ALJABAR LINIER

1. ALJABAR LINIER

2. ALJABAR LINIER • Deskripsi : Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, serta aplikasi matriks dalam bentuk kuadrat, bentuk bilinier dan bentuk hermit

3. ALJABAR LINIER Tujuan instruksional umum : mahasiswa mengerti dan memahami tentang matriks dan vektor serta operasi terhadapnya serta dapat mengaplikasikan dalam persoalan-persoalan sehari-hari Buku acuan : Anton, Howard, “Aljabar Linier Elementer”, Edisi 8 Jilid 1 , Erlangga, Jakarta 1997

4. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS • Untuk memudahkan menentukan lokasi tempat duduk, dapat dibuat denah berdasarkan baris dan kolom • Banyaknya lulusan STIS berdasarkan jurusan jenis kelamin dapat dibuat tabel

5. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Dengan menghilangkan judul baris dan kolomnya, penulisan data tersebut dapat diringkas menjadi: Definisi : Sebuah matriks adalah susunankumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom (dengan menggunakan kurung biasa atau siku).

6. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen/entri dalam matriks A.

7. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom , oleh karena itu disebut berordo 2x3. Baris pertama Baris kedua Kolom Pertama Kolom kedua Kolom ketiga

8. MATRIKS • Definisi Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom m baris n kolom di katakanmatriks A berukuran m x n

9. Baris ke-i dari A adalah : • Kolom ke-j dari A adalah : • Matriks A dapat juga ditulis : A = [aij] • Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama

10. Jenis – jenis Matriks 1. Matriks Diagonal  Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i  j 2. Matriks Skalar  Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j 3. Matriks Segitiga Atas  Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol

11. Jenis – Jenis Matriks 4.MatriksSegitigaBawah  Matriksb.s.denganelemendiatas diagonal utamaadalahnol 5. MatriksIdentitas  Matriks diagonal denganelemenpadadiagonal utamaadalah 1 , yaitu aij = 1 untuki = jdanaij = 0 untuki  j 6. MatriksNol  Matriks yang seluruhelemennyaadalah nol.

12. Operasi Matriks • Persamaan Dua Matriks • Penjumlahan Matriks • Perkalian Skalar dan Matriks • Transpose Matriks • Perkalian Matriks

13. Persamaan Dua Matriks • Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1  i  m, 1  j  n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. • Contoh : Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

14. Penjumlahan Matriks • Definisi Jika A = [aij] dan B = [bij] adalahmatriksukuran m x n, makajumlah A dan B adalahmatriks C = [cij] ukuran m x n dengancij = aij + bij Contoh DiberikanMatriks A dan B adalah maka

15. Perkalian Skalar & Matriks • Definisi Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarang skalar real, maka perkalian skalar rA adalah matriks B = [bij] ukuran m x n dengan bij = r aij • Contoh Jika r = -3 dan maka

16. Transpose Matriks • Definisi Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose dari A adalah matriks At = [aijt]ukuran n x m dengan aijt = aji • Contoh maka

17. Transpose Matriks MatriksSimetrik Matriks A yang berukurannxndisebutmatrikssimetrikjikadanhanyajikaaij= ajiuntuksemua I dan j. Teorema-teorema di bawahiniberhubungandengan transpose matriks. • (AT)T= A • (A+B)T = AT + BT

18. Transpose Matriks • (kA)T = k(AT) • (AB)T = BTAT • (Ar)T = (AT)r • Jika A adalah matriks bujursangkar, maka A + AT adalah matriks simetrik • Untuk sembarang matriks A, maka AAT dan ATA adalah matriks simetri

19. Perkalian Matriks • Definisi Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj Ilustrasi rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij Colj(B) rowi(A)

20. Latihan Soal 1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut: Jika mungkin, maka hitunglah • AB d. CB + D g. BA + FD • BA e. AB + DF h. A(BD) • A(C + E) f. (D + F)A

21. Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus Product P Product Q 2. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :

22. Tanaman X Tanaman Y Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut : apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?

23. TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS • (AB)C = A(BC) untukmatriks A berukuranmxn, Matriks B berukurannxpdanmatriks C berukuranpxq • t(AB) = (tA)B = A(tB) • A(-B) = (-A)B = -(AB) • (A+B)C = AC + BC untukmatriks A dan B yang berukuranmxndanmatriks C berukurannxp • D(A+B) = DA + DB untukmatriks A dan B ygberukuranmxndanmatriks D ygberukuranpxm

24. TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS • Ar= A AAA …. A r kali • ArAs = Ars • (Ar)s = Ars

25. Teorema : • A + B = B + A • A + (B + C) = (A+B) + C • A(BC) = (AB)C • A(B+C) = AB + AC • (B+C)A = BA + CA • A(B-C) = AB – AC • (B-C)A = BA – CA • k(B+C) = kB + kC • k(B-C) = kB– kC • (k+l)A = kA + lA • (k-l)A = kA - lA • (kl)A = k(lA) • k(AB) = (kA)B = A(kB)