歐拉路徑

1. 歐拉路徑

2. A C B D 七橋問題 • 坎尼斯堡(Königsberg)的一個城鎮普魯西亞(Prussia，現在是俄羅斯共和國的一部份)，被培瑞垓河(pregel river)與其支流切割成四個部份。在十八世紀的時候，有七座橋連通這四個區域，如下圖所示。 • 星期天時，城裡的人們想要在城裡散步。他們想知道，是否有可能從城裡的某地出發，經過所有的橋恰巧一次，然後又回到出發點？

3. 歐拉生平簡介 • 歐拉(Euler)瑞士數學家，貢獻遍及數學各領域，是數學史上最偉大的數學家之一。生於公元1707年4月15日。他的父親保羅．歐拉(Paul Euler)是一名加爾文教派的教師，但歐拉在大學求學期間在雅各．伯努利(Jacob Bernoulli)家住過並從雅各身上學了不少數學。 • 保羅希望歐拉讀神學，卻犯了最大的錯誤，在歐拉很小的時候便教他數學，挑動了他內心中的數學靈魂。而歐拉他最好的朋友就是大數學家約翰．伯努利( John Bernoulli，雅各的弟弟)。約翰說：「歐拉註定要成為大數學家，而非牧師。」最後保羅終於在約翰之勸說下同意歐拉攻讀數學。從此展開他燦爛的學術生涯，並成為數學史上最偉大的數學家之一。 • 歐拉對於數學的貢獻是全面性的，基本上我們可以稱他是一個百科全書型的數學家。「他是有史以來瑞士最多產的科學家，也是一個不可思議的數學幻想家，他在任何領域都能發現數學，在任何情況都能進行研究。…」

4. 歐拉一生都是在科學院度過。首先是在俄國的聖彼得堡科學院，1740年後則在柏林科學院待到59歲。由於與腓特列大帝相處的問題，離開柏林，接受凱薩琳女皇二世邀請再次前往聖彼得堡，一直到他過世（1783年）。科學院的工作讓他可以專心研究數學，全心全意地將整個生命投入，就好像牧師將生命奉獻給上帝一般。歐拉一生都是在科學院度過。首先是在俄國的聖彼得堡科學院，1740年後則在柏林科學院待到59歲。由於與腓特列大帝相處的問題，離開柏林，接受凱薩琳女皇二世邀請再次前往聖彼得堡，一直到他過世（1783年）。科學院的工作讓他可以專心研究數學，全心全意地將整個生命投入，就好像牧師將生命奉獻給上帝一般。 • 相對於牛頓的內向、退縮、神經質，歐拉則是樂觀且仁慈寬厚，甚至在1771年眼睛完全瞎掉，仍保有樂觀的性格，在幾乎完全失明之下，仍藉由口述給他的助理（實際上就是他的兒子），來繼續數學創作。（其中包括需要煩瑣計算之航海天文學的貢獻）在後續的17年間歐拉繼續發展著數學，如果說有什麼不同，那就是他比以前做得更多。他的智慧使他巧妙地把握各種概念和想法而無需將它們書寫在紙上，他非凡的記憶力，使他的頭腦有如一個堆滿知識的圖書館。

5. 歐拉、牛頓與萊布尼茲都是屬於新數學理論的開拓者，有人將歐拉、高斯、黎曼在數學的地位比喻為樂壇上的三B：巴哈、貝多芬、布拉姆斯，也有人將歐拉比擬為數學界的莎士比亞：歐拉、牛頓與萊布尼茲都是屬於新數學理論的開拓者，有人將歐拉、高斯、黎曼在數學的地位比喻為樂壇上的三B：巴哈、貝多芬、布拉姆斯，也有人將歐拉比擬為數學界的莎士比亞： 普世性、鉅細靡遺、取之不盡、用之不竭。 • Read Euler, read Euler, he is the master of us all. P.-S.de Laplace

6. A B C D • 瑞士數學家歐拉解決了這個問題。其解法發表於1739年，可能是第一個使用圖學理論解決的題目。歐拉利用到多重圖，以頂點代表四個區域，邊表示橋。此多重圖如下圖所示。 • 這個經過所有的橋恰巧一次的問題，透過圖學模型可以看成：在此多重圖中，是否存在一個包含所有邊的簡單環道？

7. 歐拉路徑與環道 • 定義： 一個圖形G的歐拉環道(Euler circuit)是個包含圖形G所有邊之簡單環道。 • 一個圖形G的歐拉路徑(Euler path)是個包含圖形G所有邊之簡單路徑。

8. 例：下面圖形中哪一個無向圖存在歐拉環道？沒有歐拉環道的圖形中，何者存在著歐拉路徑？ • 解： 圖形有尤拉環道，因此有尤拉路徑 圖形沒有尤拉環道，但有一個尤拉路徑 圖形既無尤拉環道，也沒有尤拉路徑

9. 歐拉環道和路徑的充分必要條件 • 定理：一個包含兩個頂點以上的連通多重圖中存在一個歐拉環道，若且唯若圖形之每個頂點的分支度數都是偶數。 • 定理：一個多重圖中存在歐拉路徑，但不存在歐拉環道，若且唯若圖形中只恰巧有兩個頂點的分支度是奇數的。

10. 例：下列圖形何者有歐拉路徑？ 4 4 2 2 2 3 3 3 3 2 4 存在一個歐拉路徑 存在一個歐拉路徑 3 3 3 3 6 3 3 沒有歐拉路徑

11. 一筆畫問題 • 試試看能不能用一筆畫畫出這樣的圖形？ A B

12. A • 這樣的圖形呢？ B

13. A B

14. A B

15. 能不能用一筆畫畫出這樣的圖形？ • 怎麼樣的圖才能一筆畫呢？

16. 漢米爾頓路徑

17. 漢米爾頓路徑與環道 • 定義：一個通過圖形G中所有頂點恰巧一次的簡單路徑，稱作漢米爾頓路徑(Hamilton path)；而一個通過圖形G中所有頂點恰巧一次的簡單環道，稱作漢米爾頓環道(Hamilton circuit)。 • 也就是說，圖形G = (V, E)中的簡單路徑x0, x1, …, xn1, xn是個漢米爾頓路徑，如果V = {x0, x1, …, xn1, xn}，且xixj， 0  i, j  n。 • 簡單環道x0, x1, …, xn1, xn, x0 (n > 0)是個漢米爾頓環道，如果x0, x1, …, xn1, xn是個漢米爾頓路徑。

18. 漢米爾頓環道這個數學名詞來自一個稱為Icosian Puzzle的遊戲，於西元1857年由愛爾蘭數學家威廉漢米爾頓爵士所發明。遊戲的道具是一個木製的十二面體，每個面都是個五邊形如右圖所示。在十二面體的二十個頂點上各有一個木釘，分別以世界上二十個城市命名。遊戲的方法是由任何一個城市出發，經由十二面體的邊逐次經過其他十九個城市，最後再回到出發點。

19. 由於無法提供每位讀者一個十二面體的木球，因此考慮下面是個等價的問題：在下面的圖形中，是否存在一個經過所有頂點恰巧一次的環道？因為此圖形同構於十二面體，所以解出此問題自然就能達到遊戲的目的。有色線條標示了一個漢米爾頓謎題的解法。由於無法提供每位讀者一個十二面體的木球，因此考慮下面是個等價的問題：在下面的圖形中，是否存在一個經過所有頂點恰巧一次的環道？因為此圖形同構於十二面體，所以解出此問題自然就能達到遊戲的目的。有色線條標示了一個漢米爾頓謎題的解法。

20. 例：下面所示的簡單圖形中，哪些有漢米爾頓環道？沒有漢米爾頓環道的圖形中是否存在漢米爾頓路徑？ a b a b a b g c e c d c e d f 不存在漢米爾頓環道(因為任何一個包含所有頂點的環道一定會經過邊{a, b}兩次)。但是存在漢米爾頓路徑 不存在漢米爾頓環道，也不存在漢米爾頓路徑(因為任何包含所有頂點的路徑一定會經過邊{a, b}、{e, f}或是{c, d}兩次)。 d 存在漢米爾頓環道

21. 是否有個簡易的方法來判定某個圖形中存在著漢米爾頓環道或是路徑呢？讓人很意外的是，至今還沒找出一個充分必要的判定準則。不過，還是有些定理提供我們決定漢米爾頓環道存在與否的充分條件。是否有個簡易的方法來判定某個圖形中存在著漢米爾頓環道或是路徑呢？讓人很意外的是，至今還沒找出一個充分必要的判定準則。不過，還是有些定理提供我們決定漢米爾頓環道存在與否的充分條件。 • 有些特殊的條件能用來證明圖形中不會存在漢米爾頓環道。 • 圖形中若有分支度為1的頂點就不會有漢米爾頓環道。因為在漢米爾頓環道中，任一個頂點都與兩個邊接合。 • 若存在一個分支度為2的頂點，則與此頂點鄰接的頂點必須都出現於漢米爾頓環道中。 • 當找出一個漢米爾頓環道時，若與某頂點接合的邊超過2，刪除環道使用之二邊並不會影響結果，而且一個漢米爾頓環道中不可能還存在著較小的環道。

22. 例：證明下面所示的圖形皆不存在漢米爾頓環道。例：證明下面所示的圖形皆不存在漢米爾頓環道。 • 解：圖G不存在漢米爾頓環道，因為它有個分支度為1的頂點e。就圖形H而言，頂點a、b、d和e的分支度都是2，所以每個接合這些頂點的邊都必須被使用在漢米爾頓環道中。如此一來，很明顯的不存在漢米爾頓環道，因為接合於頂點c的四個邊都被使用到了，而這是不可能的。

23. 例：當n  3時，證明Kn存在漢米爾頓環道。 • 解：我們能由Kn中任何一個頂點開始製造一個漢米爾頓環道。此環道能以任意選擇之頂點順序來進行。因為Kn中任意兩頂點都有邊相連結。

24. 雖然沒有可使用的充要條件來判斷漢米爾頓環道的存在與否。但是目前已找到了一些充份條件。雖然沒有可使用的充要條件來判斷漢米爾頓環道的存在與否。但是目前已找到了一些充份條件。 • 當圖形中的邊數愈多時，便愈有可能形成漢米爾頓環道。 • 對於已經存在漢米爾頓環道的圖形而言，增加邊（不增加頂點）所形成的新圖形中會存在相同的漢米爾頓環道。所以，有理由相信，當圖形增加新的邊於原有之頂點上時，漢米爾頓環道存在的可能性也會增加。 • 只要頂點的分支度相當大時，應該能找到判斷漢米爾頓環道存在的充分條件。 • 下面將陳述兩個非常重要的充分條件，分別由迪瑞克(Gabriel A. Dirac)和歐芮(Oystein Ore)於1952和1960年提出。

25. 迪瑞克定理 • 若G為包含n (n  3)個頂點的簡單圖，其中每個頂點的分支度都大於 n/2，則G中存在一個漢米爾頓環道。 • 歐芮定理 • 令G為包含n (n  3)個頂點的簡單圖。若任意不鄰接的頂點對u和v都使得deg(u) + deg(v)  n，則G中存在一個漢米爾頓環道。

26. 迪瑞克定理則可視為歐芮定理的推論，因為迪瑞克定理的條件必然使歐芮定理的假設成立。迪瑞克定理則可視為歐芮定理的推論，因為迪瑞克定理的條件必然使歐芮定理的假設成立。 • 此二定理都提供了漢米爾頓環道存在的充分條件，但都不為必要條件。 • 圖形C5中包含了一個漢米爾頓環道，但圖形並不滿足兩定理中的假設。 • 現今所知找出漢米爾頓環道或是判別漢米爾頓環道不存在的最佳演算法，其時間複雜度為頂點數目指數。若能找出時間複雜度為頂點的多項式將會是個巨大的突破，因為已經證明出此問題為NP複雜。

27. 漢米爾頓路徑和環道能用來解決某些特定的問題。漢米爾頓路徑和環道能用來解決某些特定的問題。 • 在許多應用中希望能知道是否能找到一個路徑或是環道經過城中每個交叉路口 • 否能找到一個路徑或是環道經過每個晶格圖的交點恰巧一次 • 否能找到一個路徑或是環道經過通訊網路中的節點恰巧一次 • 例如著名的推銷員問題(traveling salesman problem)便希望能為推銷員在一組城市中，找出造訪所有的城市的最短路徑。 • 這個問題能抽象化成：在較複雜的圖形（如權數圖）中，找出漢米爾頓環道，使得總權數越小愈好。

28. 最短路徑問題 2534 距離 4:05 1:50  紐約 722 1855 飛行時間  芝加哥 2:55 1:40 908 760 2:10  丹佛 2:20 1:55 606 957 舊金山  1090  亞特蘭大 2:00 3:50 349 1:30 834 2:45 2451 1:15  洛杉磯 595  邁阿密 表示飛行系統的權數圖

29. 權數圖 • 將一個數字附加在邊上的圖形稱作權數圖(weighted graph)。它可用來模型化電腦網路。通訊成本（如電話線路之月租費）、電腦連線間所需的反應時間，或是兩電腦間的距離等，都有可能是想要研究的對象。上頁圖形表現的即為將兩種不同權數附加於飛行系統網路圖之圖學模型。 • 有越來越多的問題牽涉到權數圖。判斷圖形兩頂點間的最短路徑便是這類的問題。

30. 2534 距離 4:05 1:50  紐約 722 1855 飛行時間  芝加哥 2:55 1:40 908 760 2:10  丹佛 2:20 1:55 606 957 舊金山  1090  亞特蘭大 2:00 3:50 349 1:30 834 2:45 2451 1:15  洛杉磯 595  邁阿密 由丹佛經芝加哥到亞特蘭大的路徑，在 距離（飛行時間）權數圖中的長度為何？ 908 + 606 =1514. (2:10 and 1:40 is 3:50.)

31. 推銷員問題 • 有個推銷員打算造訪n個城市各一次，然後再回到原先出發之地。他必須選擇怎樣的順序方能使整個行程的距離最短？

33. 推銷員問題不論在實際或是理論上的探討都相當重要，因此值得投入精力找尋一個有效的演算法來求解。推銷員問題不論在實際或是理論上的探討都相當重要，因此值得投入精力找尋一個有效的演算法來求解。 • 目前尚未發現複雜度為多項式的演算法。 • 一旦這個問題能夠解決，還有許多其他相對的問題也能同時被求出 。