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Conceitos Básicos. Lógica. A lógica é usada em Informática para desenvolver linguagens que modelam situações e que fornecem mecanismos para raciocinar sobre essas situações de modo a que se possa garantir que os resultados obtidos estão correctos.
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Lógica • A lógica é usada em Informática para desenvolver linguagens que modelam situações e que fornecem mecanismos para raciocinar sobre essas situações de modo a que se possa garantir que os resultados obtidos estão correctos. • Definição de lógica no contexto desta cadeira: ramo do conhecimento que aborda a analise de argumentos, ou a analise dos métodos para distinguir argumentos validos de argumentos inválidos.
Proposições • Frases declarativas que fazem afirmações sobre algo • Exemplos • Sócrates é homem. • Todas as aves têm penas. • Todos os homens são mortais. • 2 e 3 são divisores de 6. • Contra-exemplos • O que é um dinossauro? • Diga qual é o seu nome. • Could you please pass me the salt?
Premissas e conclusões • Objectivo da lógica: geração de raciocínio correcto. • Input = premissas: conjunto de frases declarativas que se assume serem verdadeiras. • Output = conclusões: conjunto de outras frases, geradas a partir das premissas, que são verdadeiras nessa situação. • Argumento - é um par (premissas,conclusão) também representado por (,). • Inferência - é o processo de geração de conclusões a partir de premissas.
Argumentos • Representação de um argumento: • Em linguagem corrente as premissas e a conclusão são relacionadas com palavras como então portanto logo • Em lógica podem ser usadas duas representações alterativas: • ({todos os Homens são mortais, Sócrates é um homem}, Sócrates é mortal) • todos os Homens são mortais Sócrates é um homem Sócrates é mortal
Argumentos válidos e inválidos • Diz-se que • Um argumento (,) é valido ou que • implica logicamente ou, ainda, que • é uma consequência lógica de sse for logicamente impossível ter todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. • Caso contrario o argumento é inválido.
Validade/Invalidade vs Verdade/Falsidade • Validade/Invalidade são atributos de argumentos • Verdade/Falsidade são atributos de proposições • Validade/Invalidade de um argumento é independente dos conteúdos das proposições • Validade/Invalidade de um argumento depende apenas da existência de uma relação entre os valores lógicos (verdadeiros ou falsos) das premissas e da conclusão
Princípio da irrelevância do valor lógico Princípio da irrelevância do valor lógico: Excepto no caso em que as premissas são todas verdadeiras e a conclusão e falsa, a verdade/falsidade das proposicões que constituem um argumento não é relevante para determinar a validade/invalidade do argumento.
Forma dos argumentos A forma de um argumento é estudada independentemente do domínio: as partes das proposicões são substituídas por símbolos associados à categoria gramatical (nome proprio, substantivo, adjectivo). Por exemplo o argumento: Bobi é um animal todos os cães são animais Bobi não é cão nem todos os animais são cães tem a forma: A é um B todo o C é B A não é C nem todos os B são C em que A é um nome próprio e B e C são substantivos
Forma dos argumentos (cont.) Por exemplo os dois argumentos: Piupiu é uma ave TESTE é um nome em Java nenhuma ave tem barbatanas nenhum nome em Java contém o caracter % Piupiu não tem barbatanas TESTE não contém o caracter % têm a mesma forma: A é um B nenhum B tem C A não tem C em que A e um nome próprio e B e C são substantivos Princípio da forma: se dois argumentos têm a mesma forma então são ambos válidos ou ambos inválidos.
Sistema Formal • A lógica é um sistema formal porque estuda argumentos do ponto de vista da forma. • A lógica utiliza símbolos para descrever em termos lógicos os objectos que são comuns a formas de argumentos. • Por exemplo a forma: A é um B nenhum B tem C A não tem C • pode ser apresentada de um modo mais compacto como: B(A) x [B(x) C(x)] C(A) em que todos é representado por , implica por e não por
Metodologia para determinar validade/invalidade (cont.) • Embora um argumento seja sempre válido ou inválido, a sua validade ou invalidade pode ser desconhecida. Por exemplo o último teorema de Fermat foi formulado no sec. XVII mas só foi provado em 1993. ({axiomas da aritmética}, para n > 2, não existem inteiros x, y e z tais que zn = xn + yn)
Componentes de uma lógica • A linguagem de uma lógica é definida através de um conjunto de regras de formação que especificam as frases possíveis da lógica, denominadas formulas bem formadas (fbfs). • Seja L a linguagem que corresponde às fbfs. Logo, um argumento é um par (,) no qual L e L. • Podemos manipular as frases da linguagem a dois níveis diferentes: • A nível simbólico - sistema dedutivo: realização de operações de manipulação de símbolos que dão origem a sequências de frases que começam pelas premissas e tentam obter uma conclusão. • A nível do significado - sistema semântico: atribuição de significado/valor lógico às proposições de um argumento com o objectivo de avaliar validade/invalidade de um argumento.
Sistema dedutivo • Composto por um conjunto de regras para a manipulação de símbolos chamadas regras de inferência. Estas regras especificam como formar novas fbfs a partir das fbfs existentes. • Prova de um argumento (,): sequência finita de fbfs geradas a partir de de modo a obter , tal que cada fbf ou é uma premissa ou é o resultado da aplicação de uma regra de inferência a uma ou mais fbfs anteriores da prova. • Axioma: fbf que é aceite sem demonstração.
Derivação, demonstração e teoremas • Dado um argumento (,), é derivável a partir de , ou seja, sse existir uma sequência de regras de inferência que aplicadas às fbfs de (e às fbfs geradas a partir de ) produz . Por outras palavras, é derivável a partir de se existe uma prova de a partir de . • Se então o argumento (,) e demonstrável. • O conjunto de todas as fbfs deriváveis a partir de L corresponde à teoria gerada a partir de , ou seja, aos teoremas de (Th()).
Sistema semântico • Especifica as condições sob as quais as proposições são verdadeiras ou falsas • Uma interpretação permite determinar os valores lógicos das proposições • Dado um argumento (,), se não existe nenhuma interpretação que torna todas as proposições em verdadeiras e falso, então diz-se que implica logicamente ou que é uma implicação lógica de , ou seja, . • Se então o argumento (,) é válido.
Sistema dedutivo e sistema semântico • Solidez (ou coerência) de uma lógica: qualquer argumento demonstrável (pelo sistema dedutivo) é válido (de acordo com a semântica). • Completude de uma lógica: qualquer argumento válido (de acordo com a semântica) e demonstrável (pelo sistema dedutivo). Os conceitos de solidez e completude estabelecem uma relação entre o sistema dedutivo e a semântica. Numa lógica sólida e completa os conceitos de derivabilidade e validade são equivalentes.
