séparément les sommes des unités, des dizaines, des centaines et des milliers. 6 4 5 6 - 2 8 7 2 3 5 1 1 3 5 8 4 Il s’agit de la méthode anglo-saxonne. Avantage : pas de retenue Exercice : calculer 1111 – 999 par la méthode par emprunt.

33. Cascade additive : 217 a+b b a 99 118 ? 64 35 54 25 10 39 15 Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette adresse : http://manu.ledaine.free.fr/Pyramides/ Un exercice de calcul mental

34. III/ Multiplication et division 1/ Introduction Trouvez 3 procédés différents pour calculer mentalement 24 x 15 : 1er procédé : 24 x 15 = 24 x (10 + 5) = 24x10 + 24 x 5 = 240 + 120 = 360 2ème procédé : 24 x 15 = (12 x 2) x 15 = 12 x (2 x 15) = 12 x 30 = 360 3ème procédé : 24 x 15 = 24 x (30 : 2) = (24 x 30) : 2 = 720 : 2 = 360

35. Voici un procédé proche de celui utilisé par les Egyptiens pour calculer le produit de 76 par 53 (procédé traduit dans notre système de numération) : 1 76 2152 4 304 8608 16 1216 32 2432 53 4028 Cette méthode est basée sur le fait que tout naturel peut être décomposé en fonction des puissances de 2, c’est-à-dire comme somme de nombres choisis parmi 1; 2; 4; 8; 16… Utiliser le même procédé pour calculer 154 x 22 1 154 2 308 4 616 8 1232 16 246 4 22 3388

36. 2/ La multiplication a/ Apports théoriques Produit de 2 entiers naturels

37. Multiplication dans l’ensemble IN des naturels On définit également la multiplication dans d’autres ensembles comme l’ensemble ID des décimaux, l’ensemble Q des rationnels, l’ensemble IR des réels…

38. - Propriétés de la multiplication

40. b/ Technique opératoire sur les naturels ou sur les décimaux Exemple : calcul de 368 x 207 3 6 8 x 2 0 7 2 5 7 6 7 3 6 0 0 7 6 1 7 6 Résultat du calcul de 368 x 7 Résultat du calcul de 368 x 200 Résultat du calcul de la somme des 2 résultats précédents

41. Cette technique exige l’utilisation de plusieurs types de connaissances : • - Tables de multiplication; • Connaissances relatives à la numération (décomposition en centaines, dizaines et unités); • Distributivité de la multiplication sur l’addition : • 368 x 7 = (300+60+8) x 7 • = (300 x 7) + (60 x 7) + (8 x 7); • Associativité de la multiplication : 368 x 200 = 368 x (2 x 100) = (368 x 2) x 100 • Distributivité de la multiplication sur l’addition pour le résultat final : • 368 x 207 = 368 x (7 + 200) = (368 x 7) + (368 x 200). Le calcul posé du produit de deux décimaux se ramène facilement à celui de deux entiers naturels. Par exemple :

42. Calculons le produit : 36,8 x 2,07. Ce calcul correspond à celui de : 368/10 x 207/100 Soit encore à (368 x 207) / 1000, Ce qui explique qu’il suffit de calculer 368 x 207 comme vu précédemment puis de positionner la virgule pour obtenir le quotient du résultat par 1000 (donc en laissant 3 chiffres à droite de la virgule).

43. 3/ La division euclidienne a/ Introduction Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 430 par 38. Peut-on en déduire, sans calculer de nouvelle division, le quotient et le reste de la division euclidienne de 860 par 76 ?

44. 4 3 0 3 8 La division euclidienne de 430 par 38 donne pour quotient 11 et pour reste 12. Ce qui peut être traduit par : 430 = 38 x 11 + 12 Les 2 termes de l’égalité peuvent être multipliés par 2 pour obtenir une nouvelle égalité : 430 x 2 = (38 x 11 + 12) x 2 = (38 x 11) x 2 + 12 x 2 ou 860 = (76 x 11) + 24 avec 24 < 76. Le quotient euclidien de 860 par 76 est le même que celui de 430 par 38, mais que le reste est doublé. 5 0 1 1 1 2

45. b/ Apports théoriques 1°) Les deux significations de la division euclidienne Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des objets • la division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand • on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets » (division-partition) • la division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le • nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet » (division-quotition)

46. 2°) Ecritures correctes

47. 3°) Première définition possible de la division euclidienne : Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24. Voici la liste des multiples de 24 : a 108 q×b (q+1)×b 2×24=48 4×24 = 96 5×24 = 120 0×24=0 3×24 = 72 1×24=24 r = 108 – 96 = 12 12 est le reste r dans la division de 108 par 24 4 est le quotient q dans la division euclidienne de 108 par 24 Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :

48. 4°) Deuxième définition possible de la division euclidienne Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24. On peut écrire de plusieurs manières 108 sous la forme 108 = …×24 + … 108 = 0 × 24 + 108 108 = 1 × 24 + 84 108 = 2 × 24 + 60 Ce nombre est plus petit que 24 108 = 3 × 24 + 36 108 = 4 × 24 + 12 108 = 4 × 24 + 12 a = q × b + r 4 est le quotient q dans la division euclidienne de 108 par 24 12 est le reste r dans la division de 108 par 24 Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :

49. 3/ Technique opératoire de la division euclidienne La technique usuelle : 9 1 6 3 3 8 1 5 6 2 4 1 0 4 3 5 La technique employée au cycle 3 pour l’apprentissage de la division : 9 1 6 3 3 8 - 7 6 2 4 1 1 5 6 - 1 5 2 4 3 - 3 8 5 La division pourrait se poursuivre en « convertissant «  les 5 unités qui restent en 50 dixièmes, puis les dixièmes en centièmes…

50. Exercice : Compléter cette division : 6 . 6 . 6 6 . 6 Il s’agit de la division de 636 par 96 qui a pour quotient 6 et pour reste 60.