运输问题 (Transportation Problem)

运输问题 (Transportation Problem) 运输问题的数学模型表上作业法产销不平衡的运输问题

一、运输问题的数学模型 例：某运输问题的资料如下：

数学模型的一般形式 已知资料如下：

当产销平衡时，其模型如下：

当产大于销时，其模型是：

当产小于销时，其模型是：

运输问题特征： 1、m个供应地，n个需求地的运输问题； 2、决策变量个数为 m*n个，约束条件个数为 m+n个； 3、系数矩阵中元素为0或1； 4、每个决策变量在 m 个供应量约束和 n个需求量约束中各出现一次； 5、系数矩阵的秩等于( m+n-1 )个； 6、基本解中基变量个数等于（m+n-1）个； 7、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解。

二、表上作业法 步骤： ⑴.找出初始基本可行解（初始调运方案，一般m+n-1个数字格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法； ⑵.求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步，用位势法计算； ⑶.改进当前的基本可行解（确定换入、换出变量），用闭合回路法调整； ⑷.重复⑵. ⑶，直到找到最优解为止。

1、求初始方案： 例一、某运输资料如下表所示：

⑴.西北角法（或左上角法）： 此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。方法如下： 3 4 7 4 9 4 4 9 0 4 9 0 2 9 0 0 9 0 0 0 2 2 3 6 3 6 5 6 3 4 0 0 0 2 2 0 0 0 3 6 0 6 5 6 0 2 5 6 0 0 5 6 0 0 3 6 总的运费＝(3×3)＋(4×11)＋(2×9)＋(2×2)＋(3×10)＋(6×5)＝135元 0 0 0 0

⑵.最小元素法： 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。 3 11 3 10 4 3 1 9 2 8 3 1 7 4 10 5 6 3 总的运输费用＝（3×1）＋（6×4）＋（4×3）＋（1×2）＋（3×10）＋（3×5）＝86元

（3）伏格尔法 考虑到最小运费与次小运费及相互差额问题。差额最大处应用最小运费调运。 Cij销地供地 B1 B2 B3 B4 供应量 A1 A2 A3 3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5 7 4 9 需求量 3 6 5 6

Cij销地供地 Xij(0) 销地供地 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 行差供应量 A1 A2 A3 3 11 3 10 1 9 2 8 7 4 10 5 0 0 0 7 1 1 1 6 1 2 A1 A2 A3 7 4 9 列差 • 2 5 1 3 • 1 3 • 2 1 2 需求量 3 6 5 6 用伏格尔法得初始调运方案如下：表1 5 2 3 1 6 3

2、最优解的判别（检验数的求法）： ⑴.闭合回路法： σij≥0 （因为目标函数要求最小化）表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。基变量的检验数σij＝0，非基变量的检验数 σij≥0。 σij< 0 表示运费减少， σij> 0 表示运费增加。

① ② 1 3 4 （－1）（＋1） 3 1 （－1）（＋1） 3 6 计算如下：空格处（ A1B1）＝ 3-3+2-1＝1 此数即为该空格处的检验数。

1 2 4 3 3 1 6 3

1 2 4 3 -1 3 1 6 3

1 2 4 3 -1 3 1 1 6 3

1 2 4 3 -1 3 1 1 6 12 3

1 2 4 3 -1 3 1 1 10 6 12 3 检验数中有负数，说明原方案不是最优解。

1 2 0 0 -1 0 1 0 10 0 12 0

⑵.位势法 运输问题的约束条件共有m+n个，其中：m是产地产量的限制；n是销地销量的限制。其对偶问题也应有m+n个变量，据此： σij=cij－(ui+vj) ,其中前m个计为ui（i=1.2…m）,前n个计为vj （j=1.2…n）由单纯形法可知，基变量的σij＝0 ∴ cij－(ui+vj) ＝0 因此ui ,vj可以求出。

接上例： (ui+vj) 成本表 u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0 u1＝0 v1＝2 u2 ＝－1 v2 ＝9 u3 ＝－5 v3 ＝3 v4 ＝10

按σij=cij－(ui+vj)计算检验数，并以σij≥0检验，或用(ui+vj)－cij≤0 检验。 cij (ui+vj) － σij 表中还有负数，说明还未得到最优解，应继续调整。＝

——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 3、改进的方法接上例：（＋1）（－1） 4 3 3 （－1）（＋1） 1 6 3

B1 B2 B3 B4 产量 A1 7 4 3 （＋1）（－1） 3 A2 4 1 （－1）（＋1） 6 3 A3 9 销量 3 6 5 6

(ui+vj) 成本表 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 A1 3 10 u1 A1 3 9 3 10 0 A2 1 8 u2 A2 1 7 1 8 －2 A3 4 5 u3 A3 －2 4 －2 5 －5 v1 v2 v3 v4 3 9 3 10 所有σij≥0 得到最优解，最小运费为85元。 0 经检验

4、表上作业法计算中的问题 ⑴.无穷多最优解：产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij＝0，则该问题有无穷多最优解。如上例：（1.1）中的检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。 ⑵.退化：表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时，在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个 0 即可。

例1： 2 1 3 5 5 2 6 8 2 1 7 6 0 例2： 0 0

三、产销不平衡的运输问题及其求解方法 1、产大于销：模型方法是先将原问题变成平衡问题，需假设一个销地(Bn+1 )(实际上考虑产地的存量)，

模型为： 单位运价表中的单位运价为 2、销大于产：同样假设一个产地即可，变化同上。

例题： 20 30 20 用最小元素法求初始方案 30 20 40 30

已知某运输问题的资料如下表所示 练习： 1、表中的发量、收量单位为：吨，运价单位为：元/吨试求出最优运输方案. 2、如将A2的发量改为17，其它资料不变，试求最优调运方案。

解：1、用最小元素法求初始方案 运费为108元/吨 2、用位势法判断：成本表

u1+v3=5 u2+v4 =1 u1+v4 =3 u3+v2=2 u2+v1=1 u3+v4 =4 令： u1＝0 u1＝0 v1＝3 u2＝－2 v2 ＝1 u3 ＝1 v3 ＝5 v4 ＝3

(ui+vj)

cij (ui+vj) －＝ σij 表中还有负数，说明没有得到最优解，调整运输方案。

新的运送方案 －2 ＋2 ＋2 －2 总的运费 105元/吨 (ui+vj)1 新的成本表

cij (ui+vj)1 ＝－ (σij)1 表中还有负数，说明没有得到最优解，继续调整运输方案。

新的运送方案 B1 B2 B3 B4 B1 B2 B3 B4 A1 10 5 A1 10 0 5 A2 10 2 A2 12 A3 13 0 A3 13 0 总的运费 85元/吨 (ui+vj)2 新的成本表 B1 B2 B3 B4 ui B1 B2 B3 B4 A1 2 1 5 3 0 A1 2 5 3 A2 －1 －2 2 0 －3 A2 2 A3 3 2 6 4 1 A3 2 4 vj 2 1 5 3

cij (ui+vj)2 －＝ (σij)2 表中没有负数，说明已经得到最优解。但有无穷多最优解。 0

最终的运送方案 B1 B2 B3 B4 A1 10 5 A2 12 A3 13 总的运费 85元/吨

成本表 u1+v1=2 u2+v4 =1 u1+v3 =5 u3+v2 =2 u2+v1=1 u3+v3 =7 令： u1＝0 u1＝0 v1＝2 u2＝－1 v2 ＝0 u3 ＝2 v3 ＝5 v4 ＝2

(ui+vj) cij σij

成本表 u1+v3=5 u2+v3 =2 u1+v5 =0 u2+v4 =1 u2+v1=1 u3+v2=2 u3+v4=4 令： u1＝0 u1＝0 v1＝4 u2＝-3 v2 ＝2 u3 ＝0 v3 ＝5 v4 ＝4 v5＝0

运输问题 (Transportation Problem)