Frågor från förra gången

2. Frågor från förra gången • ?

3. Inledning matematiska modeller • Kan användas för att analysera mätningar – ofta en typ av kurvanpassning- innebär ofta en förenkling • Kan användas för att förutsäga resultatet • Kan innehålla tekniska eller fysikaliska resonemang eller vara helt empiriska • Empirisk = är erfarenheter som inte grundar sig på resonemang eller liknande, utan på verkliga erfarenheter, undersökningar och experiment.

4. Modell förenkling Mätdata/resultat analys verifikation Matematiska slutsatser förklaring/uttolkning Förutsägelser Inledning matematiska modeller

5. Inledning matematiska modeller No exponential is forever ... but we can delay forever Gordon Moore, Intels grundare ftp://download.intel.com/research/silicon/Gordon_Moore_ISSCC_021003.pdf ftp://download.intel.com/research/silicon/Gordon_Moore_ISSCC_021003.pdf

6. Lagar och formler • Vi utgår ifrån matematiska samband av typen A = BCoch diskturerar om de är approximativa eller helt ’sanna’ • Visar med exempel att det finns många andra situationer mellan ytterligheterna

7. Lagar och formler

8. Lagar och formler • Som exempel på approximation ges friktionslagen, sambandet mellan friktion- och normalkraften på formen: • Oberoende av ex.vis kontaktarean, föremålets massa och med en konstant som inte kan variera

9. Lagar och formler • Som exempel på approximation mha serieutveckling ges Ohms lag: • Men på formen: • +

10. Lagar och formler • Som exempel på approximation mha serieutveckling ges Ohms lag: • Men på formen: • + • Här finns en definition av resistansen:

11. Lagar och formler • Hookes lag är god approximation inom vissa gränser http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes_lag

12. Lagar och formler • Newtons rörelseekvation är en naturlag • Kan kombineras med en relativistisk massa på följande sätt http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes_lag

13. Lagar och formler • Definiera ett begrepp av typen ’våglängd ’ se boken för exakt formulering • Abstrakt begrepp kan man definiera med matematiska samband • Sambandet mellan frekvens och våglängd för en idealiserad våg är ett exempel på detta http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes_lag

14. Lagar och formler • När storheter definieras genom en matematisk relation är relationen givetvis alltid sann • Vi jobbade med sådana definitioner i avsnittet om SI-enheterna • Ex: trycket p ges av kraften F jämnt fördelad över arean A http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes_lag

15. Modeller och problemslösningsmetodik • Har två viktiga extremfall • Modeller där: • Den fysikaliska principen bakom ett fenomen är viktigast • Där vi söker ett numeriskt svar med rimlig noggrannhet

16. Volym-Area förhållande • Exempel på kroppstemperatur/avkylning kan diskuteras genom undersök volym-area förhållande för en sfär • Area=? • Volymen=? jgjfgj

17. Volym-Area förhållande • Exempel på kroppstemperatur/avkylning kan diskuteras genom undersök volym-area förhållande för en sfär • Area=? • Volymen=?

18. Robusta modeller • Börjar med en definition: • ”En modell vars slutsatser inte beror känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust” • Illustreras med en modell för golfklubba och golfboll • Ska undersöka dessa ekvationer… • Hur? Prova värden eller göra grafer i MATLAB!

19. Robusta modeller • Undersök ekvation av typen: • Ändring i M +/- 10 % ger ändring i v med mindre än 1,5%

20. Robusta modeller Den inre resistansen hos ett batteri kan mätas upp med hjälp av en voltmeter och en känd yttre resistans : Där är batteriets polspänning uppmätt utan yttre resistansen och där är det uppmätta spänningsvärdet över en given yttre resistans. Undersök om detta uttryck är robust. Enligt Grimvall är detta definierat som att: ”En modell vars slutsatser inte beror känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust” Polspänningen har bestämts till 1,608 V. Använd värden från Tabell 2 för att göra uträkningar som motiverar ditt svar!

21. Robusta modeller Tabell 2. Uppmätta spänningar för olika yttreresistanser Genom beräkningen av medelvärden och variation kring dessa för de två olika yttre motstånden konstaterar man att modellekvationen inte är robust, se tabellen nedan. En variation på mindre än 0,1% i den uppmätta spänningen för motståndet 98,2  motsvaras av en variation på så mycket som 10% i den inre resistansen om man bestämmer den på detta sätt. För det andra motståndet är modellekvationen mer robust ty där motsvaras ungefär samma variation i Ri (12-13 %) av en större variation i UV (0,2 %).

22. Moores lag – exponentiell tillväxt (Grimvall 10.4)

23. Moores lag – exponentiell tillväxt

24. Tillväxt i population 2 generationer och båda har drabbats av samma virus

25. Tillväxt i population • Frågeställning, ökning, minskning eller jämnvikt? • I fallet med konstant befolkning är modellen enkel - 2 barn per kvinna krävs i ett I-land • För virus är både sjukdomen och antalet bärare intressanta för att spridning ska kunna ske

26. Modeller • Modeller sominnehållerettmåttpåförändringkallasdynamiska • Matematisktskrivs de somdifferensekvationereller system avderivator • Modeller kaninnehållabarakändaparametrarsominteändrar sig • Eller en vissslumpmässighet, kallasoftastokastiska processer

27. Ytterligheterna • Välkända lagar och konstanter tex elektonernas rörelse kring atomkärnan eller planeternas bana kring solen • Kaotiska icke-linjära dynamiska system tex väderrapporter och klimatmodeller • En liten slumpmässig förändring ger upphov till en kraftig reaktion

28. Exempel på kaosteori • Den amerikanskemeteorologen Edward Lorenz är en avkaosteorinspionjärer. Han harmyntatbegreppet "fjärilseffekten". En fjärilsvingslagiBrasilienkanvålla en tornado i Texas, sa Edward Lorenz i en föreläsning en gång. Formuleringenharblivitberömd. Den mikroskopiska vibration iluftensomfjärilensvingslagvållarförstärksav de kaotiskakrafterna, ochkanfådrastiskaföljderpånågonheltannan plats påjorden. Förloppetberorintepånågramystiskafenomen. Detföljerstriktfysikenskändalagar. Men vi kanintehållaredapåalladiminutivadallringariluften. Världenär full avfjärilar. Därförärvädretoförutsägbart.

29. Sammanfattning • Kap 8 – se bilden • Kap 9 – begreppet robust modell • Ur kapitel 10 - Tillväxtexempel av typen Moore’s lag

30. Nästaföreläsning F11 Torsdag 29/9 • Problemlösningar med datorer (läskapitel 1 i MATLAB bokensomanknyter till dagens material! • Sedan fortsätter vi med kurvanpassningenligt MATLAB kap 8.1-3, dettamotsvararGrimvallskapitel 10.1-3 men med en merpraktisk approach

31. Peer-instruction • Beskriv de fyra kurvorna, vad finns på axlarna vad händer vid variationer • Vad kan detta motsvara i verkligheten?

32. Diskussionuppgift på KTH Social • Efter denna vecka kommer de flesta USB loggers att vara lediga. • Ge förslag på vad mer man skulle kunna logga över en längre tid.

33. Räntetillväxt • Växersnabbtärexempelpåexponentielltillväxt • Intesåintressant rent matematisktellerför en ingenjör • Exempel en skuldsomväxer med räntan 10% = 1.1 x förvarjetidsintervall

34. En enkel ekvation • Kan skrivauppekvationen • Om räntan r=1.1 så • Dettabetyderobgränsadtillväxt • Finns andra fall för SAMMA ekvation

35. Räntetillväxt • Viktigt fall när tillväxt och avtagande konkurerrar! • Ändra ekvationen lite genom att lägga till ‘b’ som kan vara ett positivt eller negativt tal:

36. Matlab kod a0=0.1; antal=50 a(1)=a0; r=0.5; b=0.1; for n=1:1:antal a(n+1)=a(n)*r+b; end

37. Resultat • Exemplet visar att man når jämnvikt oberoende av var man startar • Varför? |r| < 1

38. Räntetillväxt • Vadhänderdåför |r| >1 • Bara meningsfulltför b negativtannarstillväxt • Tag r=1.01 och b=-1000 • Provaolikastartvärden • 90000, 100000, 110000

39. Resultat • Avbetalningen måste vara tillräckligt stor för en viss ränta och storlek på skulden • Mycket KÄNSLIGT för var man startar!

40. r=1 Värdet ändras inte bara en linje |r|<1 Stabil jämvikt |r|>1 Instabil jämvikt Sammanfattning

41. Exempel på tillväxt

42. Exempel på tillväxt