7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 3

1. 7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 3 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg (Burden-Faires) 7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires) 7.4 Integração Dupla (Burden-Faires) 7.5 Método de Monte Carlo (Burian) hoje

2. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7. Introdução • Na primeira aula de integração vimos as fórmulas de Newton-Cotes, ou seja, Método do Trapézio, Método de Simpson.. Thomas Simpson (1710-1761). • Na segunda aula vimos o Metodo de Romberg (1957) que é o Método do Trapézio com Extrapolação de Richardson (1927). L.F. Richardson (1881-1953) W. Romberg (1909-2003) • Hoje veremos o Método da Quadratura Gaussiana (1814). Carl F. Gauss (1777-1855)

3. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss. • As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente. • A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2

4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como onde os coeficientes e os pontos para i=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível. Característica: Partição não-regular

5. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Note que o Método da Quadratura Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. • Como temos 2n+2 parâmetros a ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.

6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Comecemos o desenvolvimento para dois pontos: • Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:

7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Segue onde os parâmetros devem ser determinados de modo a integral ser exata para polinômios de graus inferiores a 3.

8. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Sejam Note que qualquer polinômio de grau 3 é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô- mios, segue:

9. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana como esperado, a fórmula é exata para este polinômios:

10. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Considerando podemos determinar as incógnitas através de Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos

11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Obtemos o sistema

12. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como

13. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então, Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de

14. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana • Agora podemos determinar as incógni- tas através do siste-ma linear 6X6 abaixo: Escrevendo explicitamente o sistema,

15. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana

16. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como

17. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos. Solução: Temos no intervalo [1,3]. Fazendo a mudança de variáveis

18. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e apro- ximados para n=2 e n=3 pontos

19. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana A tabela abaixo compara o Método da Quadratura Gaussiana com o Método de Simpson 1/3 para

20. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos. Solução: Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança de variáveis

21. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são: O erro verdadeiro: • O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.

22. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...) Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão. Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.

23. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana > r := exp(-x^2); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1)); M A P L E > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Dexp)); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Gquad));

24. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exercício: Considere a integral a) Estime I por Trapézio quando h=1/4. b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4. c) Estime I por Romberg quando h=1/4. d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3. Dado: