Cinemat a.s. 2005/06

1. Cinemata.s. 2005/06

2. Ennio De Giorgispiega il suo interesse per la Matematica Dal Libro dei Proverbi“La Sapienza era con Dio quando Dio creava il mondo. La Sapienza ama farsi trovare da chi la cerca e la ama.” La Matematica è una delle manifestazioni più significative dell’amore per la Sapienza. Come tale la Matematica è, da un lato, caratterizzata da una grande libertà, dall’altro, guidata dall’intuizione che il mondo è grandissimo, fatto da cose visibili e invisibili, ha una capacità unica fra tutte le scienze: passare dall’osservazione delle cose visibili all’immaginazione delle cose invisibili.

3. Definizione di Gruppo Struttura algebrica G=(A,*) tale che: (a*b)*c=a*(b*c) a*u=u*a=a a-1*a=a*a-1=u

4. Insieme delle rotazioni di un triangolo equilatero 3 2 1 1 3 2 2 1 3 I=rot 0°+k360° a=rot 120°+k360° b=rot 240°+k360° 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3

5. Tabella di composizione

6. … o anche, poiché b=a2

7. Gruppo ciclico di ordine 3 C3 =(I, a, a2) Ogni gruppo Cn che consiste nelle n rotazioni di angoli multipli di 2/n ossia 360°/n è detto gruppo ciclico di ordine n. Dopo n rotazioni si torna nella posizione iniziale. Es. di C4 si ha con e rotazioni che sovrappongono un quadrato a se stesso (90°, 180°, 270°, 360°)

8. Se consideriamo le rotazioni che sovrappongono un pentagono a se stesso e C5 (360°/5,…) = (72°, 144°, 216°, 288°, 360°) non abbiamo un gruppo, perché ogni angolo interno di un pentagono misura (5-2)180°/5 = 108° e con una rotazione di 72° non sovrapponiamo il pentagono a se stesso. Es di C6 si ha con le rotazioni che sovrappongono un esagono a se stesso.

9. Consideriamo poi le simmetrie di alcune figure: A è trasformata in sé da una simmetria assiale verticale E è trasformata in sé da una simmetria assiale orizzontale N è trasformata in sé da una simmetria centrale H è trasformata in sé da una simmetria centrale e da due simmetrie assiali

10. Che cosa è dunque una simmetria? E’ una isometria ossia una trasformazione che lascia complessivamente immutata una figura, per quanto scambiandone le parti costituenti

11. Gruppo diedrale Dn consiste delle rotazioni di Cn e delle simmetrie rispetto ad assi che formano fra loro angoli di /n ossia 180°/n

12. C1 C2 Identità Rotazione di 180° Rotazioni di 120°, 240°, 360° Rotazioni di 90°,180°,270°,360° Gruppi di simmetrie piane con un punto fisso C3 C4

13. D1 • Riflessione verticale • Rotazione di 180°, riflessione orizzontale, riflessione verticale • Rotazioni di 120°, 240°, 360° e tre simmetrie assiali • Rotazioni di 90°,180°,270°,360° e quattro simmetrie assiali D2 D3 D4

14. Queste sono tutte le trasformazioni dell’insieme delle simmetrie applicate ad un elemento iniziale I gruppi di simmetria con un punto fisso sono tutti e soli i gruppi discreti e finiti di isometrie piane. Un gruppo finito di isometrie piane non contiene traslazioni, né glissoriflessioni, ma solo rotazioni e simmetrie assiali

15. Ossevazione: Un gruppo si dice discreto se per ogni punto P esiste un cerchio di centro P nel quale non sono contenuti altri punti dell’orbita di P. Un gruppo si dice finito se è formato da un numero finito di elementi. I gruppi finiti di isometrie sono detti gruppi di “rosoni”: sono i gruppi di simmetria dei poligoni regolari

16. Consideriamo gruppi discreti che non sono finiti e che contengono traslazioni generate da un’unica traslazione: abbiamo i fregi (7 gruppi) Consideriamo gruppi discreti che non sono finiti e che contengono traslazioni generate da due di esse indipendenti: abbiamo i mosaici (17 gruppi, detti anche delle “carte da parati” )

17. rotazione Classificazione dei 7 modelli di fregio Simm. Oriz. Simm. Oriz. r2mm Simm. vert. Simm. vert. r11m r2 r1m r2mg glissoriflessione. r1 r11g no sì Lettera matematica Pristem n.30 del 1998

18. esempi • Rotazione no; simmetria verticale no; simmetria orizzontale no; glissoriflessione no r1 • Rotazione no; simmetria verticale sì ; simmetria orizzontale no; glissoriflessione no r1m • Rotazione sì; simmetria verticale no; simmetria orizzontale no; glissoriflessione no r2 • ….ecc

19. Ritorniamo ai gruppi dei mosaici. Fare mosaici vuol dire ricoprire l’intero piano ripetendo sempre un motivo di fondo. Già dai tempi antichi era stato osservato che i cristalli possono avere simmetrie di rotazione di periodo 2, 3, 4 oppure 6, ma non 5 né n>6. Esiste un teorema per cui ogni rotazione di un mosaico ha ordine 2, 3, 4 oppure 6. Come già accennato, tenendo conto di queste rotazioni e delle possibili simmetrie assiali, si ottengono 17 gruppi di isometrie a cui corrispondono 17 configurazioni a partire da un elemento base.

20. Esempio:Ricoprimento ottenuto con sei rotazioni del triangolo fondamentale e traslazione del motivo di fondo secondo le due direzioni indicate dai vettori di colore blu

21. Esempio:Ricoprimento ottenuto con riflessioni orizzontale e verticale del triangolo fondamentale e rotazioni di 270° del motivo di fondo attorno ai vertici di angoli aventi minor ampiezza

22. Tassellature e riempimenti

23. Esempio di tassellatura…osservando un’opera di Escher…Il tassello fondamentale è un triangolo equilateroche ha per lati gli assi di simmetria di ogni animaletto colorato. La tassellatura è ottenuta consuccessive simmetrie assiali rispetto ai lati del triangolo.

24. Grafi Grafo è una figura geometrica costituita da punti e da linee che congiungono alcuni di questi punti. Chiamiamo spigoli tali linee, vertici i punti. Se gli spigoli non hanno intersezioni o punti comuni oltre i vertici, il grafo si dice planare.Se suddivide il piano in poligoni (con lati non necessariamente rettilinei) si dice poligonale. Ogni poligono si chiama faccia; la parte esterna al grafo si chiama faccia infinita

25. Grafo poligonale 8 facce 7 vertici 13 spigoli 8-13+7=2 Grafo duale 8 vertici 7 facce 13 spigoli Per ogni grafo poligonale vale la formula di Eulero v- s + f = 2, valida anche per i poliedrinello spazio tridimensionale G B H C A E D

26. Un grafo è regolare se il numero degli spigoli è il medesimo per ogni vertice Se un grafo e il suo duale sono entrambi regolari, diciamo che il grafo è completamente regolare Esempio di grafo completamente regolare

27. Vediamo come si possano ottenere disegni associati ai gruppi di movimenti che spostano una regione fondamentale, utilizzando i grafi Corrispondenze: GrafoGruppo • Vertice Elemento • Segmento orientato Generatore (es. a) • Cammino Composizione di più elementi (es. a2) • Cammino chiuso Composizione di più elementi che diano I

28. Consideriamo un triangolo rettangolo Rotazioni successive di 90° attorno ad O: r,r2,r3,r4=I

29. Consideriamo un altro triangolo rettangolo Rotazione di 180° attorno ad M: s

30. Ricopriamo il piano applicando r ed s

31. …oppure, partendo da un rombo con un angolo di 60°

32. I poliedri regolari hanno per facce uno stesso poligono regolare con lo stesso numero di facce ad ogni vertice.Sono solo cinque.

33. Grafi completamente regolari e solidi platonici

34. I solidi platonici “simboleggiano in maniera impareggiabile l’umana ricerca di armonia e ordine, ma allo stesso tempo la loro perfezione ci incute un senso di impotenza” (Platone)

35. Numeri di Fibonacci • Leonardo Fibonacci di Pisa con il suo libro Liber Abaci (1228) introdusse in Europa l’uso delle cifre indo-arabiche, con la numerazione in base 10. • Tra gli altri problemi, propose il seguente:

36. Ci sia una coppia di conigli il primo gennaio; questa generi un’altra coppia il primo febbraio e così via per tutti i mesi dell’anno, il primo giorno di ogni mese. • Ciascuna nuova coppia generi una coppia il primo giorno di ogni mese a partire dal secondo mese di vita … • Quanti conigli ci saranno a fine anno? • Risposta: 233

38. Ci sono infinite successioni di Fibonacci • Per individuarne una, bisogna indicare il primo e il secondo termine • Rapporto tra i vari termini: 1:1=1 3:2=1,5 8:5=1,6……(5+1)/2 • an= an-1+ an-2 se n>2 an/ an-1=1+ an-2/ an-1 Il numero (5+1)/2= è detto rapporto aureo, infatti, data la sezione aurea AC di un segmento AB, si ha: AB/AC= = (5+1)/2

39. Successione generata con Excellim an =1,618..=rapporto aureo

40. Vediamo perché:Costruzione della sezione aurea Dimostrazione Per il Teorema della tangente e della secante: AE:AB=AB:AD DE=2OB=2 *1/2=1=AB (AE-AB):AB=(AB-AD):AD AD:AB=CB:AC Poiché AD=AC, si ha AC:AB=CB:AC cioè AB:AC=AC:CB c.v.d.

41. …da cui AC2=AB*CB x2=1-x  x2+x-1=0  x=(-1 5)/2  AB/AC=1/(-1+ 5)/2  Razionalizzando  = (5+1)/2

42. Costruiamo un rettangolo aureo Si tratta di un rettangolo con i lati in rapporto aureo.

43. Unendo i punti di opportuni rettangoli aurei annidati, si ottiene una curva detta spirale logaritmica. I semi di un capolino di girasole seguono una spirale logaritmica: se si contano le spirali che vanno in senso orario e quelle che vanno in senso antiorario, si trovano numeri che sono termini successivi della serie di Fibonacci. Ad esempio, esistono girasoli con 55 e 34 spirali oppure 34 e 21 oppure 21 e 13.

44. Matematica e musica Leibniz: “La musica è un occulto esercizio aritmetico dell’anima nostra, inconsapevole di numerare.”

45. Il suono è provocato da vibrazioni periodiche della sorgente sonora. Se non vi è periodicità nelle vibrazioni, si ha il rumore. Il nostro orecchio percepisce un suono se la frequenza f (numero di vibrazioni al secondo) è 16<f<20000 hertz A ciascun suono corrisponde un determinato numero di vibrazioni (es. do 256 hz)

46. Caratteri distintivi dei suoni: • Altezza (bassi, alti; gravi, acuti) • Intensità (forti, deboli) • Timbro (es. a parità di altezza e di intensità si distingue il suono emesso da una tromba o da un violino)

47. Partendo da un certo suono, ottenuto pizzicando una corda, se la lunghezza della corda viene ridotta, il suono diventa più acuto; la frequenza della vibrazione aumenta. Se la corda è dimezzata e quindi la frequenza raddoppiata, si ha lo stesso suono iniziale. Così accade ogni volta che la corda è ulteriormente dimezzata. I suoni compresi nell’intervallo fra due suoni analoghi successivi (ottava) sono circa 300.

48. Un suono è semplice (o puro) quando il suo diagramma è una semplice sinusoide. Con un diapason si possono ottenere suoni puri. La sua vibrazione genera compressioni e rarefazioni dell’aria circostante. Gli spostamenti subiti da una molecola d’aria, sollecitata dall’oscillazione di un diapason, sono rappresentabili con una sinusoide, la cui ampiezza corrisponde allo spostamento massimo della molecola.

49. esempio L’ampiezza è l’ordinata massima ed è legata all’intensità del suono. Se l’asse x è l’asse dei tempi, l’intervallo corrispondente ad una oscillazione completa si dice periodo; l’inverso del periodo è la frequenza ed è legato all’altezza del suono. Se, ad esempio, l’ampiezza è 0,002 cm e la frequenza è 100 vibrazioni al secondo, la sinusoide ha equazione y=0,002 sen(100•2x)

50. Ogni altro suono, non puro, si dice composto perché è formato da suoni puri. Il matematico Fourier nel 1807 dimostrò che sia i suoni vocali, sia quelli strumentali, possono essere espressi come somma di termini della forma y=m sen(nx). Ogni suono composto è formato, cioè, da un suono semplice fondamentale (quello di più bassa frequenza) e da suoni armonici. Ad esempio si dice secondo armonico quello che ha frequenza doppia…