LUISS Corso di Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi a.a. 2009/10

1. LUISS Corso di Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi a.a. 2009/10 Integrazione numerica di equazioni differenziali - Prof.ssa G. Rotundo

2. Elenco degli argomenti Formule di integrazione numerica di EDO basati sulla formula di Taylor A. Metodo di Eulero 1. Analisi della qualità del metodo 2. Stima dell’errore globale di approssimazione a. Illustrazione tramite un esempio b. Stima (con dimostrazione) B. Alri metodi di ordine superiore: 1. Metodo di Eulero modificato 2. Metodo di Heun 3. Metodo di Runge-Kutta Formule per il calcolo di integrali Metodo dei rettangoli Metodo dei trapezi Metodo di Simpson 1/3 Corrispondenza tra metodi di calcolo numerico di EDO ed integrali Corrispondenza tra il metodo di Eulero (modificato) ed il metodo dei rettangoli Corrispondenza tra il metodo di Heun ed il metodo dei trapezi Modello preda-predatore Descrizione al modello Formalizzazione tramite un sistema di equazioni differenziali Linearizzazione Integrale primo, grafici di curve di livello e traiettorie.

3. Testi di riferimento MATLAB – manuale di riferimento R. A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana, ISBN 978 – 88 – 408 – 1390 -5 I. Capuzzo Dolcetta, M. Falcone, L’analisi al calcolatore, Zanichelli, ISBN 88 – 08 – 03904 - 8 J. Stoer, Introduzione all’analisi numerica, Zanichelli ed., 1974

4. 16 nov 09 Il problema di Cauchy Sotto opportune ipotesi è possibile dimostrare il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. N.B.: il teorema di esistenza ed unicità fornisce un risultato soltanto in merito ad esistenza ed unicità, ma non illustra alcun metodo per trovare la soluzione. Domanda: come trovare le soluzioni? Anche quando la soluzione esiste ed è unica può essere molto complesso, se non impossibile, determinare la sua espressione analitica. Diventa quindi estremamente importante conoscere alcuni metodi numerici per approssimare la soluzione.

5. Metodi numerici di integrazione di EDO Basati sulla formula di Taylor • Metodo di Eulero 1. Analisi della qualità del metodo 2. Stima dell’errore globale di approssimazione a. Illustrazione tramite un esempio b. Stima (con dimostrazione) B. Alri metodi di ordine superiore: 1. Metodo di Heun 2. Metodo di Eulero modificato 3. Metodo di Runge-Kutta

6. Il metodo di Eulero Leonhard Euler (1707-1783)

7. Il metodo di Eulero E’ il metodo più semplice. Per illustrarlo si parte dalla definizione di derivata: Per h abbastanza piccolo il rapporto incrementale è quasi uguale alla derivata: Sostituendo si ha che da cui

8. La relazione suggerisce di definire una soluzione approssimata a partire dalla successione definita per ricorrenza da Idea: fisso h e valuto l’espressione sull’insieme di punti La quantità h viene chiamata lunghezza del passo oppure passo dello schema di approssimazione

9. In corrispondenza a tksi può definire una successione di xk :

10. La funzione approssimante, lineare a tratti, può essere descritta, t: 0tT, dalla espressione: x2 x1 x0 t2 t0 t1 Interpretazione geometrica del metodo di Eulero: il punto successivo è ottenuto dal precedente spostandosi con pendenza fissata per un intervallo di ampiezza h. La pendenza è data dalla funzione f calcolata nel primo estremo di ciascun intervallo.

11. Esempio 1 Considero la seguente funzione: Si verifica che soddisfa una equazione differenziale, infatti: Quindi è soluzione della equazione differenziale: con

12. Grafico della soluzione x(t)=t2e della sua approssimazione tramite il metodo di Eulero Considero la condizione inizialet0=0.5 e x(0.5)=0.25; passoh=0.2:la generica iterazione col metodo di Eulero è: Problema: la successione approssimante (spezzata in nero con i punti evidenziati) si allontana ben presto dalla soluzione . E’ necessario dare una stima della bontà della approssimazione: Ricordando che: x’(t)=f(t,x(t))

13. Confronto con lo sviluppo di Taylor arrestato al I ordine Osservo che le due condizioni sono descritte per t=0 dallo sviluppo di Taylor: x’(t)=f(t,x(t)) da cui ricavo una stima dell’errore dell’approssimazione di x(h) tramite x(0)+hx’(0) : (*) Ammesso che esista

14. Considero la seguente funzione: Si verifica che soddisfa un problema di Cauchy: Esempio 2

15. Costruzione della approssimazione numerica della soluzione di Osservo che la variabile t non appare da sola, ma soltanto tramite x, quindi l’approssimazione di Eulero diventa: Osservo che la funzione f(.) è la funzione identica (restituisce l’argomento, immutato). Quindi l’approssimazione di Eulero diventa: Scrivo il primo punto che si ottiene tramite l’approssimazione con il metodo di Eulero: Scrivo i punti successivi che si ottengono applicando il metodo:

16. e le iterate approssimanti sono: Quindi la funzione soluzione del problema è: k t x(t) xk 0 0.00 1.00 1.00 1 0.40 1.49 1.40 2 0.80 2.23 1.96 3 1.20 3.32 2.74 4 1.60 4.95 3.84 Osservo che anche in questo caso la distanza (barre verticali in nero) della soluzione da quella approssimata aumenta al crescere di k.

17. Programma matlab eulero.m h=0.4; T=h*4; t=[0:h:T]; %t assume 5 valori: 0, 0.3, 0.6, 0.9, 0.12 %gli indici slittano di una unità per via della memorizzazione in MATLAB for i=1:1:length(t) xk(i)=(1+h)^(i-1); end x=exp(t); plot(t,x,'k',t,xk,'r+-');xlabel('t');ylabel('x(t)'); for i=1:1:length(t) fprintf(' %2d | %4.2f | %4.2f | %4.2f \n',i,i, t(i),x(i),xk(i)); end

18. Nota Da questo momento in poi consideriamo, per semplicità, il problema autonomo

19. Osservazione Il metodo di Eulero viene detto metodo ad un passo perché il calcolo del punto successivo dipende unicamente dal punto precedente. Un generico metodo ad un passo è definito da una successione per ricorrenza del tipo Il metodo di Eulero corrisponde ad una particolare scelta di :

20. Analisi della qualità del metodo L’errore di approssimazione è piccolo se h è piccolo? Voglio determinare • se l’errore di approssimazione è piccolo se h è piccolo (procedimento: (a) definisco una misura per l’errore e (b) dimostro che il limite è 0 per h0) 2. l’errore globale di approssimazione (devo esaminare cosa succede se itero l’approssimazione N volte ed N∞)

21. 1. (a)Misura della qualità di un metodo ad un passo Definisco l’errore locale di discretizzazione in x(0) : con

22. 1.(b) Dimostro che Svolgimento: utilizzo (*)

23. Osservazioni Poiché l’errore locale di discretizzazione è dello stesso ordine di h, per h 0, si dice che il metodo di Eulero è un metodo del primo ordine. La dimostrazione della convergenza non garantisce che la soluzione approssimata sia buona, vediamo un ulteriore esempio nel paragrafo che segue.

24. 2. Stima dell’errore globale di discretizzazione • Illustrazione del problema tramite un esempio: • dipendenza della qualità della approssimazione dal • numero di iterazioni. • (b) Stima dell’errore globale di discretizzazione: • dipendenza dall’ampiezza del passo.

25. 2.(a) Illustrazione del problema tramite un esempio Considero nuovamente il problema di Cauchy La funzione soluzione del problema è: e le iterate della approssimazione di Eulero sono: Voglio stimare l’errore, cioè la differenza tra la soluzione esatta e quella approssimata. Pongo t=hk, così stimo l’errore solo nei punti della successione tk . Devo semplificare questa espressione in modo da capirne facilmente l’andamento quando il numero k di passi aumenta (all’infinito).

26. Promemoria: Teorema di Lagrange Sia f continua in [a,b], derivabile in (a,b). Allora esiste un punto c in (a,b) tale che La dimostrazione fa uso del teorema di Rolle, che a sua volta fa uso del teorema di Weierstrass e sono riportati sul libro di matematica generale.

27. Usando il teorema di Lagrange Con a=klog(1+h) e b=kh Perché >0, quindi e >1 Si può dimostrare anche che:

28. Tramite l’esempio ho dimostrato che la qualità dell’approssimazione peggiora (la distanza tra soluzione esatta e soluzione approssimata va all’infinito) se il numero delle iterazioni aumenta. Un altro aspetto del problema riguarda la dipendenza della qualità della approssimazione dal passo h. Nel prossimo paragrafo dimostramo, in generale, che se il passo h diminuisce la qualità della approssimazione migliora.

29. 2.b Errore globale di discretizzazione Misura della qualità della approssimazione a tempi molto maggiori di quello in cui è data la condizione iniziale Definizione: l’errore globale della approssimazione è dato da:

30. 23 nov 09 Stima di E(h) per il metodo di Eulero Ipotesi ulteriori: f ed f ‘ limitate in R Fissato T e scelto h=T/N, N intero positivo fissato, vogliamo dimostrare che Tesi Osservazione 1: Questa stima dimostra che si può approssimare la soluzione esatta con la precisione desiderata su un intervallo [0,T] di ampiezza qualsiasi. Osservazione 2: con le ipotesi fatte la soluzione esiste in [0,+∞) Osservazione 3: la stima di questa disuguaglianza permette di dimostrare la convergenza a zero di |E(h)| per h0 Osservazione 4: se T è grande, h dovrà essere scelto molto piccolo se si vuole avere una buona approssimazione.

31. Dimostrazione Osservazione: se x è soluzione del PC-EDO, allora Caso particolare: Ponendo si ha dunque

32. Applicando il teorema di Lagrange e le ipotesi di limitatezza di f ed f ‘ si ha ora sommo e sottraggo la stessa quantità |dk-1| Vd pagina successiva

33. Osservazione: per t=(k-1)h+ e s=(k-1)h l’equazione Ipotesi di limitatezza diventa Pertanto Iterando questa relazione ‘all’indietro’ fino a k=0 e ricordando che d0=x(0)-y0=0 si trova:

34. Iterando questa relazione ‘all’indietro’ fino a k=0 e ricordando che d0=x(0)-y0=0 si trova: Scegliendo ora k=N e ricordando che h=T/N, osservando che (1+LT/N)N<eLT q.e.d

35. Metodi di ordine superiore basati sullo sviluppo di Taylor Vogliamo ora studiare dei metodi di approssimazione che, a parità di passo h, diano luogo a errori locali e globali di approssimazione più piccoli rispetto a quelli ottenuti per il metodo di Eulero. In particolare, ci occuperemo di vari metodi ad un passo di ordine p, intendendo con questo che Ovvero che l’errore locale tende a zero con la stessa rapidità di hpper h0 In tal caso si dice che l’errore locale è un infinitesimo di ordine p e(t,h)=O(hp)

36. Utilizzando lo sviluppo di Taylor è possibile costruire facilmente dei metodi ad un passo di ordine comunque elevato, a patto che f sia derivabile un numero sufficiente di volte. Supponiamo dunque che f sia dotata di (p-1) derivate continue. Il suo sviluppo di Taylor in un intorno di t è Da cui si ricava

37. Poiché x è soluzione del PC-EDO E così via. Possiamo cioè esprimere tutte le derivate di y in funzione di f e delle sue derivate calcolate nel punto y(t). Di conseguenza per avere un metodo di ordine 3, ad esempio, basterà definire E la successione come

38. Calcolo l’errore locale di discretizzazione in x(0) : Ricordo anche l’espansione in serie di Taylor Da cui quindi Sostituendo l’espressione di (x0,h):

39. Osservazioni • Questi metodi possono essere usati per definire metodi di approssimazione ad un passo di ordine comunque elevato. • I metodi ottenuti in questo modo richiedono la conoscenza di una formula esplicita di ciascuna delle derivate di f che compaiono in . • Siccome le derivate possono non essere facili, in alcuni casi si possono sostituire con i corrispondenti rapporti incrementali, ma questo appesantisce il calcolo.

40. Altri metodi di ordine superiore Obbiettivo: Ottenere metodi che abbiano ordine di convergenza elevato senza complicare troppo la trattazione. Descriviamo la costruzione di alcuni metodi ad un passo di ordine 2 aventi queste caratteristiche.

41. Ipotesi:  derivabile due volte Per ottenere un metodo di ordine due basterà allora scegliere in modo tale che per ogni x si abbia =0

42. Esempio Con A, B, C parametri non negativi da determinare. La condizione diventa Che è verificata se A, B, C soddisfano il sistema di equazioni

43. Possibili scelte per A, B, C Evidentemente le equazioni non determinano univocamente i parametri. A differenti soluzioni corrispondono differenti metodi ad un passo di ordine due. Metodo di Heun: A=1/2, B=1/2, C=1 Corrisponde ad utilizzare come pendenza la media delle pendenze all’inizio ed alla fine di ciascun intervallo della partizione su t. Metodo di Eulero modificato: A=0, B=1, C=1/2 Corrisponde ad utilizzare come pendenza la pendenza calcolata nel punto intermedio di ciascun intervallo della partizione.

44. Metodo di Runge-Kutta Si ottiene definendo Con Si può dimostrare che è un metodo ad un passo di ordine 4.

45. Osservazioni • Questi metodi hanno vantaggi rispetto a quelli basati sulla formula di Taylor. Per esempio si chiede solo che f abbia la derivata prima continua e sarà sufficiente calcolare f in un minor numero di punti. • Il risparmio del calcolo di f anche in un solo punto può portare ad un grande risparmio nel tempo di calcolo complessivo in applicazioni che necessitano di un elevato numero di iterazioni • Sotto l’ipotesi che f sia dotata di derivate continue e limitate si puo’ dimostrare che E(h)=O(h2) per i metodi di Heun ed Eulero modificato E(h)=O(h4) per il metodo di Runge-Kutta

46. Nota sui sistemi del primo ordine I metodi visti finora si estendono ad un sistema di N equazioni del primo ordine. Che in forma vettoriale diventa Lo spazio euclideo RNdove è assegnata la condizione iniziale e dove evolve la traiettoria x(t) prende il nome di spazio delle fasi

47. 30 nov 09 Metodi numerici per il calcolo approssimato di integrali • Metodo dei rettangoli • Metodo dei trapezi • Metodo di Simpson

48. Osservazione Nel caso in cui f(t,x(t)) dipende solo da t il problema di Cauchy corrispondente si riduce al calcolo di una particolare primitiva di f(t).

49. Obbiettivo: calcolare l’integrale di una funzione reale su [a,b] Strumenti noti da matematica generale: il teorema fondamentale del calcolo integrale ( teorema di Newton-Leibniz), che risolve il problema nel caso in cui f è continua ed è nota una primitiva di f, cioè una funzione derivabile tale che F’(t)=f(t) per ogni x: a<x<b. In tal caso vale la formula:

50. Perché cambiare metodo? L’applicabilità pratica di questo metodo analitico è limitata, infatti: • Esistono funzioni continue che si incontrano frequentemente nelle applicazioni dell’analisi matematica la cui primitiva non può essere espressa in termini di funzioni elementari ( per esempio sen(t)/t, 1/((1-t2)(1-k2t2))1/2, exp(-t2); • Il calcolo può essere complicato ( p.es. nel caso di integrazione di funzioni razionali fratte, che si basano sulla conoscenza di radici di polinomi).