1 / 99

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Prof. dr. sc. Pavao Marović. Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009. Nastavnici. Prof.dr.sc. Pavao Marović , dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić , dipl.ing.građ. Marko Bertolino , dipl.ing.građ. Opće uvodne napomene. (vidi posebni list s pravilima i obavijestima).

jered
Download Presentation

Prof. dr. sc. Pavao Marović

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009

  2. Nastavnici Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić, dipl.ing.građ. Marko Bertolino, dipl.ing.građ. Opći uvod

  3. Opće uvodne napomene (vidi posebni list s pravilima i obavijestima) Opći uvod

  4. Sadržaj predmeta: • Elastična linija • Statički neodređeni sustavi • Složena naprezanja / Jezgra popr. presjeka • Teorije čvrstoće • Potencijalna energija • Izvijanje • Deformacije preko granice elastičnosti / Teorija plastičnosti Opći uvod

  5. Literatura: [1] V. Šimić, Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1992., 2. izdanje – 2001., 3. izdanje – 2007. [2] V. Šimić, Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1995., 2. izdanje – 2001. [3] S.P. Timošenko, Otpornost materijala II, Građevinska knjiga, Beograd, 1964. [1] Z. Kostrenčić, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1971. [2] P. Marović, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala II, Građevinski fakultet Sveučilišta u Splitu, Split, xxxx Opći uvod

  6. 1. ELASTIČNA LINIJA Elastična linija nosača ili progibna linija nosača je uzdužna os štapa (težišna linija nosača) u deformiranom (savijenom) obliku. f ≤ fdop Elastičnu (progibnu) liniju nosača možemo odrediti na 3 načina: - analitički - grafoanalitički - grafički 1. Elastična linija

  7. 1.1 – Diferencijalna jednadžba elastične linije Promatrajmo jednu konzolu: w - progib F x φ ρ – radijus zakrivljenosti x φ w φ – kut nagiba tangente na elastičnu liniju wmax=f y elastična (progibna) linija nosača (deformirana linija) ρ Veza između vanjskog opterećenja (moment savijanja) i deformacije: (Za čisto savijanje, ali i za savijanje silama) 1. Elastična linija

  8. Matematički izraz za zakrivljenost: Ako je h/L<1/10 onda je utjecaj poprečne sile <3% → zanemarujemo utjecaj poprečne sile na deformaciju nosača. Ako uvrstimo: Nelinearna diferencijalna jednadžba – Diferenc. jedn. za velike progibe Pošto mi radimo samo s malim progibima, w’2 << 1 , ostaje nam: Linearna diferencijalna jednadžba – Diferenc. jedn. za male progibe Diferenc. jedn. elastične linije nosača – vrijedi princip superpozicije 1. Elastična linija

  9. Dogovor za predznak, + ili – +M Predznak ovisi o izboru koordinatnog sustava. w’ opada → w’’<0 x w w’<0 w’>0 w’=0 → +w y y w’ raste → w’’>0 x w w’>0 w’<0 w’=0 → -w 1. Elastična linija

  10. 1.2 – Diferencijalne veze pri savijanju Promatrajmo jednu gredu: ds=ρ·dθ dθ ρ ρ Pošto je w’2<<1 ds možemo uzeti ds≈dx dθ x dx odnosno: M 1. Elastična linija

  11. dθ ρ ρ ds dθ x dx M Tražimo sada kut zaokreta između dva presjeka, C i D: C D Vidimo da je kut zaokreta između dva presjeka jednak površini momenta savijanja između ta dva presjeka podijeljenom s krutošću nosača E·IZ. 1. Elastična linija

  12. + - - Dokaz: promatrajmo obostrano ukliještenu gredu: Kut zaokreta između upetih presjeka je nula jer je ukupna površina momentnog dijagrama jednaka 0. M 1. Elastična linija

  13. Poznate diferencijalne veze kod savijanja: Nove diferencijalne veze kod savijanja: Opće, za E·Iz ≠ konst. Opće, za E·Iz = konst. 1. Elastična linija

  14. Postupci određivanja elastične linije: • Analitički • Grafoanalitički • Grafički 1. Elastična linija

  15. 1.3 – Analitičko određivanje elastične linije Analitički postupak određivanja elastične linije se sastoji u uzastopnom integriranju diferencijalne jednadžbe: pri čemu treba napisati jednadžbu momentne linije, Mz(x), i postaviti odgovarajuće rubne uvjete. 1. Elastična linija

  16. + M Promatrajmo jednu gredu: Mx M E·Iz = konst. M w x x Mz(x)=Mx=M M M y Rubni uvjeti: (vidimo ih iz skice progibne linije) 1) x=0, w=0 → D=0 2) x=L, w=0 → C=M·L/2 (jednadžba elastične linije) 1. Elastična linija

  17. Promatrajmo jednu konzolu: E·Iz = konst. Mx q x x L-x L y Rubni uvjet: 1) x=0, w’(0)=0 → C=0 1. Elastična linija

  18. E·Iz = konst. q x x L y Rubni uvjet: 2) x=0, w(0)=0 → D=0 (jedn. elastične linije) 1. Elastična linija

  19. E·Iz = konst. q x x L y wmax=f θmax Maksimalne vrijednosti progiba i kuta nagiba tangente su: za x=L : 1. Elastična linija

  20. Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: Mx q E·Iz = konst. x x w’=0 A=qL/2 B=qL/2 L y Rubni uvjet: 1) x=L/2, w’(L/2)=0 1. Elastična linija

  21. Mx q E·Iz = konst. x x w’=0 A=qL/2 B=qL/2 L y Rubni uvjet: 2) x=0, w(0)=0 → D=0 ili x=L, w(L)=0 → D=0 (jedn. elastične linije) 1. Elastična linija

  22. q E·Iz = konst. x L y A B θA f θB w’=0 Maksimalne vrijednosti progiba i kuta nagiba tangente su: Progib je maksimalan tamo gdje je tangenta na elastičnu liniju horizontalna, a to je u polovini nosača, x=L/2: Kut nagiba tangente je, kako se vidi s crteža, maksimalan na osloncima: 1. Elastična linija

  23. M Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. x a b A B L y Da li možemo napisati ovu diferenc. jednadžbu koja će vrijediti za cijelo područje od 0 do L. A=Fb/L B=Fa/L Fab/L 2 1 a≤x≤L 0≤x≤a Ne možemo, jer linija momentnog dijagrama nije kontinuirana krivulja - primjenjujemo princip superpozicije! Postupak određivanja elastične linije provodimo po dijelovima. 1. Elastična linija

  24. F x a b L y Područje 1: 0≤x≤a Područje 2: a≤x≤L 1 2 Postavimo rubne uvjete iz crteža: U presjeku x=a: 1) w1’= w2’ C1=C2=C 2) w1= w2 D1=D2=D 1. Elastična linija

  25. Područje 1: 0≤x≤a Područje 2: a≤x≤L F x a b L y Postavimo rubne uvjete iz crteža: 3) u x=0, w1=0 D1=D2=D=0 4) u x=L, w2=0 1. Elastična linija

  26. F x a b L y Sada možemo napisati izraze za elastičnu liniju: 0≤x≤a a≤x≤L 1. Elastična linija

  27. Područje 1: 0≤x≤a Područje 2: a≤x≤L Ako smo u području 1 ne uzimamo “žute” članove, a ako smo u području 2 onda ih uzimamo. Pitanje: Možemo li imati jednu jednadžbu koja će obuhvatiti oba područja? 1. Elastična linija

  28. 1.4 – Metoda početnih parametara Ako imamo niz sila, onda za svako područje moramo postaviti odgovarajuću jednadžbu. Ako imamo n sila, onda imamo n+1 područje, te moramo postaviti n+1 jednadžbu s (n+1)·2 konstanti. Želimo li pojednostavniti proračun, postavljamo samo 1 jednadžbu i kao rješenje dobivamo samo 1 jednadžbu ali iz nje isključujemo ono što nam je višak. Višak isključujemo preko tzv. početnih parametara. 1. Elastična linija

  29. F q M E·Iz = konst. 1 2 3 4 a1 a2 a3 Ovaj sustav možemo prikazati kao: L F q M a1 q a2 B A a3 L 1. Elastična linija

  30. Jednadžba momenta savijanja koja vrijedi preko cijele grede: uz uvjet da uvijek uzimamo samo članove (x-ai) > 0 1. Elastična linija

  31. Do ovog izraza smo mogli doći i postepeno, kao u prethodnom primjeru: x=a1 x=a2 1) w1’= w2’ → C1=C2 2) w1= w2 → D1=D2 3) w2’= w3’ → C2=C3=C1 4) w2= w3 → D2=D3=D1 C1 = C2 = C3 .... = C D1 = D2 = D2 .... = D Ostaju nam samo 2 konstante koje određujemo iz uvjeta na osloncima. 1. Elastična linija

  32. 1) x=0 w(0)=0 → D=0 2) x=L w(L)=0 Iz ovog izraza odredimo konstantu C. 1. Elastična linija

  33. 1.5 – Grafoanalitički postupak određivanja elastične linije Grafoanalitički postupak se temelji na matematičkoj sličnosti diferencijalne jednadžbe elastične linije nosača i diferencijalne zavisnosti između momenta savijanja i intenziteta opterećenja. Ovu su analogiju prvi razradili Mohr i Maxwell pa se još naziva Mohr-Maxwell-ova analogija. 1. Elastična linija

  34. q x w M y M Temeljem navedenog možemo uzeti moment savijanja kao fiktivno opterećenje i od njega odrediti fiktivni moment savijanja i fiktivnu poprečnu silu. 1. Elastična linija

  35. (1) (2) Fiktivno opterećenje: Dif. veza između fiktivnog opt. i fiktivnog mom.: (3) Uspoređujući li jedn. (2) i (3), slijedi: “Polazna” diferencijalna jednadžba elastične linije 1. Elastična linija

  36. (Sada možemo dobivenu diferencijalnu jedn. elastične linije dva puta integrirati) pri čemu je: (jedn. kuta nagiba tangente na elastičnu liniju) (jedn. elastične linije) C i D su integracijske konstante koje ovise o uvjetima oslanjanja fiktivnog nosača. 1. Elastična linija

  37. Fiktivni nosač je iste dužine kao i stvarni nosač, ima istu krutost kao i stvarni nosač, EIz, a opterećen je fiktivnim opterećenjem koje je zadano momentnim dijagramom na stvarnom nosaču, . Ako je fiktivni nosač učvršćen tako da je odnosno u onim presjecima gdje je w’=0 odnosno w=0 , tada će konstante C i D biti jednake 0. Ovom prilikom treba voditi računa da fiktivni nosač mora biti statički stabilan. 1. Elastična linija

  38. Izrazi i uz C=D=0 postaju: Kut nagiba tangente na elastičnu liniju (kut zaokreta) u nekom presjeku stvarnog nosača jednak je fiktivnoj poprečnoj sili na fiktivnom nosaču uslijed fiktivnog opterećenja, koje je dano u obliku momentnog dijagrama za stvarni nosač, podijeljenom s krutošću na savijanje stvarnog nosača. Progib u nekom presjeku stvarnog nosača jednak je fiktivnom momentu savijanja na fiktivnom nosaču uslijed fiktivnog opterećenja, koje je dano u obliku momentnog dijagrama za stvarni nosač, podijeljenom s krutošću na savijanje stvarnog nosača. 1. Elastična linija

  39. w Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Prosta greda: E·Iz Stvarni nosač Konjugirani nosači E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Prosta greda 1. Elastična linija

  40. Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Konzola: E·Iz Stvarni nosač w Konjugirani nosači E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Konzola 1. Elastična linija

  41. Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Greda s prepustima: E·Iz Stvarni nosač w E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Gerberov nosač 1. Elastična linija

  42. Određivanje rubnih uvjeta za fiktivni nosač Gerberov nosač: E·Iz Stvarni nosač w E·Iz Fiktivni nosač F.N.: Gerberov nosač Zaključak: Između stvarnog i fiktivnog nosača postoji reciprocitet. 1. Elastična linija

  43. q= M - Promatrajmo jednu konzolu: E·Iz = konst. q wmax=f=? L θmax=? M T M Φ ¾L ¼L 1. Elastična linija

  44. q= M + Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: q E·Iz = konst. θB θA ½L ½L M A B 1. Elastična linija

  45. Promatrajmo gredu s kontinuiranim opterećenjem: q E·Iz = konst. q= M θB θA ½L ½L M + A B Recimo da želimo odrediti progib u sredini raspona: Φ2 Φ1 1. Elastična linija

  46. q= M + - Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. B A θB a b L M B a/3 L/3 1. Elastična linija

  47. q= M + - Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. B A θA a b L M A a/3 L/3 1. Elastična linija

  48. q= M + - Promatrajmo gredu s koncentriranom silom: F E·Iz = konst. B A w a b L M A B L/2 a/3 L/3 1. Elastična linija

  49. Promatrajmo gredu s koncentriranom silom u sredini raspona: F E·Iz = konst. B A L/2 L/2 1. Elastična linija

  50. Ako na nosaču imamo više sila, tada ćemo progib i kut nagiba tangente odrediti primjenom principa superpozicije: F1 Fi Fn E·Iz = konst. an a1 ai L/2 L/2 wL/2=? 1. Elastična linija

More Related