ALJABAR LINIER & MATRIKS

1. ALJABAR LINIER & MATRIKS VEKTOR

2. v u + v θ u Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Bila Diketahui Sudutnya u-v v θ u

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

4. Definisi • Untuk sembarang vektor a dengan α, maka: • panjang αa = | α|.|a| • jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a • jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a • jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0 • Untuk vektor a dalam koordinat kartesian jika a = [a1,a2,a3] maka αa = [αa1, αa2, αa3]

5. Sifat Perkalian skalar & vektor

6. Ruang Vektor • Merupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group • Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan - distributif operasi 1 terhadap operasi 2 - distributif operasi 2 terhadap operasi 1 - assosiatif

7. Kombinasi linear • Untuk sembarang vektor a1, … , am didalam ruang vektor v , maka ungkapan: α1a1 + α2a2 + … + αmam α1, … , αm skalar sembarang disebut sebagai “Kombinasi Linear”

8. Ketergantungan Linear • Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk αi = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’ • Jika sekurang-kurangnya terdapat satu α1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bergantungan linear’ α1a1 + α2a2 + … + αmam = 0 • Berlaku untuk α1 = α2 = … = αm = 0 (vektor-vektor bebas linear) terdapat minimal satu α1≠0 (vektor-vektor tidak bebas linear)

9. Perkalian Titik(Dot Product)

10. Visualisasi • Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan • Memiliki sudut antara dua vektor

11. Rumus • Jikau danv adalahvektor-vektordalamruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 danØ adalahsudutantarau danv, makahasil kali titiku.vadalah: u.v = |u||v| cos Ø jikau ≠ 0 danv ≠ 0 u.v = 0 jikau = 0 atauv = 0

12. Rumus • Dalam bentuk komponen vektor, • Dalam vektor 3 dimensi; • bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka : a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

13. Formulasi Khusus

14. Sifat Dot Product • Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar α1, α2 berlaku:

15. Orthogonalitas dua vektor • Teorema • Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus • Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. • Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. • Untuk vektor bukan-nol • a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2

16. Rumus • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

17. Hasil Dot Product bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara 2 vektor. • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan  adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka :  lancip; jika dan hanya jika u.v>0  tumpul ; jika dan hanya jika u.v<0  =/2; jika dan hanya jika u.v=0

18. Contoh Soal Jika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1]. Tentukanlah: • panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, • sudut vektor c = a + b terhadap sumbu x

19. Summary Dot Product • Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya. • vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis • Rumus untuk dot product • Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar u.v = |u||v| cos Ø jikau ≠ 0 danv ≠ 0 u.v = 0 jikau = 0 atauv = 0

20. Perkalian Cross(CROSS PRODUCT)

21. Cross Product • Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor • Hasil Dot Product dua buah vektor menghasilkan skalar • HasilCross Productantara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

22. Cross Product • Rumus Umum v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

23. Cross Product • Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, • maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 ) • atau dalam notasi determinan :

24. Sifat Cross Product • Jika u, v dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka : u x v = -(v x u) u x (v+w) =(u x v) + (u x w) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) u x 0 = 0 x u = 0 u x u = 0

25. Hubungan Dot Product dan Cross Product • Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka : u.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap u. v.(u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap v. |u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2 u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u

26. Contoh Soal • Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1), hitunglah u x v !

27. Contoh Soal Jawab: u x v = =

28. Scalar Triple Product

29. Sifat Hasil Kali Triple Scalar

30. Latihan 1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) : a. a x (b - 2 c) c. a x b x c b. a·b x c 2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila a. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4) b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) . 3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya. a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 ) b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )