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  1. MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA AS CONTRIBUIÇÕES DA ETNOMODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DA GEOMETRIA ESPACIAL Prof. GISELI VERGINIA SONEGO Orientador: Profª. Drª. ELENI BISOGNIN Link para a dissertação (PDF): http://sites.unifra.br/Portals/13/Resumos_Dissertacoes/dissertacao_giseli_sonego.pdf

  2. Neste trabalho, o propósito é utilizar a metodologia da Modelagem Matemática, desenvolvendo conceitos relacionados com Geometria Espacial, enquanto é explorado o tema plantio do arroz. Sendo assim, procurou-se fazer uma conexão entre a Modelagem Matemática e a Etnomatemática, pelo fato de trabalhar essa disciplina utilizando conhecimentos relacionados com as atividades econômicas e culturais da comunidade.

  3. As atividades foram desenvolvidas com 27 alunos da 3ª série do Ensino Médio, da Escola Estadual de Educação Básica João XXIII, na cidade de São João do Polêsine, no Rio Grande do Sul. Para o desenvolvimento das atividades, utilizaram-se como referencial as etapas da Modelagem sugeridas por Bassanezi (2002),que norteiam o trabalho proposto para os encaminhamentos em sala de aula.

  4. ATIVIDADES DE EXPLORAÇÃO DO TEMA Foi solicitado aos 27 alunos que se dividissem em cinco grupos para efetuar o levantamento de dados sobre o tema escolhido. Devido a amplitude do tema, a professora dividiu-o em partes, e cada grupo ficou responsável por pesquisar um desses assuntos, a saber: financiamento de implementos agrícolas para o plantio ou colheita de arroz; plantação, colheita e processo de beneficiamento; secagem e armazenamento; transporte e comercialização; e planejamento de uma lavoura de arroz. Essa etapa da Modelagem, que é a exploração do tema, teve o objetivo de capturar informações e envolver os alunos, para que se familiarizassem com o assunto.

  5. A obtenção de dados foi realizada em jornais, revistas especializadas ligadas à área, livros, internet, visitas à cooperativa de beneficiamento de arroz e fábrica de implementos agrícolas, ambas localizadas no município, conversas informais com profissionais da área, entrevista com o gerente do Banco do Brasil e SICREDI (Sistema de Crédito Cooperativo) e entrevista com profissionais da EMATER e Secretaria da Agricultura.

  6. Visita à fabrica de implementos agrícolas

  7. Visita à cooperativa Visita ao engenho de arroz

  8. Encontro para orientação

  9. LEVANTAMENTO E RESOLUÇÃO DAS SITUAÇÕES-PROBLEMA RELACIONADAS AO TEMA As atividades e as situações-problema descritas abordam principalmente os conceitos de áreas e volumes dos principais sólidos geométricos como prisma, cilindro, pirâmide e cone, estudados no 3º ano do Ensino Médio.

  10. SITUAÇÃO-PROBLEMA 1: Se um reboque tem 4,5 m de comprimento, 2,2 m de largura e 70 cm de altura, quanta madeira é necessária para construí-lo? Aluno: - Devemos saber quanta madeira é necessária para a base e para as laterais. A professora desenhou no quadro um reboque, desta forma:

  11. 2,2 m 0,7m Representação de um reboque A professora aproveitou para chamar atenção sobre a unidade de medida, que deve sempre ser a mesma, portanto as medidas foram expressas em metros. Professora: - Para saber quanto de madeira necessitamos, devemos calcular o quê? Um aluno, disse: - A área da superfície total, menos a tampa. Professora: - É isso mesmo. Então, vamos imaginar um reboque aberto ( com as guardas laterais abertas), isto é, planificar o reboque: Planificação do reboque 4,5 m

  12. Professora: - Como é cada parte do reboque? Aluno: - Um retângulo. Professora: - Então, como podemos calcular a área total? Aluno: - Devemos calcular a área de cada retângulo e somar. Conhecendo as medidas das arestas, os alunos efetuaram o cálculo. Cálculo realizado por um grupo de alunos.

  13. SITUAÇÃO-PROBLEMA 2: Um dos alunos informou que o reboque de seu pai havia estragado e para usá-lo na colheita do arroz ele teve a idéia de colocar uma ripa (travessa) de madeira para ficar firme, por isso já desenhou o reboque com a travessa mostrado no desenho. A professora indagou porque ele colocou a ripa atravessada. Qual a medida (comprimento) dessa ripa? Desenho feito por um grupo de alunos.

  14. Divididos em grupos, os alunos foram desafiados a resolver o problema. A posição da ripa gerou discussão nos grupos e a professora aproveitou o momento para comentar sobre a rigidez do triângulo, que é a única figura rígida do plano. A forma triangular dá melhor firmeza à estrutura, evitando que se deforme com a ação do tempo, por isso nas porteiras e nas construções de casas, por exemplo, usa-se o triângulo nas estruturas. Professora: - Então onde é melhor o agricultor colocar a ripa para o reboque ficar firme? Eles responderam: - Atravessada. Professora: - Então vamos tentar ilustrar a questão. Ilustração da diagonal da face de um reboque.

  15. Professora: - Como vamos calcular o comprimento da ripa? Eles responderam: - Pitágoras. A professora continuou dizendo: - Vejam no sólido de acrílico, nessa face, a linha (como se fosse a ripa) atravessa a face e une dois vértices não consecutivos. Isso se chama diagonal da face. Ela divide a face, que é retangular, em dois triângulos retângulos, então a linha (no nosso exemplo, a ripa) é a hipotenusa. Diagonal da face do paralelepípedo

  16. Com essa explicação, os alunos calcularam o comprimento da diagonal utilizando o Teorema de Pitágoras. Representando por d a diagonal da face, os alunos obtiveram:

  17. Eles verificaram que a travessa deveria medir aproximadamente 5 m. Além da travessa na base, a professora chamou a atenção para o fato de que o pai do aluno havia colocado uma travessa unindo dois vértices não consecutivos. O esboço do reboque mostra a travessa colocada. Ilustração das diagonais do reboque.

  18. Professora: - Que tamanho tem essa ripa? Professora: - Como já calculamos a diagonal da face, essa outra ripa se chama diagonal do sólido ou do reboque no caso. A professora também mostrou, nos paralelepípedos de acrílico, que a diagonal da face, a altura e a diagonal do sólido formam um triângulo retângulo. Sólidos de acrílico mostrando as diagonais.

  19. Não foi difícil aos alunos concluírem que poderiam usar o Teorema de Pitágoras novamente. Indicaram a diagonal (ripa) por D e fizeram o cálculo obtendo. Isto é, o comprimento da ripa é de aproximadamente 5 m.

  20. A professora indagou aos alunos como calcular a diagonal no caso de um cubo. Foi representado no quadro a diagonal do cubo, e a professora lembrou que, nesse caso, as arestas do cubo têm o mesmo comprimento. Representação do cubo com as diagonais. O comprimento da aresta foi indicado por “a”, e a diagonal da base foi calculada usando o Teorema de Pitágoras.

  21. Para determinar o modelo matemático que representa a medida da diagonal do cubo, utilizou-se a diagonal da base.

  22. SITUAÇÃO-PROBLEMA 3: Aluno: - Quanto de arroz cabe nesse reboque? Para responder a questão foi necessário retomar o conceito de volume. Inicialmente, a professora desenhou, no quadro, um cubo cuja aresta media 1 cm e salientou que a área da base desse cubo era de 1 cm2 e o volume era de 1 cm3. Em seguida, desenhou um paralelepípedo formado por 24 cubinhos de 1 cm de aresta, portanto o volume do paralelepípedo composto de 24 cubinhos mede 24 cm3. Paralelepípedocom 24 cubos

  23. Retomada a idéia de volume com material concreto, a professora concluiu, junto com os alunos, que, para se obter o volume do paralelepípedo, basta multiplicar a medida da área da base pela medida da altura. Assim: V = Ab x h em que Ab é a área da base e h é a altura do paralelepípedo. Depois de os alunos terem compreendido a maneira de calcular volume, voltou-se à questão inicial, que era saber qual o volume de arroz que comporta um reboque com 4,5 m de comprimento, 2,2 m de largura e 70 cm de altura. Modelo real:

  24. Conhecidas as dimensões de um reboque, que se assemelha a um paralelepípedo, os alunos obtiveram seu volume: V = 4,5 x 2,2 x 0,7 = 6,93 m3 A professora indagou qual é a unidade mais utilizada para medir a quantidade de arroz. Alguns alunos responderam que era okg e que outra unidade muito utilizada pelos agricultores era a saca de 50 kg. Professora: - Que relação há entre o metro cúbico e o quilograma? Os alunos começaram a discutir sobre a transformação de unidades até que um deles salientou que um decímetro cúbico era equivalente a 1 kg, assim, por meio dessa equivalência, poderiam saber quantos kg de arroz o reboque comportava.

  25. Alguns alunos, em grupos, discutiram a situação e indicaram: Alunos: - Em 1m3 cabem 600 kg de arroz com casca. Professora: - Como vocês chegaram a essa conclusão? Os alunos responderam que sabiam que 1m3 equivalia a 12 sacos de arroz com casca e cada saco de arroz pesava 50 kg, então 1m3 equivalia a 600 kg. Como o volume do reboque é de 6, 93 m3, os alunos concluíram que poderiam colocar, 6,93 x 600 = 4158 kg nesse reboque.

  26. Para calcular o número de sacas, eles dividiram o total de quilogramas por 50, obtendo 83 sacas. Portanto, nesse reboque cabem 83 sacas de arroz de 50 quilogramas. As discussões com a participação dos alunos, que surgiram nessa aula, foram muito interessantes. Eles chegaram à conclusão de que a relação que eles conheciam para transformar unidades e volume, capacidade e massa tinha uma aplicabilidade. Como alguns alunos são agricultores, eles mesmos validaram essa questão, afirmando que num reboque cabem aproximadamente 83 sacas de arroz de 50 kg. A partir dessa questão, pôde-se descobrir o peso específico do arroz com casca, que é de 600 kg/m3, ou seja, 0,6 t/ m3. Esse valor foi confirmado na fábrica de máquinas agrícolas visitada e na Internet.

  27. Tendo determinado o volume do paralelepípedo, foi trabalhado, com auxílio do material concreto, o cálculo do volume dos demais prismas. Para a dedução do cálculo, a professora utilizou o Princípio de Cavalieri. Essa experiência foi feita no laboratório. A professora pegou um prisma de base quadrangular e encheu-o de água, em seguida pegou outro prisma de base triangular, com mesma área da base do anterior e transferiu a água contida para esse prisma. A seguir, a professora repetiu esse processo com diversos prismas e também com cilindros de mesma área da base e mesma altura. Verificou-se que a água encheu totalmente todos os prismas e cilindros nessas condições, com isso, concluiu-se que o volume dos prismas e do cilindro de mesma base e mesma altura são iguais.

  28. Através dessa experiência, os alunos constataram que o volume de qualquer prisma ou cilindro que possui a mesma área da base e mesma altura são equivalentes. Como os alunos já haviam compreendido anteriormente que o cálculo do volume do paralelepípedo se obtém pelo produto da área da base pela altura, verificaram que, para os demais prismas e cilindros, o cálculo é realizado da mesma maneira, ou seja, V = Ab . h. Um aluno fez um comentário sobre a forma como seu pai armazena o arroz. Com isso, surgiu a seguinte situação originando o problema 4.

  29. SITUAÇÃO- PROBLEMA 4: Aluno: - Meu pai armazenou no galpão lá de casa, todo arroz que ele colheu. São mais ou menos 2.700 sacas, que foram colocadas em pilhas. Ele me perguntou se eu sabia calcular a largura da pilha para colocar todas as sacas. Professora: - Você conseguiu fazer esse cálculo? Aluno: - Eu tentei, medi o comprimento do galpão e calculei mais ou menos a altura. Ele tem 8 m de comprimento e 4 m de altura, mas não descobri a solução. A professora colocou o problema para toda a turma resolver, os alunos, em grupos, tentaram solucionar o problema. Consideraram inicialmente que 1m3 equivale a 12 sacas, portanto, como o agricultor havia colhido 2.700 sacas, eles concluíram que o volume era de 2.700/ 12, isto é, 225 m3. Conhecendo-se o volume e as dimensões do galpão, um grupo fez o seguinte cálculo.

  30. Cálculo realizado por um grupo de alunos. Concluíram que a pilha pode medir 7 metros. Um segundo grupo comparou o volume de 1 m3 com o número de sacos de arroz e também concluiu que a largura da pilha pode ser de 7 m.

  31. Cálculo realizado por um grupo de alunos. Resolvido esse problema, cada grupo analisou a pesquisa feita e buscou as formas dos implementos agrícolas encontrados. Cada grupo elaborou uma situação-problema:

  32. Na pesquisa realizada pelo grupo de alunos que planejou uma lavoura de 10 hectares, eles comentaram que o custo do cultivo de uma lavoura de arroz é muito alto, e um dos itens que encarece a produção é o combustível, pois é utilizado na plantação, aplicação de insumos, colheita e também no transporte do arroz. Uma maneira de os agricultores baixarem os custos de produção é estocar combustível em tonéis, então a maioria das famílias possui seus reservatórios de óleo (que normalmente tem a forma cilíndrica) como mostrado na figura a seguir. Reservatório de óleo. Um dos componentes do grupo colocou a seguinte questão:

  33. SITUAÇÃO- PROBLEMA 5: Aluno: - Lá em casa, meu pai tem um reservatório de óleo, que tem a forma de um cilindro. Ele possui 3 m de raio e 2 m de altura. É possível saber quantos litros de óleo esse reservatório comporta? Todos os alunos da classe buscaram uma solução para o problema. Essa era uma questão que interessava à maioria dos alunos, pois seus pais armazenavam óleo em reservatórios semelhantes. Primeiramente, eles desenharam um tonel, que tem a forma de um cilindro de 3 m de raio e 2 m de altura. – Desenho de um tonel de forma cilíndrica.

  34. A professora indagou aos alunos: Professora: - Como podemos calcular o volume do cilindro? Um aluno lembrou a experiência feita no laboratório e comentou que o volume do prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura do prisma.

  35. Nesse momento, a professora aproveitou para explicar que o volume do cilindro se calcula da mesma maneira que o volume do prisma, lembrando o Princípio de Cavalieri. Professora: - Como é a forma da base desse reservatório de óleo? Aluno: - É um círculo. Professora: - Como se calcula a área do círculo? Aluno: - Eu lembro que é лr2 . Professora: - Então como se calcula o volume do cilindro? Aluno: - Se o volume é calculado do mesmo modo do prisma, então o volume é a área da base multiplicada pela altura do tonel, V = лr2 h. Professora: - No nosso caso, temos um tonel de 3 m de raio e 2 m de altura. Se considerarmos л= 3,14 então o volume do tonel será:

  36. Professora: - Achamos o volume em metros cúbicos, mas o problema pede para calcular em litros. Como vamos fazer essa transformação? Um aluno respondeu: Aluno: - Vamos usar a relação: V = 56,52 m3 = 56520 dm3 = 56520 l Assim, chegaram à conclusão de que esse reservatório comportava 56.520 litros de óleo diesel. A questão seguinte, proposta por um dos alunos, foi apresentada ao restante da turma, utilizando-se os dados pesquisados pelo grupo.

  37. SITUAÇÃO- PROBLEMA 6: O pai de Daniel quer construir em seu galpão um reservatório de óleo diesel de forma cilíndrica com a capacidade de 5 mil litros e quer saber quanto metal é necessário. Ele informou que possui um espaço disponível no galpão de 5 m para colocar o reservatório deitado. O primeiro passo para solucionar o problema foi fazer um desenho representativo do reservatório. Os alunos representaram o reservatório na forma de um cilindro. Desenho do reservatório na forma de um cilindro.

  38. Para saber quanto material seria necessário para construir o reservatório, os alunos reportaram-se à situação já trabalhada referente à construção do reboque para o transporte do arroz. A professora orientou-os a planificar o cilindro. Cada grupo realizou a planificação. Planificação do cilindro feito por um grupo de alunos. Um aluno integrante do grupo, que pesquisou sobre este tema colocou que, se o volume do reservatório era de 5000 l, então, utilizando a equivalência, Para calcular o material necessário para a construção, a professora orientou os alunos para calcular a área de cada uma das partes da planificação.

  39. Base (círculo) Superfície lateral (retângulo) Base (círculo) Planificação de um cilindro. A professora explicou que, quando um cilindro é planificado, a lateral é um retângulo e, portanto, a sua área pode ser calculada multiplicando-se a medida da base pela medida da altura. Como a base do retângulo coincide com o comprimento da circunferência da base do cilindro, a área da base do cilindro é é o comprimento da circunferência, e h é a altura do cilindro.

  40. A superfície total é a soma da superfície lateral com as superfícies das bases. Assim: St = Sl + 2Sb Este é o modelo matemático que permite calcular a área da superfície de um cilindro.

  41. Com essas explicações, os alunos iniciaram a resolução do problema. Eles colocaram que a área do círculo era лr2, mas desconheciam o valor do raio. A professora lembrou que eles conheciam o volume do reservatório, e que o pai de Daniel dispunha somente de 5 m para colocar o tonel deitado, portanto, com essas informações, era possível calcular o raio. Foram muitas as tentativas, até que um aluno perguntou: - Professora, sabemos o volume, que é 5 m3. A altura é 5 m. Será que não dá para descobrir o valor do raio com esses dados?

  42. Professora: - Como você faria? Aluno: - Sei que o volume é a área da base multiplicado pela altura. Complementou ainda: - A área da base é л r2, e a altura é o espaço que o pai de Daniel dispõe porque ele vai colocar o tonel, que mede 5 m, deitado. Então, posso calcular o raio, assim: e, extraindo a raiz quadrada, o raio mede 0,56 m. O aluno fez o cálculo usando a calculadora. A descoberta do valor do raio fez com que os alunos calculassem a área da superfície. Professoras: agora podem calcular a área do círculo, é л . 0,318. Como temos dois círculos, a área é л . 0,318 . 2 = 1,96 m2. O problema é como calcular a área do retângulo.

  43. Nesse momento, a professora mostrou um cilindro formado por uma folha de papel e perguntou: - Quanto mede o lado do retângulo? Aluno: - Deve ser igual ao comprimento da circunferência. Professora: ­- E quanto mede o comprimento da circunferência? A professora recordou que o comprimento da circunferência é 2 л r, portanto a área do retângulo é A = 2 л. 0,56.5 = 17,5 m2

  44. Assim, o pai do Daniel precisava de 1,96 + 17,5 = 19,46 m2 de material para construir o reservatório de óleo. Os cálculos a seguir mostram como os alunos resolveram o problema: - Solução do problema obtida por um dos grupos.

  45. Um outro grupo apresentou solução semelhante. Solução do problema obtida por um dos grupos.

  46. A professora voltou a indagar: - Que outros implementos agrícolas, apresentados na exploração do tema, chamaram a atenção de vocês? Uma aluna respondeu que o graneleiro lhe havia chamado a atenção e uma outra menina disse que havia sido a moega. A moega, que é um reservatório para armazenar grãos, é muito utilizada pelos agricultores da região. Ela tem a forma de uma pirâmide invertida, construída embaixo da terra.

  47. Professora: - O graneleiro e a moega têm a mesma forma? Os alunos responderam que eram semelhantes e que lembravam uma pirâmide.

  48. SITUAÇÃO- PROBLEMA 7: As duas questões seguintes foram trazidas para a aula por um aluno e surgiram no momento em que seu pai precisava construir, em sua propriedade, um reservatório para armazenar arroz. Ele pediu a seu filho que o ajudasse a calcular, pois queria ter uma estimativa de quantos tijolos necessitava comprar e queria saber também quanto caberia de arroz nessa referida moega. Com as medidas fornecidas pelo pai do menino, a professora esboçou no quadro o desenho da moega. O paralelepípedo da parte de cima mede 3 m de comprimento, 3 m de largura e 0,4 m de altura. A altura total da moega é de 1,9 m.

  49. 0,4 m 1,9 m Desenho representativo da moega. A seguir são relatados qual o raciocínio utilizado pelos alunos para a resolução do problema e os questionamentos feitos pela professora aos alunos.

  50. Professora: - Para saber quantos tijolos são necessários, que cálculo devemos fazer? Um aluno respondeu: - Precisamos saber a superfície total. A professora indagou: - Que figura é essa? (Indicando a moega). Aluno: - Em cima é um prisma e em baixo é uma pirâmide. Professora: - E então como iremos calcular?