slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Теорема Пифагора и способы её доказательства PowerPoint Presentation
Download Presentation
Теорема Пифагора и способы её доказательства

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 26

Теорема Пифагора и способы её доказательства - PowerPoint PPT Presentation


  • 1093 Views
  • Uploaded on

Теорема Пифагора и способы её доказательства. Выполнил Мамонов Владислав ученик 9«А» класса СОШ №6. Основные задачи. Рассмотреть биографию Пифагора Познакомиться с его школой Собрать исторические сведения о теореме Исследовать различные способы доказательства теоремы Пифагора

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Теорема Пифагора и способы её доказательства' - penny


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Теорема Пифагора и способы её доказательства

Выполнил

Мамонов Владислав

ученик 9«А» класса

СОШ №6

slide2
Основные задачи
  • Рассмотреть биографию Пифагора
  • Познакомиться с его школой
  • Собрать исторические сведения о теореме
  • Исследовать различные способы доказательства теоремы Пифагора
  • Рассмотреть исторические и практические задачи на применение теоремы Пифагора
580 500
Пифагор Самосский(ок. 580- ок. 500г. до н.э.)

Пифагор и его школа

Пифагор родился около 580 г. до н.э. на греческом острове Самосе. Получил хорошее образование. В Греции он организовал свою школу, которая действовала почти 30 лет, её раньше называли пифагорейским союзом. Пифагор не оставил после себя собраний сочинений, он держал всё в тайне и передавал ученикам устно. Самое большее, что известно сейчас – это теорема Пифагора.

slide4

История теоремы Пифагора

Исторический обзор начинается с древнего Китая. Египтяне строили прямые углы при помощи таких треугольников, используя натягивание верёвки.

В древнем Вавилоне в 2000 г. до н.э. проводили

приближённое вычисление гипотенузы

прямоугольного треугольника. Теорема

Пифагора обнаружена в папирусе

времён фараона Аменемхета и вавилонских

клинописных

табличках

VII-V в. до н.э. Сегодня принято считать,

что Пифагор дал первое доказательство

носящей его имя теоремы, но оно

не сохранилось.

slide5
Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Это простота - красота - значимость

slide6
Способы доказательства теоремы Пифагора
  • Через подобие треугольников
  • Метод площадей
  • Доказательство Евклида
  • Доказательство Вальдхейма
  • Векторное доказательство
  • Доказательство методом разложения
  • Доказательство Гофмана
slide7
Доказательство Евклида

Дано: Δ ABC - прямоугольный

Доказать: S ABFH+S ACKG=S BCED.

Доказательство:

AO- высота, опущенная на гипотенузу.

Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих

квадратов, построенных на катетах.

Докажем, что прямоугольник BOLD равновелик квадрату ABFH.

ΔABD=ΔBFC(по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBC= углу ABD).

O

SΔABD=1/2 S прямоугольника BOLD, т.к. у ΔABD и прямоугольника BOLD общее основание BD и общая высота LD.

АНАЛОГИЧНО, S ΔFBC=1/2 S прямоугольника ABFH (BF-общее основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что SΔABD = SΔFBC, имеем: S BOLD=S ABFH.

АНАЛОГИЧНО, используя равенство ΔBCK иΔACE, доказывается,

что S OCEL=S ACKG.

S ABFH+S ACKG=S BOLD+ S OCEL=S BCED.

slide8
Доказательство методом площадей

Дано:abc – прямоугольный треугольник

Доказать:c2 = a2 + b2

Доказательство:

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.

Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать

slide10
Доказательство методом разложения

Доказательство Эпштейна

Доказательство Нильсена

slide11

F

b

B

C

c

a

D

A

E

Доказательство Гофмана

Построим ΔABC с прямым углом С.

Построим BF=CB, BFCB

  • Построим BE=AB, BEAB

Построим AD=AC, ADAC

  • Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ΔABF= ΔЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.

Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них ΔABC, получим:

1/2а2+1/2b 2=1/2с 2

Соответственно:

а2+ b 2 =с 2

slide12
Доказательство Вальдхейма

Дано: прямоугольный треугольник

с катетами a и b, гипотенузой - c

Доказать:a²+b²=c²

Доказательство:

Выразим площадь трапеции

двумя путями.

Sтрапеции = (a+b)²/2

Sтрапеции = ab + c²/2

При равнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

slide13
Векторное доказательство

Дано: АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный

на векторах СВ и СА

Доказать: c² = a² + b²

Доказательство: Справедливо векторное равенство:

b + c = a, откуда имеем c = a – b,

возводя обе части в квадрат, получим

c² = a² + b² - 2a b

Так как СВ перпендикулярно СА, то a b = 0, откуда

c² = a² + b² или c² = a² + b²

slide14
Исторические задачи

Задача индийского математика 12 века Бхаскары:

«На берегу реки рос тополь одинокий

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Решение: пусть СD – высота тополя,

DC=CB + BD, по теореме Пифагора имеем

АС² + СВ² = АВ²,

3² + 4² = 25, АВ = 5 футов. CD = 3+5 = 8(футов)

Ответ: 8 футов.

slide15
Древнеиндийская задача

Над озером тихим

С полфута размером

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Какова глубина в современных единицах длины?

Решение:

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера DС =Х, тогда

BD = AD = Х + 0,5 .

Из треугольника DCB по теореме Пифагора имеем CD² = DB² – CB².

(Х + 0,5 )² – Х² = 2² , Х² + Х² + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) 

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

slide16
ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
  • Строительство
  • Астрономия
  • Мобильная связь
slide17
Мобильная связь

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+ABOB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим

ответ: 2,3 км.

slide18
Строительство
  • Окна
  • Крыши
  • Молниеотводы
slide19
Молниеотвод

Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:

По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.

slide20
Окна

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

  • ширине окна (b) для наружных дуг
  • половине ширины, (b/2) для внутренних дуг
  • Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между
  • этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно,
  • радиус равен b/4. А тогда становится ясным и
  • положение ее центра.
slide21
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p) ²=( b/4) ²+( b/2-p) ²

или

b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p²,

откуда

bp/2=b²/4-bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

slide22
Астрономия

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

slide23
Строительство крыши

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

Решение:

Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

     А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,

     Б) Из треугольника ABF:

slide24

Подведём итоги

Доказательств теоремы Пифагора очень много и они открываются до сих пор, так что, может вы найдете ещё доказательства

Здесь показано на сколько больше доказательств стало в наше время

slide25
Суть истины вся в том, что она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…

А. Шамиссо