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Elementarzelle

Elementarzelle. Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen). C. A. B. c. b. b. a. g. a. Gitterparameter. Kantenlängen a, b, c Winkel a, b, g. Kristallsysteme. Triklin: a≠b≠c,  ≠  ≠  Monoklin: a≠b≠c, ==90° ≠  (Ortho)rhombisch: a≠b≠c, ===90°

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Presentation Transcript

  1. Elementarzelle Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)

  2. C A B c b b a g a Gitterparameter Kantenlängen a, b, c Winkel a, b, g

  3. Kristallsysteme Triklin: a≠b≠c, ≠≠ Monoklin: a≠b≠c, ==90°≠  (Ortho)rhombisch: a≠b≠c, ===90° Tetragonal: a=b≠c, ===90° Hexagonal: a=b≠c, ==90°, =120° Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, ==≠90° Kubisch: a=b=c, ===90° 7 (6) Kristallsysteme rhomboedrische Elementarzelle kann man auch in hexagonalen Achsen beschreiben

  4. Anzahl der Atome (Moleküle) in einer Elementarzelle N … Anzahl der Atome (Moleküle) in der Elementarzelle M … Masse aller Atome in der Elementarzelle m … Masse eines Moleküls  … Dichte des Materials V … Volumen der Elementarzelle au … atomare Masseneinheit (1,66.10-27 kg) Zi … Atommasse in AME (au) 1/8 1/4 1/2 1

  5. Anzahl der Atome in einer Elementarzelle – Beispiele Fulleren (C60) Kubisch a = 14,17 Å  = 1,68 g/cm³ V = a³ V = 2845,2.10-24 cm³ Zi = 12 N = 240 Zi = 720 N = 4 Diamant (C) Kubisch a = 3,57 Å  = 3,51 g/cm³ V = a³ V = 45,5.10-24 cm³ Zi = 12 N = 8 Graphit (C) Hexagonal a = 2,46 Å c = 6,70 Å  = 2,25 g/cm³ V = a²c sin120° V = 35,1.10-24 cm³ Zi = 12 N = 4

  6. Kristallformen von Kohlenstoff Fulleren Diamant Graphit

  7. Anzahl der Moleküle in einer Elementarzelle Steinsalz (NaCl) Kubisch a = 5,62 Å  = 2,15 g/cm³ V = a³ V = 177,5.10-24 cm³ Zi = 23,0+35,5 = 58,5 N = 4

  8. Drehachse Grundsymmetrieoperationen nt cos aa axis -1 180 2 -0.5 120 3 0 90 4 0.5 60 6 1 360 1 a a mt t t

  9. Das Penrose Parkett Eine ausgesprochen unerwartete Entdeckung begeisterte 1984 alle Festkörperphysiker und Kristallographen: Proben einer sehr schnell abgekühlten Aluminium-Mangan Legierung (Al_6 Mn) kristallisierten als kleine Ikosaeder und - noch schlimmer - zeigten ein Röntgenbeugungsbild mit fünfzähliger Symmetrie und ausgeprägten Maxima. Das bedeutete, dass die Atome in dieser Legierung irgendwie mit fünfzähliger (Rotations-) Symmetrie angeordnet sein mussten. Die genaue Anordnung der Atome ist auch heute noch nicht bekannt, aber es gibt ein sehr gutes Modell. In zwei Dimensionen ist das Modell verblüffend einfach und auch ästhetisch sehr ansprechend - das Penrose Parkett. A: 36° und 144° B: 72° und 108°

  10. Das Penrose Parkett – eine andere Variante

  11. Grundsymmetrieoperationen Inversionszentrum Spiegelebene Verschiebung

  12. Transformationen in der Kristallographie

  13. Identität (1) y Drehachse „1“ [x,y,z] x

  14. _Inversionszentrum (1) y [x,y,z] x [x’,y’,z’]

  15. Spiegelebene (m) y [x1’,y1’,z1’] [x,y,z] x [x2’,y2’,z2’]

  16. Drehachse y [x’,y’,z’] a [x,y,z] a1 x

  17. Drehachse Für die Drehachse entlang c Zähligkeit der Achse a=360°/n 2 180° 3 120° 4 90° 6 60°

  18. Kopplung der Symmetrieoperationen Drehachsen 1, 2, 3, 4, 6 + Spiegelebene senkrecht zu den Drehachsen + Inversion (Drehinversionsachsen) -1, -2, -3, -4, -6

  19. Kopplung der Symmetrieoperationen -1, -3 und -4 sind die einmaligen Symmetrieoperationen -2 und -6 sind es nicht, weil: -2 = m -6 = 3/m

  20. Kombination der Symmetrieoperationen Drehachsen mit senkrechter Spiegelebene

  21. Kombination / Kopplung der Symmetrieoperationen Tetraeder Oktaeder

  22. Kombinationen der Symmetrieoperationen Drehachsen mit parallelen Spiegelebene(n)

  23. Kombinationen der Symmetrieoperationen Kombination von Drehachsen

  24. Kombinationen der Symmetrieoperationen Kombination von Drehachsen und Spiegelebenen

  25. Kombinationen der Symmetrieoperationen Kombination der Drehspiegelachsen mit Drehachsen und Spiegelebenen

  26. Drehinversionsachsen _ _ _ _ _ ( 1, 2, 3, 4, 6) |1 0 0| 1 = |0 1 0| |0 0 1| _ |-1 0 0| 1 = | 0 -1 0| | 0 0 -1| _ |-1 0 0| 1.1 = | 0 -1 0| | 0 0 -1| |-1 0 0| 2 = | 0 -1 0| | 0 0 1| _ |1 0 0| 2.1 = |0 1 0| = m(x,y) |0 0 -1| |-1/2 -Ö3/2 0| 3 = |Ö3/2 -1/2 0| | 0 0 1| _ | 1/2 Ö3/2 0| 3.1 = |-Ö3/2 1/2 0| | 0 0 -1| _ | 0 1 0| 4.1 = |-1 0 0| | 0 0 -1| |0 -1 0| 4 = |1 0 0| |0 0 1| _ | -1/2 Ö3/2 0| 6.1 = | -Ö3/2 -1/2 0| | 0 0 -1| | 1/2 -Ö3/2 0| 6 = |Ö3/2 1/2 0| | 0 0 1|

  27. Kombinationen der Symmetrieoperationen Ergeben 32 Kristallklassen (Punktgruppen) System Triklin C1, Ci Monoklin Cs, C2, C2h Rhombisch C2v, V, Vh Tetragonal C4, C4h, C4v, D4, D4h, S4, Vd Hexagonal C6, C6h, C6v, D6, D6h Trigonal C3, C3i, C3v, D3, D3d, C3h, D3h Kubisch T, Th, Td, O, Oh

  28. Die Mindestsymmetrie in Kristallsystemen System Triklin Monoklin Rhombisch Tetragonal Hexagonal Trigonal Kubisch

  29. Symmetrieelemente in einem Würfel

  30. Die 32 Punktgruppen

  31. Die 32 Punktgruppen

  32. Gittertranslation • Zentrierte (Bravais) Gitter: • P [primitiv]: (x,y,z) • I [innenzentriert (raumzentriert)]: (x,y,z) + (1/2,1/2,1/2) • F [flächenzentriert]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2) • C [zentrierte C Fläche]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0) • R [rhomboedrisch]: (x,y,z) + (1/3,1/3,1/3), (2/3,2/3,2/3) • Gleitspiegelebenen • Spiegelung + Verschiebung entlang der a, b oder c Achse (a/2, …) • Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale (n = a/2+b/2, …) • Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale [Diamantverschiebung] (d = a/4+b/4, …) • Schraubenachsen : • 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65 – Drehachse + Verschiebung entlang der Schraubenachse

  33. Gittertranslation Gitter(sub)translation Erweiterte Notation für die Matrix der Symmetrieoperationen

  34. Bravais Gitter (Translationsgitter) Triklin: P Monoklin: P, I Orthorhombisch: P, I, F, C

  35. Bravais Gitter (Translationsgitter) Tetragonal: P, I Hexagonal: P, R Kubisch: P, I, F

  36. Kubisches Gitter Gefülltes Volumen: x = V (Atome) / V (Elementarzelle) Primitiv Raumzentriert Flächenzentriert

  37. Gleitspiegelebenen c b a Verschiebung entlang b T = b/2 Gleitspiegelebene (Verschiebung entlang b) + Spiegelebene

  38. Gleitspiegelebenen Mögliche Gleitspiegelebenen Typ der Verschiebung Symbol Translationsvektor entlang der a Achse a a/2 entlang der b Achse b b/2 entlang der c Achse c c/2 entlang der Diagonale n a/2+b/2, b/2+c/2, c/2+a/2 Diamantverschiebung d a/4+b/4,b/4+c/4,c/4+a/4

  39. Schraubenachse Kombination der Drehachse und der Gittertranslation entlang der jeweiligen Achse Bezeichnung: MN; M ist das Symbol für die Drehachse, N ist die Verschiebung in den 1/M-Einheiten des Gitterparameters c/2 c c/2

  40. Schraubenachsen 2, 21 3, 31, 32 4, 41, 42, 43 6, 61, 62, 63, 64, 65

  41. Symbole der Symmetrieelemente

  42. Kombination der Symmetrieoperationen Kombination von Drehachsen + Inversion + Spiegelebenen ergibt 32 Punktgruppen (Kristallklassen) Kombination von Drehachsen + Inversion + Spiegelebenen + Zentrierung + Gleitspiegelebenen + Schraubenachsen ergibt 230 Raumgruppen Zu finden in: International Tables for X-ray Crystallography, Vol. A

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