9. התיאוריה הדואלית Dual Theory

1. 9. התיאוריה הדואליתDual Theory • לכל בעיה לינארית יש בעיה אחרת הנקראת הבעיה הדואלית שלה (Dual Problem). הבעיה המקורית נקראת הבעיה הפרימלית (Primal Problem). • הקשרים בין הבעיה הפרימלית והבעיה הדואלית חשובים להבנת המשמעויות של הפתרון המתקבל. • הגדרת הבעיה הדואלית מתבססת על התכונות של הסימפלקס ובייחוד של שורה מספר 0 של טבלת הסימפלקס. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

2. התיאוריה הדואלית(2) • בדיון על תכונות הסימפלקס קבלנו: • נזכיר שהתנאי לכך שפתרון הנו מיטבי הוא שכל המקדמים בשורה 0 הם לא שליליים. לכן: • המשוואות לעיל מזכירות בעיית תכנות לינארי. "ננחש" שיש למזער את פונקצית המטרה ונקבל את הבעיה הדואלית: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

3. התיאוריה הדואלית(3) • בדיון על תכונות הסימפלקס קבלנו שאילוצי הבעיה הדואלית מתקיימים רק בפתרון המיטבי. לכן הפתרון המיטבי של הפרימלית קשור לפתרון אפשרי של הדואלית. • להלן ניסוח של הבעיה הפרימלית-דואלית: הבעיה הפרימלית היא "בעיית השורות", הבעיה הדואלית – "בעיית העמודות". מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

4. התיאוריה הדואלית(4) • הטבלה הפרימלית-דואלית של בעיית הדוגמה נתונה להלן: • אם נפתור את הבעיה הדואלית יתקבל הפתרון המיטבי: כפי שרשום בטבלה המיטבית של הבעיה הפרימלית. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

5. התיאוריה הדואלית(5) • המשמעות הכלכלית של הבעיה הדואלית. • המשמעויות של הפרמטרים של הבעיה הפרימלית הם: • Xj – הרמה של פעילות j, • Cj- רווח ליחידה מפעילות j, • Z- סה"כ רווח מכל הפעילויות, • bi – כמות זמינה של משאב i, • aij- כמות נצרכת של משאב i ע"י יחידה של פעילות j. • לאור העובדה ש ו הוא הערך העכשווי של Z נסיק ש הוא התרומה לרווחיות של משאב i. מסקנה זאת נדחית מכיוון שלא יתכן שמחלקה 1 לא תורמת מאומה לרווחיות ( ( . המסקנה המתבקשת היא ש היא התרומה השולית לרווחיות. כלומר הנו השיעור בו תשתנה פונקצית המטרה אם יגדל בסביבת הפתרון הנוכחי. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

6. התיאוריה הדואלית(6) • נבדוק את השינויים בערך פונקצית המטרה המיטבית כאשר משתנות הכמויות הזמינות של המשאבים: • אם b1=5, קל לראות מהפתרון הגרפי של הבעיה שערכי x1 ו x2 המיטביים לא ישתנו ולכן ערך פונקצית המטרה נשאר ללא שינוי. התוצאה מתיישבת עם כך ש y1=0. • אם b2=13 קל לראות שהפתרון המיטבי מתקבל בנקודה x2=6.5 ו x1=5/3. ערך פונקצית המטרה בנקודה שווה ל 37.5 , כפי שניתן היה להסיק מכך ש y2=3/2. • אם b3=19 יתקבל הפתרון המיטבי x1=7/3 ו x2=6, וערך פונקצית המטרה בנקודה זאת שווה ל 37. הדבר מתיישב כמובן עם כך ש y3=1. • יש להדגיש שהשימוש בערכי ה y-ים לחיזוי השינוי בערך פונקצית המטרה נכון רק כאשר השינוי לא גורם לבסיס המיטבי להשתנות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

7. התיאוריה הדואלית(7) • המשמעות של משתנים דואליים רבה מכיוון שכמויות המשאבים הזמינות מבטאות, לעיתים קרובות, ציפיות או הערכות ולא ערכים ודאיים.לכן, לאחר קבלת פתרון מיטבי משתמשים בערכי המשתנים הדואליים, הנקראים "מחירי צל" (shadow prices), כדי להחליט אם כדאי לשנות הקצאות של משאבים. • הוא המחיר המרבי שכדאי לשלם כדי להגדיל ביחידה את הכמות הזמינה של משאב i. • קיים קשר בין הערך של משתנה פרימלי ובין הערך של משתנה דואלי הקשור אליו. הקשר נקרא "תכונת החסר המשלים" (complementary slackness property). הקשר מנוסח כדלקמן: • אם Xj (j=1,..,n) בסיסי אזי Zj-Cj אינו בסיסי, ואם Zj-Cj בסיסי אזי Xj אינו בסיסי. • אם Xn+i (i=1,..m) בסיסי אזי Yi אינו בסיסי ואם Yi בסיסי אזי Xn+i אינו בסיסי. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

8. התיאוריה הדואלית (8) • קל להיווכח בנכונות תנאי החסר המשלים אם נבחן את הקשר בין ערכי משתנים ומקדמיהם בפונקצית המטרה. • כאשר פותרים את הבעיה הדואלית האילוצים הם: כלומר הוספנו בבעיה הדואלית n משתני יתר המקיימים ומעתה מספר המשתנים הדואליים משתווה למספר המשתנים הפרימליים (n+m). בפרימלית יש n משתנים מקוריים ו m משתני חסר, ובדואלית יש m משתנים מקוריים ו n משתני יתר. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

9. התיאוריה הדואלית (9) • אם נציב את הערך של בשורת פונקצית המטרה נקבל מתכונת החסר המשלים: • הרווח ליחידה מפעילות j שווה לסכום התרומות המחלקתיות לפעילות j. • התרומה המחלקתית לפעילות j שווה לתרומה השולית של המחלקה ליחידת משאב של המחלקה () כשהיא מוכפלת בכמות הנצרכת של משאב i ע"י יחידת פעילות j ( ). מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

10. התיאוריה הדואלית (10) • סיכום הקשרים בין הבעיה הפרימלית והבעיה הדואלית: • לכל פתרון בסיסי של הבעיה הפרימלית יש פתרון בסיסי קשור (או משלים) של הבעיה הדואלית. הקשר בין הפתרונות הנו: מכיוון שתהליך הפתרון שבו אנו עוסקים מגיע לשיא דרך סדרת פתרונות פרימליים אפשריים אזי, הפתרונות הדואליים הקשורים הנם בלתי אפשריים. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

11. התיאוריה הדואלית (11) • אם הוא פתרון אפשרי מיטבי של הבעיה הפרימלית ו הוא פתרון אפשרי של הבעיה הדואלית אזי: הוכחה: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

12. התיאוריה הדואלית (21) • אם הוא פתרון מיטבי של הבעיה הפרימלית שהתקבל בשיטת הסימפלקס אזי הפתרון הבסיסי המשלים הוא פתרון אפשרי לבעיה הדואלית. הטענה נכונה מכיוון שפתרון מיטבי של הפרימלית מחייב מקדמים לא שליליים בפונקצית המטרה. • אם ו הם פתרונות מיטביים לבעיות הפרימלית והדואלית בהתאמה אזי: קשר זה נקרא משפט הדואליות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

13. התיאוריה הדואלית (31) • נדגים את הקשר בין הבעיות הפרימלית והדואלית בעזרת הדוגמה: הבעיה הדואלית היא: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

14. התיאוריה הדואלית (41) • נוסיף משתני חסר ויתר ונקבל: הקשר בין המשתנים הפרימליים והדואליים הוא: משתנים מלאכותיים אינם נכללים בקישור בין הבעיות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

15. התיאוריה הדואלית (15) • תאור התחום האפשרי, נקודות הפינה וערכי פונקצית המטרה.: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

16. התיאוריה הדואלית (16) • מעבר לבעיה הדואלית כאשר הפרימלית אינה בתבנית התקנית: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

17. התיאוריה הדואלית (17) • מנתוני הטבלה האחרונה נסיק: • אילוצי שוויון בפרימלית מביאים למשתנים שאינם מוגבלים בסימן בדואלית. • משתנים שאינם מוגבלים בסימן בפרימלית מביאים לאילוצי שוויון בדואלית. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

18. התיאוריה הדואלית (18) • הבעיה הדואלית של הבעיה הדואלית היא הבעיה הפרימלית. 1 2 4 3 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

19. 10. ניתוחי רגישותSesitivity Analysis • מכיוון שהפרמטרים הנם אמדים (ו/או נתונים להחלטות ניהוליות) חשוב לבדוק את רגישות הפתרון המיטבי לשינויים בפרמטרים אלה. • עקב המורכבות של בעיות תכנות לינארי לא מעשי לדרוש את חישוב הפתרון המיטבי עבור כל צרוף אפשרי של פרמטרים. • ניתוחי רגישות מאפשרים את הבנת תכונות הפתרון המיטבי וההשפעות עליו. בכך עוזרים ניתוחי הרגישות לארגונים לשפר את תפקודם. • התכונות של שיטת הסימפלקס מהווים בסיס לניתוחי רגישות. • בדיון הנוכחי נבדוק את רגישות הפתרון המיטבי לשינויים בכמויות הזמינות של משאבים (b), במחירים (c) ובמטריצה הטכנולוגית (A). מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

20. ניתוחי רגישות (2) • כאשר משתנים הפרמטרים של בעיית תכנות לינארי יש לבדוק: • האם הפתרון שהושג נישאר מיטבי? • האם הפתרון שהושג נישאר מיטבי? • אם התשובה לשתי השאלות היא "כן" יש לקבוע את ערכי המשתנים ופונקצית המטרה המיטביים החדשים. • אם חלק, או כל, מהתשובות הן לא יש לקבוע איך מגיעים לפתרון המיטבי החדש. לעיתים נדרש לפתור את הבעיה מההתחלה. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

21. ניתוחי רגישות (3) • מקרה 1: שינוי בוקטור b. הוקטור החדש הנו . • מחשבים את אגף ימין החדש ע"י: או ע"י: • אם אגף ימין החדש כולל רק איברים לא-שליליים הפתרון אפשרי ומיטבי. יש לרשום את הערכים החדשים של המשתנים הבסיסיים ולחשב את ערך פונקצית המטרה המיטבית החדשה. ניתן לחשב את ערך פונקצית המטרה החדשה ישירות - בעזרת הערכים המיטביים החדשים של המשתנים, או ע"י: • אם יש איברים שליליים באגף ימין החדש, יש להתחיל את הפתרון מההתחלה (או להמשיך את הבעיה הדואלית מהנקודה שהגענו אליה, לא נלמד במסגרת הקורס). מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

22. ניתוחי רגישות (4) • נדגים: נניח שבבעיית הדוגמה אזי: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

23. ניתוחי רגישות (5) אברי אגף ימין לא שליליים ולכן הפתרון אפשרי ומיטבי. ערכי המשתנים המיטביים: ערך פונקצית המטרה עתה: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

24. ניתוחי רגישות (6) • דוגמה נוספת: נניח שבבעיית הדוגמה אזי: הפתרון אינו אפשרי, יש לפתור מההתחלה. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

25. ניתוחי רגישות (7) • מקרה 2: שינוי במקדמים של משתנה . נסמן ע"י את השינויים המתבצעים בפרמטרים. ברור שהפתרון המיטבי נשאר לפחות אפשרי. • הפתרון נשאר מיטבי אם: אחרת יש להמשיך בהתמרות ציריות. • את השינוי בפונקצית המטרה מחשבים ע"י: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

26. ניתוחי רגישות (8) - להלן נתונים בעיית תכנות לינארי ופתרונה המיטבי: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

27. ניתוחי רגישות (9) - נניח שמעונינים לבדוק את משמעות השינויים: מסקנה הפתרון אינו מיטבי( 3/2+(-3/5)=-2). יש לחשב את X3 יכנס לבסיס על חשבון X4. יש להמשיך בהתמרות ציריות. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

28. ניתוחי רגישות (10) • מקרה 3: הוספת משתנה. אם התברר, לאחר שנפתרה בעיית תכנות לינארי, שנשכח משתנה, מטפלים בבעיה כמו שטופל המקרה של שנוי במקדמים של משתנה לא בסיסי. • מקרה 4: שנוי במקדמים של משתנה בסיסי. השינוי במקדמים אלה יכול לגרום לכך שהפתרון המיטבי הופך להיות לא מיטבי או לא אפשרי. השינוי גם יכול לגרום לכך שאין פתרון אפשרי למערכת. הטיפול במקרה זה נעשה כדלקמן: • ראשית "מתקנים" את מקדמי המשתנה הבסיסי בטבלה ה"סופית". התיקון גורם לכך שהטבלה כבר אינה מצויה בצורה הקנונית. לאחר מכן משלימים את ההתמרה הצירית. • אם הפתרון שהתקבל אפשרי ומיטבי הסתיים התהליך. • אם הפתרון שהתקבל אפשרי אך לא מיטבי - יש להמשיך בצעדי סימפלקס. • אם הפתרון שהתקבל לא אפשרי – יש לפתור את הבעיה מההתחלה. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

29. ניתוחי רגישות (11) • נניח שבבעיית הדוגמה המקורית עדכוני הפרמטרים הם: נחשב ראשית את השינוי במטריצה הטכנולוגית. נחשב גם את השינוי במקדם של X1 בפונקצית המטרה: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

30. ניתוחי רגישות (12) הטבלה הסופית לפני השינוי הייתה: לאחר התיקונים הטבלה ה"סופית" נראית כך: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

31. ניתוחי רגישות (13) המשתנה x1 הנו בסיסי באילוץ השלישי ולכן יש להשלים את ההתמרה: נחלק את האילוץ השלישי ב 5/3 , נכפול את האילוץ השלישי החדש ב 3 ונחסיר מפונקצית המטרה נכפול את האילוץ השלישי החדש ב 1/3 ונחסיר מאילוץ 1. התקבל הפתרון המיטבי החדש כדלקמן: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

32. ניתוחי רגישות (14) • מקרה 5: קביעת התחום בו ניתן לשנות את מקדם המחיר של משתנה בסיסי מבלי שישתנה ההרכב של הבסיס המיטבי. נניח ש Xi שייך לבסיס המיטבי. בנוסף נניח . נבדוק באיזה תחום ניתן לשנות את מבלי שישתנה הרכב הבסיס המיטבי. המקדם של Xi בפונקצית המטרה יהיה עתה: מכיוון ש Xi בסיסי יש לאפס מקדם זה. נניח ש Xi בסיסי באילוץ r לכן, יש להוסיף לפונקצית המטרה את שורה r מוכפלת ב . יתקבלו בפונקצית המטרה המקדמים הבאים, (שהם אמורים להיות לא שליליים כדי שהרכב הפתרון המיטבי יישאר ללא שינוי): מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

33. ניתוחי רגישות (15) • בבעיית הדוגמה המקורית ניקח: הטבלה ה"סופית" לאחר השינוי תהיה איפה: נכפול את האילוץ השלישי ב ונוסיף לפונקצית המטרה. שורת פונקצית המטרה החדשה תהיה איפה: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

34. ניתוחי רגישות (16) נקבל: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

35. ניתוחי רגישות (17) • מקרה 6: הוספת אילוץ. אם הפתרון שהגענו אליו מקיים את האילוץ החדש אזי הפתרון אפשרי ומיטבי. אחרת, מומלץ בקורס הנוכחי להתחיל את תהליך הפתרון מההתחלה. • מקרה 7: ניתוח פרמטרי של כמויות משאבים זמינות שאינן משנות את הרכב הפתרון המיטבי. נניח שכמויות המשאבים הזמינות הנן גמישות ומעונינים לקבוע את הפתרון המרבי כפונקציה של הערכים האפשריים: לדוגמה, במקום הערך של נבחן את השתנות הפתרון המיטבי כאשר כך בוחנים את הפתרון המיטבי בסביבת הנקודה .לכמויות הזמינות של המשאבים, עבור הרכב נתון של פתרון מיטבי, יש השפעה רק על אפשריות הפתרון. לכן, אם הפתרון נשאר אפשרי, הוא נשאר מיטבי. מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

36. ניתוחי רגישות (18) נניח שהכמויות הזמינות של המשאבים נתונות ע"י: אזי הפתרון נשאר אפשרי ומיטבי אם: את ערך פונקצית המטרה מעדכנים בעזרת הנוסחה: נדגים: אם אזי ערך ה RHS החדש שווה ל: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

37. ניתוחי רגישות (19) הפתרון נשאר אפשרי (ומיטבי) אם: ערך פונקצית המטרה שווה ל-: מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים