北京天文馆 王玉民 Beijing Planetarium WANG Yu-min

1. 中国古代历法推算中的误差思想空缺The Vacancy of Error Ideas about the Calculationof the Chinese Traditional Calendar 北京天文馆 王玉民 Beijing Planetarium WANG Yu-min

2. 在科学研究中，对精度的追求是一项系统活动，具体在对天体运行规律的把握中，需要观测精度、模型精度、计算精度的高度统一才能达到理想状态。在科学研究中，对精度的追求是一项系统活动，具体在对天体运行规律的把握中，需要观测精度、模型精度、计算精度的高度统一才能达到理想状态。

3. 古代历法家由于缺少误差思想的指导，在对观测精度远远没有达到、对天体运行的规律掌握尚有限的情况下，单纯追求计算的高精度，以求修成的历法“止于至善”。古人在这方面付出的巨大努力多是徒劳无功的，因为计算结果比计算本身更重要，没有意义的数字位数参与运算是一种资源的浪费。

4. 主要论述3点： • 1 中历是一种探索活动，很长的历史时期内都在追求对“完美”天行的把握 • 2 中历一直对观测精度、模型精度、计算精度的不统一认识不足 • 3 古代不掌握近似计算的规律，使中历的高精度仅流于表面和一厢情愿

5. 1 中历是一种探索活动，很长的历史时期内都在追求对“完美”天行的把握

6. 战国秦汉时代的“四分历”，认为一回归年为365又1/4天，闰周为19年7闰，于是现代人根据这两个数值替古人推出他们的一朔望月为29又499/940天，其实那时的历法家不可能测量出这么精确的朔望月平均数值，古人只是通过当时尽可能精密的观测认为阴阳合历有19年7闰的关系而已，这是古人对天体运行整除关系的一种良好设想。以这种设想为前提，实际上回归年与朔望月长度是不能各自独立确定的。战国秦汉时代的“四分历”，认为一回归年为365又1/4天，闰周为19年7闰，于是现代人根据这两个数值替古人推出他们的一朔望月为29又499/940天，其实那时的历法家不可能测量出这么精确的朔望月平均数值，古人只是通过当时尽可能精密的观测认为阴阳合历有19年7闰的关系而已，这是古人对天体运行整除关系的一种良好设想。以这种设想为前提，实际上回归年与朔望月长度是不能各自独立确定的。

7. 上元积年的使用是古人追求对完美天行把握的最典型体现。上元积年的使用是古人追求对完美天行把握的最典型体现。 • 上元是古代历法家寻找的一个理想推算起点，他们相信，按照他们观测获知的日、月、五星的运行周期，叠加回推，最后总能找到一个理想时刻：这一刻是一个甲子日的夜半，又是日月合朔的时刻，又恰是太阳过冬至点，同时在冬至点发生罕见的“五星联珠”（即五大行星在视线聚集于冬至点）。

8. 在对中国古代历法的研究中，推算上元积年的方法因为涉及解一次同余式，是数学史上的一大贡献，被大加赞赏，但因其推算的思想不甚“科学”而经常被忽略或淡化。实际上，推算上元积年从方法和思想上都是古代历法最核心的内容，今人研究发现，古人设定上元时并不完全是客观运作的。

9. 曲安京经过研究证实，古代推导上元积年时只用60干支周期、朔望月和回归年长度进行推导。如果布列的同余式组无解，或求出的上元积年超过1亿年，说明取的朔望月和回归年长度“不合用”，需要用何承天调日法“设计”新的朔望月和回归年长度，再重新计算，若所得结果小于1亿年，说明该上元符合要求，于是定出上元和上元积年。曲安京经过研究证实，古代推导上元积年时只用60干支周期、朔望月和回归年长度进行推导。如果布列的同余式组无解，或求出的上元积年超过1亿年，说明取的朔望月和回归年长度“不合用”，需要用何承天调日法“设计”新的朔望月和回归年长度，再重新计算，若所得结果小于1亿年，说明该上元符合要求，于是定出上元和上元积年。 • 至于恒星年、近点月、交点月、五行星会合周期等数值，按这亿年数量级的尺度作出调整，总是能找到一个既满足上元起点、又非常符合今日位置的长度周期的。 • 且不说取朔望月和回归年长度也靠改换数字、闭门造车来迁就理想上元，就说恒星年、近点月、交点月、五行星会合周期等数据在上亿年的漫漫历史长河中一分配，虽然得到一个与当时观测长度相近的值，但有没有误差，误差究竟是多少，根本不去考虑，结果这些参数仅符合了当时和较近的过去，行用日久必然会不合天。

10. 上元积年本来是一种良好设想，但后来人们过分沉溺于这种设想，它就成了一种对理想的病态偏执和对精度的虚妄追求了，在这种追求过程中，历法家不惜削足适履，将那些本该完全靠实测求出的天体运行周期人为改动。归根到底这是古人不懂得误差出现的必然性和使用近似计算的必要性造成的，追求完美的结果是极度不完美——历法几十年一换。上元积年本来是一种良好设想，但后来人们过分沉溺于这种设想，它就成了一种对理想的病态偏执和对精度的虚妄追求了，在这种追求过程中，历法家不惜削足适履，将那些本该完全靠实测求出的天体运行周期人为改动。归根到底这是古人不懂得误差出现的必然性和使用近似计算的必要性造成的，追求完美的结果是极度不完美——历法几十年一换。

11. 2 中历一直对观测精度、模型精度、计算精度的不统一认识不足

12. 从科学的角度讲，只有做到观测精度、模型精度、计算精度的统一，才能编制出一部好的历法来。从科学的角度讲，只有做到观测精度、模型精度、计算精度的统一，才能编制出一部好的历法来。 • 按现代误差理论，在科学研究中，定量的误差主要有3种： • 1.观测误差。 • 2.模型误差。 • 3.截断和舍入误差。

13. 浑仪 的精度： • 唐和唐以前的仪器都以“度”为最小单位，观测时仅可精确到半度，北宋期间才出现了度以下的单位“少”（1/4度）、“半”（ 1/2度）、“太”（3/4度）， • 元代郭守敬的简仪，刻度刻到1/10度，可以估量到1/20度。 • 大多数朝代，观测精度还是停留在“一度少弱，一度少强”的水平 。

14. 今人研究有时得出的古人观测精度也是虚假的。今人研究有时得出的古人观测精度也是虚假的。 • 唐梁令瓒在公元732年测的黄赤交角为24度，只精确到“度”。 • 但被今人换算成现代度数，就成了23°39′57″，仿佛精确到了秒。 • 然后与现代推算的当时黄赤交角理论值23°36′20″比，只差3′30″，于是虚假的精度就出来了。

15. 隋代刘焯设立的太阳不均匀运动的模型

16. 与此相比，古人在历法的计算过程上一开始就追求高精度，而且越古，这种追求高精度的欲望就越强。与此相比，古人在历法的计算过程上一开始就追求高精度，而且越古，这种追求高精度的欲望就越强。 • 唐及唐以前，天文历算一直使用分数，今天的历法史家经常把这些分数展成小数，然后把古人追求的精度随心所欲地定位在小数点后4位或7位上。 • 实际上今人这样做还是低估了古人的“志向”，古人对天体推算的目标是“绝对精确”，所以才使用分数，因为分数是实现这一目地的最好手段——用今天的术语说，分数的有效数字是无穷多位，有真正理想的精确度。

17. 现代科学技术在误差和近似理论的指导下，测量、模型和计算三者的精度可以在很高的水平上合理匹配。现在，卫星导航的时间准确度要求在±10纳秒之内，而原子钟完全可以做到这一点；对天体轨道的确定需要天文观测的精度达到10的－3次方角秒，现代大型的专业望远镜也完全可以做到这一点。当然，现代的巨型电子计算机的运算可以达到极高的精确度，比如可以把圆周率计算到小数点后超过2.7万亿位（法国科学家2010年结果），但天文学家不可能用这样的圆周率去进行天体轨道的计算，因为就现有的观测、模型精确度来说，圆周率超出小数点后十几位的计算，对精度的提高已经没有任何帮助了。现代科学技术在误差和近似理论的指导下，测量、模型和计算三者的精度可以在很高的水平上合理匹配。现在，卫星导航的时间准确度要求在±10纳秒之内，而原子钟完全可以做到这一点；对天体轨道的确定需要天文观测的精度达到10的－3次方角秒，现代大型的专业望远镜也完全可以做到这一点。当然，现代的巨型电子计算机的运算可以达到极高的精确度，比如可以把圆周率计算到小数点后超过2.7万亿位（法国科学家2010年结果），但天文学家不可能用这样的圆周率去进行天体轨道的计算，因为就现有的观测、模型精确度来说，圆周率超出小数点后十几位的计算，对精度的提高已经没有任何帮助了。

18. 3 古代不掌握近似计算的规律，使中历的高精度仅流于表面和一厢情愿

19. 《授时历》不用积年，一凭实测，故自元迄明，承用三四百年无大差，以视汉、晋、唐、宋之屡差屡改，不啻霄壤。故曰：《授时》集诸家之大成，盖自西历以前，未有精于《授时历》者也。 • ——梅文鼎

20. 《授时历》元、明共用382年，是历代历法中使用时间最长的一部。 • 但是，即使是在这样一部优秀、自觉摈弃了完美主义的上元积年观念的历法中，对误差思想和近似计算也是相当忽视的。

21. 《授时历》 • 以365.2425日为回归年 • 以365.2575度为周天（相当于恒星年） • 精度都是万分之一日 • 朔望月（朔策）29.530593日，精度提高成百万分之一日 • 交点月（交终）27.212224日，精度也是百万分之一日 • 近点月（转终）27.5546日，又降回万分之一日

22. 《授时历》节气长的确定： • 气策＝岁实/24=15.2184375日，精度居然高到千万分之一日， • 这是在回归年（岁实）＝365.2425000日的假设下得出的，而那时对回归年的测定不可能会到这样高的精度， • 所以气策这样的高精度只有“数值至上”的意义而没有任何实际意义。

23. “步日躔”中有这样的算式： • 每日定行度＝四正后每日行度±日差 • 计算时，原有的基数（行积度）取小数点后4位， • “每日行度”取小数点后6位， • “日差”则取小数后7位， • 精度不一，前后差了1000倍，相加时后者的高精度完全被前面的低精度吞没。

24. 再看“弧矢割圆术 ”： • 一周天度数为365.2575度，周天半径为60.875度 • “60.875度”的来历：取圆周率π为3，这样365.2575÷3=121.7525， • 原文为“径121度七十五分少”，将“少”略去，成了121.75，取其半就成了60.875度。

25. 在随后的演算中，取黄赤大距为24度，与周天半径为60.875度相比，精度又陡降为“度”，按这极不准确的周天半径和精度极低的黄赤大距推算，求出黄赤大股q＝56.0268度，黄赤大勾p＝23.8070度。 郭守敬实测的黄赤大距本为23.90度， 如利用此值，同时求周天半径时π取3.1416， 经计算可得 q＝53.2880度， p＝23.2328度

26. 在和白道有关的常数中，郭守敬又取黄白交角为6度，精度也降到了“度”。在和白道有关的常数中，郭守敬又取黄白交角为6度，精度也降到了“度”。 • 当白道降交点与春分点重合时，得出“半交”（最低点）在黄道外6度，在赤道内18度——郭守敬甚至不顾实测的数，无意中又把前人“通约”的理想搬到了黄赤、黄白交角上。

27. 有学者认为，郭守敬弧矢割圆术中的3不是圆周率，有学者认为，郭守敬弧矢割圆术中的3不是圆周率， • 是“会圆术” 里独特的比率。 • 因为弧矢割圆术、会圆术都是近似公式， • 公式中使用3代替圆周率， • 其最后结果与用现代三角学方法求出的相近，在特殊点甚至与现代值完全相等。

28. 那么，是否那些近似公式包含了π的修正值？近似公式抵消了3为“圆周率”的部分误差？那么，是否那些近似公式包含了π的修正值？近似公式抵消了3为“圆周率”的部分误差？ • 但据笔者使用部分值验算，如果用现代三角法算，即使圆周率用3，其结果仍比授时历的方法精度高； • 另一方向，弧矢割圆术近似公式如果用更精确的π值时，得到的值比用3精度更高，可见古率3并没有起到修正作用。

29. 《授时历》中推算过程的缺憾，都不是“瑕不掩瑜”所能开脱的，《授时历》中推算过程的缺憾，都不是“瑕不掩瑜”所能开脱的， • 本来是孜孜以求精密的天文历法计算上居然率意使用3为圆周率， • 不顾实测的数据把天体运行轨道交角定成“通约”式的理想状态， • 在同一算式中不同项的精度居然相差达1000倍， • 这都说明历法制定者在对算法的认识上有着严重偏差。

30. 这里仅对古代历法在误差思想方面的空缺作一初步而粗陋的分析，难免挂一漏万。这里仅对古代历法在误差思想方面的空缺作一初步而粗陋的分析，难免挂一漏万。 • 就误差分析来说，如果我们在重建古代一部历法的演算结构时，同时对之作比较详尽的误差分析，想必我们会得到许多新的认识和发现，这应引起历法研究者的关注。

31. 谢 谢！