1 / 40

METODA KONAČNIH ELEMENATA 2D

SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO – ARHITEKTONSKI FAKULTET. METODA KONAČNIH ELEMENATA 2D. Nastavnici: Doc. dr. sc. Hrvoje Gotovac Veljko Srzić. Akad. god. 2011/12. MKE - koncept. Podjela kontinuuma na konačne elemente.

chezarina-spiros
Download Presentation

METODA KONAČNIH ELEMENATA 2D

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO – ARHITEKTONSKI FAKULTET METODA KONAČNIH ELEMENATA 2D Nastavnici: Doc. dr. sc. Hrvoje Gotovac Veljko Srzić Akad. god. 2011/12

  2. MKE - koncept • Podjela kontinuuma na konačne elemente. • Izračunavanje matrice sustava ili toka i vektora ekvivalentnih čvornih protoka za svaki pojedini element. • Sastavljanje matrica elementa i vektora protoke svakog pojedinog elementa u matricu sustava i vektor protoke sveukupnog sustava. • Određivanje nepoznatih vrijednosti potencijala u čvorovima rješavanjem regularnog sustava linearnih jednadžbi. • Izračunavanje ostalih veličina na elementu kao što su komponente brzine, strujnice i dr.

  3. Varijaciona formulacija 2-D tečenja Rubni uvjeti Φ׀Γ1=β1 Integralni oblik jednadžbe održanja mase

  4. Varijaciona formulacija 2-D tečenja Korištenje Green-Gauss-Ostrogradski (GGO) poučka: Dio integrala na rubu s kinematičkim rubnim uvjetom iščezava jer je W=0

  5. Bazne funkcije na konačnom elementu Bazne funkcije 8.-čvornog konačnog elementa su kvadratne funkcije u obliku:

  6. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.-čvornog 0 0 0 0 0 0 0 8.-čvornog Bazne funkcije izoparametarskih konačnih elemenata

  7. Numerička interpretacija Jednadžba rada unutrašnjih i vanjskih sila Aproksimacija rješenja potencijala ili piezometarske visine na konačnom elementu: Vektor gradijenata piezometarske visine Vektor brzine

  8. Numerička interpretacija Matrica konačnog elementa Vektor desne strane konačnog elementa

  9. Preslikavanje geometrije dvodimenzionalnog područja Podjela kontinuuma na konačne elemente (oblik i broj čvorova konačnog elementa ) PRVI KORAK: Definirati preslikavanje bezdimenzionalnog konačnog elementa s odabranim brojem čvorova u stvarni krivocrtni element s istim brojem čvorova. DRUGI KORAK: FORMULACIJA PRESLIKAVANJA IZOPARAMETARSKA NADPARAMETARSKA SUBPARAMETARSKA Za opisivanje geometrije područja koriste se polinomi nižeg stupnja nego za prikazivanje polja pomaka Koriste se iste bazne funkcije za opisivanje geometrije elementa i za funkcionalno prikazivanje deformacijskog ponašanja Prikazivanje geometrije vrši polinomima višeg stupnja

  10. Generiranje mreže konačnih elemenata najpovoljnije je provesti pomoću kvadrilateralnih (četverostranih) elemenata. Definiramo bezdimenzionalni koordinatni sustav (,) s ishodištem u središtu elementa. Odaberemo bazne funkcije pomoću kojih vršimo preslikavanje  PRESLIKAVANJE (0,1) (1,1) JEDINIČNI KVADRILATERALNI KONAČNI ELEMENT BEZDIMENZIONALNE KOORDINATE  (0,0) (1,0) Razmatrat ćemo dva tipa kvadrilateralnih elemenata koji se zasnivaju na izoparametarskoj formulaciji: 4.-čvorni 8.-čvorni

  11. 4.-čvorni izoparametarski kvadrilateralni element s linearnim prikazom polja pomaka unutar elementa 1. Bazne funkcije 4.-čvornog konačnog elementa su bilinearne funkcije u obliku:

  12. 8.-čvorni izoparametarski kvadrilateralni element (Serendipity) s krivocrtnim stranicama i kvadratnim prikazom polja pomaka unutar elementa 2. Bazne funkcije 8.-čvornog konačnog elementa su kvadratne funkcije u obliku:

  13. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.-čvornog 0 0 0 0 0 0 0 8.-čvornog Bazne funkcije izoparametarskih konačnih elemenata

  14. Izrazi za bazne funkcije strogo ovise o orijentaciji lokalnih koordinatnih smjerova  i . • Čvorovi elementa se označavaju u pozitivnom smjeru obilaska elementa (suprotno od kazaljke na satu) počinjući od bilo kojeg ugaonog čvora. • Pozitivan smjer osi  je tada definiran, za 8.-čvorni konačni element, pomicanjem duž stranice elementa počevši od prvog čvora prema drugom i trećem. • Pozitivan smjer osi  je definiran pomicanjem duž stranice elementa počevši od trećeg čvora prema četvrtom i petom.

  15. Vrijednosti koordinata x(,) i y(,) u bilo kojoj točki (,) konačnog elementa izražavaju se pomoću baznih funkcija i koordinata čvornih točaka elementa kao: KOORDINATE ČVORA i BAZNA FUNKCIJA PRIDRUŽENA ČVORU i BROJ ČVOROVA KONAČNOG ELEMENTA Nepoznata funkcija rješenja u na svakom konačnom elementu: Analogno, derivacije neke funkcije f(,) po smjerovima  i  dobivaju se kao: Mogu npr. biti koordinate točaka x(,), y(,) ili komponente vektora pomaka u(,).

  16. Potrebno je naći vezu između derivacija po x i y smjeru i derivacija po smjerovima  i . To se vrši pomoću pravila deriviranja složene funkcije: Odnosno u matričnom obliku: MATRICA PRESLIKAVANJA ILI JACOBIJEVA MATRICA (JACOBIANA)

  17. Cartesijeve derivacije funkcije f(,) se prema tome određuju kao: INVERZNA MATRICA PRESLIKAVANJA Determinanta Jacobiane mora biti različita od nule Invertiranje Jacobianove matrice osjetljivo je na neke tipove distorzije elementa u odnosu na osnovni pravokutni oblik te na položaj čvornih točaka duž stranica. Npr. Kod bikvadratičnih elemenata je najbolje postaviti čvorove na stranicama u sredini između pripadajućih ugaonih točaka.

  18. Izračunavaju se iz inverzne Jacobijanove matrice Cartesijeve derivacije baznih funkcija određuju se korištenjem pravila deriviranja složene funkcije: Diferencijalni element površine dxdy se u svim integracijama zamjenjuje sa: Standardna formula za određivanje matrice krutosti elementa kod rješavanja dvodimenzionalnih problema može se napisati u obliku: Eksplicitno određivanje matrice K nije izvedivo pa se koeficijenti ove matrice moraju izračunavati korištenjem numeričke integracije.

  19. Sn integracijskih točaka može se točno integrirati polinom stupnja ili manjeg. Ako je podintegralna funkcija f(t) polinom stupnja većeg od , ili ako nije polinom, tada se dobiju približne vrijednosti integrala. Numerička integracija Zbog jednostavne implementacije i visoke točnosti integrali se izračunavaju pomoću Gauss-Legendre-ove kvadraturne formule. Gaussova kvadraturna formula u jednoj dimenziji ima oblik: ZADANA FUNKCIJA n JE UKUPNI BROJ INTEGRACIJSKIH TOČAKA KOORDINATA I-TE INTEGRACIJSKE TOČKE TEŽINSKI FAKTORI RASPOLAŽE SE S 2N KONSTANTI

  20. Koordinate Gaussovih integracijskih točaka podudaraju se s položajem nultočaka Legendre-ovih ortogonalnih polinoma. Gauss-Legendre-ova numerička integracija

  21. Numerička integracija na kvadrilateralnom konačnom elementu provodi se također prema Gaussovoj kvadraturnoj formuli korištenjem svojstva Cartesijevog produkta: KOORDINATE GAUSSOVIH TOČAKA KAO UREĐENIH PAROVA PO KOORDINATNIM OSIMA  I  INTEGRACIJSKI TEŽINSKI FAKTORI ZA GAUSSOVE TOČKE VRIJEDNOSTI PODINTEGRALNE FUNKCIJE U GAUSSOVIM TOČKAMA Broj Gaussovih točaka po pojedinim koordinatnim osima ne mora biti jednak a odabire se prema očekivanom stupnju polinoma koji bi točno aproksimirao podintegralnu funkciju po pojedinom smjeru.

  22. Raspored Gaussovih točaka na kvadrilateralnom elementu za integracijsko pravilo 22 s rimskim brojevima, odnosno za integracijsko pravilo 33 s arapskim brojevima. Raspored Gaussovih integracijskih točaka

  23. Raspored Gaussovih integracijskih točaka za 8.-čvorni konačni element Npr. prikazan je način izračunavanja integrala korištenjem Gaussove kvadraturne formule za 9 integracijskih točaka:

  24. Primjeri preslikavanja Za preslikavanje kvadrilateralnog područja s pravocrtnim stranicama na virtualno područje dovoljne su bazne funkcije četričvornog konačnog elementa. Realne koordinate x,y proizvoljne točke u virtualnom području (,) su:

  25. Jacobijeva matrica: Determinanta Jacobijeve matrice je: A inverzna matrica Jacobijane:

  26. Preslikavanje pravocrtnog kvadrilateralnog elementa

  27. Jacobijeva matrica: Determinanta Jacobijeve matrice ovisi samo o smjeru : Inverzna Jacobijana je: Derivacije proizvoljne funkcije f(x,y) u Cartesijevom koordinatnim sustavu na području prikazanom na crtežu su: Elementarna površina prikazanog područja, uz vrijednost det J je:

  28. PRIMJER: Izračunati površinu četvrtine kružnog prstena prikazane na crtežu integriranjem po virtualnom području. Preslikavanje krivocrtnog područja

  29. ; ( TOČNO: ) ODSTUPANJE:

  30. Bazne funkcije 8.-čvornog konačnog elementa i njihove derivacije

  31. Numerički model filtracije ALGORITAM ZA JEDAN KONAČNI ELEMENT KODIRAN POMOĆU MATEMATIČKOG PROGRAMA ˝DERIVE˝ 1: Simboličko zadavanje koordinata čvorova na elementu 2: [x1: =, x2: =, x3: =, x4: =, x5: =, x6: =, x7:=, x8: =] 3: [y1: =, y2: =, y3: =, y4: =, y5: =, y6:=,y7:=, y8: =] 4: Koordinate čvorova u obliku indeksne varijable 5: x(i) : = ELEMENT (  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, i) 6: y(i) : = ELEMENT (  y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, i) 7: Bazne funkcije na elementu 8: N0(i, , ):=ELEMENT

  32. Numerički model filtracije 9: Derivacija baznih funkcija po krivocrtnoj koordinati ksi 10: N0(i, , ):=ELEMENT 11: Derivacija baznih funkcija po krivocrtnoj koordinati eta 12: N0(i, ,):=ELEMENT

  33. Numerički model filtracije 13: Jacobijeva matrica 2x2 14: JAC (,):= 15: Determinanta Jacobijeve matrica 16: DJAC (,):= ELEMENT (JAC(,),1,1)∙ ELEMENT (JAC(,),2,2) – ELEMENT (JAC(,),1,2) ∙ ELEMENT (JAC(,),2,1) 17: Inverzna matrica Jacobijane 18: IJAC (,):= 19: Derivacija baznih funkcija po globalnoj koordinati X 20: N0X (i,,):= ELEMENT (IJAC (,),1,1) ∙ N0 (i,,) + ELEMENT (IJAC(,),1,2) N0 (i,,) 21: Derivacija baznih funkcija po globalnoj koordinati Y 22: N0Y (i,,):= ELEMENT (IJAC (,), 2, 1) ∙ N0 (i, ,) + ELEMENT (IJAC (,), 2, 2) N0 (i, ,)

  34. Numerički model filtracije 23: Opći izraz za matricu elementa 24: Podintegralna funkcija za izračunavanje matrice elementa 25: G (i, j, kxx, kyy, θ, , ):= 26: Kraći zapis općeg izraza za matricu elementa 27: KK(i,j, kxx, kyy, θ):= 28: Težinski koeficijenti i krivocrtne koordinate Gaussovih točaka – 3x3 29: W(i):= ELEMENT

  35. Numerički model filtracije 30: 12(i):= ELEMENT 31: Izračunavanje matrice elementa pomoću numeričke integracije 3x3 32: KK (i, j, kxx, kyy, θ):= 33: Simboličko zadavanje piezometarskih visina u čvorovima na elementu 34: [h1:=, h2:=, h3:=, h4:=,h5:=, h6:=, h7:=, h8:=]

  36. Numerički model filtracije 35: Piezometarske visine u obliku indeksne varijable 36: H(j):=ELEMENT ([h1, h2, h3, h4, h5, h6, h7, h8], j) 37: Formula za pisanje jednadžbe ravnoteže u slobodnom čvoru 38: REAC(i, kxx, kyy, θ):= 39: Formule za izračunavanje komponenata vektora brzine 40: VX(kxx, kyy, θ, , ):= 41: VY(kxx, kyy, θ, , ):=

  37. Numerički model filtracije 42: Komponenta brzine Vx u profilu eta=1 43: VECTOR (VX (1, 1, 0, -1 + 0.1k, 1),k, 0, 20) 44: Komponenta brzine Vy u profilu ksi=1 45: VECTOR (VY (1, 1, 0, 1, -1 + 0.1k),k, 0, 20) 46: POTH (, ):=

  38. Numerički model filtracije Ilustracija na jednostavnim primjerima 1: Primjer A1 2: Pravokutno područje 10x5 m 3: [x1:=0, x2:=5, x3:=10, x4:=10, x5:=10, x6:=5, x7:=0, x8:=0] 4: [y1:=0, y2:=0,y3:=0, y4:=2.5,y5:=5, y6:=5, y7:=5, y8:=2.5] 5: Potencijal na uzvodnom rubu 20 m, a na nizvodnom 10 m 6: [h1:=20, h2:=, h3:=10, h4:=10, h5:=10, h6:=, h7:=20, h8:=20] 7: Kxx = 0.001, Kyy = 0.001, Thete = 0.0 8: SOLVE([REAC(2,0.001,0.001,0)=0, REAC(6,0.001,0.001,0)=0], [h2,h6]) 9: [h2=15  h6=15]

  39. Numerički model filtracije 1: Primjer B 2: [x1:=3, x2:=7, x3:=12, x4:=9.5, x5:=8, x6:=4, x7:=0, x8:=1.5] 3: [y1:=0, y2:=3, y3:=6, y4:=8, y5:=10, y6:=7, y7:=4, y8:=2] 4: Potencijal na uzvodnom rubu 20 m, a na nizvodnom 10 m 5: Kxx = 0.001, Kyy = 0.001, Thete = -0.643501108 6: [h1:=20, h2:=, h3:=10, h4:=10, h5:=10, h6:=, h7:=20, h8:=20] 7: SOLVE([REAC(2,0.001,0.001, -0.643501108)=0, REAC (6,0.001,0,-0.643501108)=0], [h2, h6]) 8: [h2=15  h6=15]

  40. Numerički model filtracije PROGRAM Φ • UČITAVANJE NASLOVA • UČITAVANJE KONTROLNIH PARAMETARA • UČITAVANJE PODATAKA O ELEMENTIMA • UČITAVANJE KOORDINATA ČVOROVA • UČITAVANJE PODATAKA O SVOJSTVIMA POROZNOG MEDIJA • UČITAVANJE ZADANE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE • U PRIDRŽANIM ČVOROVIMA • PODACI O STRANICAMA ELEM. NA KOJIMA SU ZADANI FLUKSEVI • UČITAVANJE KONTROLNIH PARAMETARA ZA ISPIS REZULTATA • U DATOTEKE ZA CRTANJE • 9. UČITAVANJE VREMENSKOG KORAKA I KOORDINATA TOČKE IZ KOJE • PROMATRAMO GIBANJE I VRIJEME PUTOVANJA KROZ POROZNI MEDIJ • UČITAVANJE BROJA PODJELA ELEMENTA PO X I Y SMJERU • RADI CRTANJA U TECPLOTU

More Related