МАТЕМАТИКА Средняя линия трапеции (несколько способов доказательства)

1. ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ Г. ОМСКА бюджетное общеобразовательное учреждение города Омска «Средняя общеобразовательная школа № 148» МАТЕМАТИКАСредняя линия трапеции(несколько способов доказательства) Выполнила: Гаврилова Алиса Константиновна, обучающая 8-А кл. БОУ г. Омска «СОШ № 148» Руководитель работы:Яцюк Клавдия Васильевна, учитель математики БОУ г. Омска «СОШ № 148» Омск, 2012

2. Объект исследования: трапеция, средняя линия трапеции. • Цель: показать, что доказательство теоремы о средней линии трапециис помощью векторов, приведённое в учебнике Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9 классы» не является единственным, что существуют и другие способы доказательства. • Задачи: • Изучение научной и учебной литературы по заданной теме. • Привести другие способы доказательства теоремы о средней линии трапеции. • При доказательстве этой теоремы показать значение других теорем: признаков равенства треугольников, теоремы о параллельности прямых, теоремы о средней линии треугольника, а также следствие из аксиомы параллельных прямых, и определение средней линии треугольника и средней линии трапеции, признаки и определение параллелограмма. • Методы исследования: применение аналитического и синтетического методов доказательства теорем.

3. А можно ли доказать? Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства [3]. Исходная теорема называется прямой теоремой Доказательством называется конечная последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из некоторых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода [3]. Обратная теорема - если в исходной теореме условие сделать заключением, а заключение – условием. Классическая теорема состоит из двух частей: из условия и заключения. Условие обыкновенно начинается со слова «если», а заключение со слова «то». Взаимно обратные теоремы - если верны прямая и обратная теоремы Если верна прямая теорема, то обратная теорема может быть неверной

4. Теоретическая часть Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющей середины двух его сторон. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. вертикальные. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны Прямые a и b параллельны, с –секущая. Пары углов: называются накрест лежащими.

5. Следствие 2° из аксиомы параллельных. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Признак параллелограмма 1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

6. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 1. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1.Для доказательства из вершины B через точку N проведём прямую BN до пересечения этой прямой с продолжением основания AD в точке . 2.Рассмотрим ∆BCN и(как вертикальные)(как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и АB секущей CD);CN=ND ( по построению) 3.∆BCN = ( По второму признаку равенства треугольников(по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BC =иBN =. 4.По построению MB = AM. Значит, средняя линия трапеции MN является средней линией . По теореме о средней линии треугольника MN II =>MN II AD, а AD II BC(по определению трапеции), то MN II BC( следствие 2 из аксиомы параллельных прямых)(Если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны)и отрезокТеорема доказана.

7. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 2. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1. Для доказательства возьмём на основании AD точку Е. Из точки Е через точки М и N проведём прямые EM и EN до пересечения этих прямых с продолжением основания BC в точках О и Р соответственно. 2. Рассмотрим ∆BOM и ∆MAE. AM = MB (по построению); (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых OP и AD секущей АВ) => ∆BOM = ∆MAE (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => OB=AE и OM=ME. Аналогично доказывается равенство треугольников PNC и DEN => PC = DE; PN = NE. 3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника: MN || OP, а BC || AD (по определению трапеции). => MN || AD ( по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых ( если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны). И отрезокMN = OP = (AD+BC). Теорема доказана.

8. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 3. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1. На основании BCвозьмём произвольную точку Е. Из точки Е через точки М и N проведём прямые EMи EN до пересечения этих прямых с продолжением основания ADв точках O и Р соответственно. 2. Рассмотрим ∆МВЕ и ∆АОМ. (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и ОР секущей АВ); АМ=МВ (по построению). => ∆МВЕ =∆АОМ (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => ВЕ=ОА и ЕМ = ОМ. Аналогично доказывается равенство треугольников СЕNи PND => EN=NPи EC=PD. 3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника MN || OP => MN ||AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC(по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок Теорема доказана.

9. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 4. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1. Для доказательства на продолжении основания АD откладываем отрезок DE=BC. Точку В соединяем с точкой Е. Прямая ВЕ проходит через точку N. В противном случае получается две середины: точки N и N1, а этого быть не может. 2. Рассмотрим ∆BCN и ∆DNE. BC=DE (по построению); , (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АЕ секущими СD и ВЕ соответственно) => ∆BCN = ∆DNE по 2-му признаку равенства треугольников => CN=ND и BN=NE. 3. Рассмотрим ∆АВЕ. Т.к. BN=NE и АМ=МВ, то MN также является средней линией треугольника АВЕ. По теореме о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине) MN || AE, => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (следствие 2 из аксиомы параллельных прямых) (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и Теорема доказана.

10. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 5. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1. Для доказательства на продолжении основания ВС отложим A1C=AD, а на AD отложим B1D=BC.Соединим точку А1 с точкой В1. А также продолжим MN до пересечения этой прямой с прямой A1В1 в точке М1. 2. Докажем, что точка M1является серединой A1В1.Соединим вершину В с В1 и докажем, что BВ1 проходит через точку N. Допустим, что BВ1 проходит через точкуN. Рассмотрим ∆ВСN и ∆B1ND. ; (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BA1 и АВ1 секущими CD и ВВ1 соответственно). ВС= B1D (по построению ). => ∆BCN=∆B1ND (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BN=B1N, CN=ND=>проходит через точку N. Рассмотрим ∆MBN и ∆M1 B1N. (как вертикальные); ( как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущей ВВ1); BN= В1N( по доказанному) => ∆MBN=∆M1В1N (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). =>M1 В1 =MB. Так как AM=MB, то M1В1=AM.=> M1 - середина стороны A1В1.

11. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 5. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство продолжение. 3. Рассмотрим четырёхугольник ABA1В1. BA1= AВ1 (по построению); BA1||AВ1 (так как BC || AD по определению трапеции). => AB A1 В1 – параллелограмм. (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёх угольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм). Рассмотрим трапецию ABCD и A1В1DC. Они равны по построению. Значит MN=M1N => 4. По построению AB||A1В1 => AM|| B1M1и MB || A1M1. Т.к. трапеции ABCD и A1В1DC равны, то => MB=M1B1 и AM=A1M1,а так как АМ=МВ и А1М1= M1B1 (по построению), то АМ=МВ= A1M1=M1B1. Значит четырёхугольники МВA1M1 и АМM1B1 – параллелограммы (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм).=> BА1||MM1 и BА1=MM1; MM1=AВ1 и MM1 || AВ1 ( как противоположные стороны параллелограмма). =>MN || BC; BC||AD => MN || AD( по следствию два из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны). 5. Т.к. BA1=MM1, то т.е.А т.к. BA1=ВС+СA1, а CA1 =AD (по построению), то BA1=ВС+AD. Значит Теорема доказана.

12. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 6. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1. Для доказательства на продолжении основания ADотложим отрезок DE=BC. А также на продолжении средней линии MNтрапеции ABCDотложим отрезок NK=MN. Трапеции MBCNи KNDEбудут равны (по построению). 2. Т.к. MBCN = KNDE, то КЕ=МВ, МВ=АМ => АМ=КЕ. КЕ||MB => KE||AM. Значит по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник АМКЕ – параллелограмм. => MK=AEи MK||AE(как противоположные стороны параллелограмма) => MN ||AD, а AD||BC (по определению трапеции) => MN||BC (по следствию два из аксиомы параллельных прямых)(если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны). 3. Рассмотрим параллелограмм АМКЕ. MN=NK, а так как MK=MN+NK=2MN, то Т.к. MK= AE, то А т.к. AE=AD+DEиDE=BC (по построению), то AE=AD+BC => , т.е. Теорема доказана.

13. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 7. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство. 1. Для доказательства через точку N проведём прямую EK|| AB до пересечения этой прямой с продолжением основания ВС в точке Е и с основанием AD в точке К. 2. Рассмотрим ∆NEC и ∆NKD; CN=ND (по построению), (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BE и AD секущей CD). =>∆NEC=∆NKD (по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам). => CE=KD и EN=NK. 3. Рассмотрим четырёхугольник ABEK. AB || EK (по построению), BC || AD , => BE||AD (по определению трапеции) => четырёхугольник АВЕК – параллелограмм (по определению параллелограмма).=> AB=EK и AB || EK (как противоположные стороны параллелограмма). И EN=NK (из равенства треугольников NEC и NKD (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а AM=MB (по построению).

14. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Доказательство № 7. Дано: ABCD- трапеция, MN - средняя линия трапеции. Доказать:МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) Доказательство продолжение. 4. Рассмотрим четырёхугольники MBEN и AMNK. MB = EN и MB|| EN. Значит по первому признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник MBEN – параллелограмм. AM=NK и AM||NK => по первому признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник AMNK – параллелограмм. => MN=BE и MN=AK; MN||BE и MN||AK (как противоположные стороны параллелограмма) => MN|| BC и MN|| AD. 5. Т.к. MN= BE, MN=AK , то MN=BC+CE. Сложив эти равенства, получаем: AD=AK + KD, а т.к. KD=CE, то AD=AK+CE => 2MN= AD+BC. Теорема доказана.

15. Заключение Поставленная цель достигнута. Теорема о средней линии трапеции доказана семью способами с помощью признаков равенства треугольников, теорем о параллельности прямых, теоремы о средней линии треугольника, признаков и определения параллелограмма, а также следствий из аксиомы параллельных прямых и определений средней линии треугольника, средней линии трапеции. Выше изложенные доказательства и моделирование ситуаций помогут мне при решении задач.

16. Литература • Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение» 2010 г. • Далингер В.А. «Методика работы над формулировкой и доказательством и закреплением теоремы». Омск. Издательство «ОмИПКРО» 1995 г. • Математическая энциклопедия под редакцией И.М. Виноградова. М.: Изд. Советская Энциклопедия, 1984 г, том 4 и том 5. • Погорелов А.В. «Геометрия 7-11. Учебник для 7-11 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение» 2010 г. • Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ Глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2000 г. • Якушева Г.М. «Математика. Справочник школьника». М.: Издательство «Слово» 1995 г. • Якушева Г.М. «Решение задач по математике. Справочник школьника». М.: Издательство «Слово». 1996 г.

17. Спасибо за внимание!