LOGIKA MATEMATIKA

1. SMA Kristen 7 Penabur Jakarta LOGIKA MATEMATIKA By. Andrian Wijaya, S.Si

2. Tautologi Kontradiksi Dasar Empiris Jakarta adalah ibukota Indonesia (B) Semua ikan bertelur (S) Air adalah benda cair (B) Nilai kebenaran suatu pernyataan : BENAR ( B ) atau SALAH ( S ) Dasar tidak Empiris Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2 (BENAR) Akar – akar dari persamaan x2–x+7=0 adalah bilangan real (SALAH) Pernyataan Lambang suatu pernyataan : HURUF KECIL ( a, b, c, … p, q, r , …) Pernyataan : kalimat yang memiliki nilai kebenaranya BENAR atau SALAH saja. Pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (memuat variable)disebut KALIMAT TERBUKA

3. INGARAN DARI PERNYATAAN Lambang negasi dari suatu pernyataan p : ~ p p : Tiga adalah bilangan ganjil • ~ p : Tiga adalah bilangan genap • Tiga bukan bilangan ganjil q : Semua bilangan Bulat adalah bilangan Asli • ~ q : Beberapa bilangan Bulat bukan bilangan Asli • Tidak benar semua bilangan Bulat adalah bilangan Asli Ingakaran / Negasi Ingkaran / Negasi suatu pernyataan : Pernyataan yang memilki nilai kebenaran kebalikan dari suatu pernyataan Tabel Kebenaran

4. Pernyataan Kuantor Universal Simbol : dibaca “Untuk setiap / tidak ada / semua“ Pernyataan Kuantor Universal dan Eksistensial saling bernegasi Eksistensial Simbol : dibaca “sebagian / ada / beberapa / terdapat“

5. LATIHAN SOAL • Misalkan p adalah pernyataan “ Semua penduduk miskin di Indonesia menerima subsidi yang berasal dari dana pemerintah “, tentukan ingkaran p • Dalam rencana pembentukan Pansus Buloggate II diperoleh informasi bahwa “ beberapa anggota dalam sebuah fraksi tidak menyetujui dibentuknya Pansus Buloggate “. Ternyata informasi tersebut salah, tentukan informasi yang benar !

6. LATIHAN SOAL • Misalkan a adalah pernyataan “ sebagian rumah penduduk desa JUJUR terbuat dari kayu “, tentukan ingkaran a ! • Tentukan Ingkaran dari setiap pernyataan di bawah ini ! • Untuk setiap nilai x berlaku (x – 4) (x – 4) = (x – 2) (x + 2) • Semua nilai x dan y berlaku ax . ay = ax+ y • Seluruh peserta ujian nasional diperbolehkan membawa kamus.

7. PERNYATAAN MAJEMUK “ Jika … maka … “ Implikasi Pernyataan Majemuk “ dan “ Konjungsi “ … jika hanya jika …“ Bi implikasi “ atau “ Disjungsi LATIHAN SOAL

8. KONJUNGSI Konjungsi “ dan “ Pernyataan 1 p Pernyataan 2 q TABEL KEBENARAN KONJUNGSI Jakarta di asia dan Berlin di Eropa 3 + 7 = 10 dan 11 bukan bilangan ganjil 15 < 31 – 16 dan 2 x 2 = 4 3 x 4 = 10 dan 5 > 10

9. disjungsi Disjungsi “ atau “ Pernyataan 1 p V Pernyataan 2 q TABEL KEBENARAN DISJUNGSI Jakarta ibukota Indonesia atau 2 x 2 = 5 Jakarta ibulota Malaysia atau 2 x 2 = 4 Jakarta ibukota Indonesia atau 2 x 2 = 4 Jakarta ibilota Malaysia atau 2 x 2 = 5

10. Aplikasi Konjungsi dan Disjungsi pada jaringan listrik • Jaringan Listrik Satu Saklar Jika saklar p dihubungkan maka akan mengalir arus. Keadaan ini diberikan nilai kebenaran BENAR ( 1 ) Jika saklar p tidak dihubungkan maka tidak ada arus yang mengalir. Keadaan ini diberikan nilai kebenaran SALAH ( 0 )

11. p q b. Jaringan Listrik Dua Saklar secara paralel Tabel Kebenaran

12. p q c. Jaringan Listrik Dua Saklar secara seri Tabel Kebenaran

13. IMPLIKASI Implikasi “ Jika … maka … “ Pernyataan 1 p Pernyataan 2 q TABEL KEBENARAN IMPLIKASI Jika Jakarta ibukota Indonesia maka 2 x 2 = 4 Jika Jakarta ibulota Indonesia maka 2 x 2 = 5 Jika Jakarta ibukota Malaysia maka 2 x 2 = 4 Jika Jakarta ibukota Malaysia maka 2 x 2 = 5 Implikasi bergantung pada kesimpulan

14. BI IMPLIKASI Bi implikasi “ jika hanya jika “ Pernyataan 1 p Pernyataan 2 q TABEL KEBENARAN Bi IMPLIKASI Jakarta ibukota Indonesia jhj 2 x 2 = 4 Jika Jakarta ibulota Indonesia jhj 2 x 2 = 5 Jika Jakarta ibukota Malaysia jhj 2 x 2 = 4 Jika Jakarta ibukota Malaysia jhj 2 x 2 = 5

15. LATIHAN SOAL

16. B B B B S S B B S S S B B B S B S S S B B S S B S B B B

17. LATIHAN SOAL

18. B B B B S S S B B B S B S S B B B S B B S B B B B S S B S B S B S B B B S S S B S B S B S S B B S S B S B B B B S S S S B B S S

19. LATIHAN SOAL

20. q p ~p ~q ~p p HASIL B B S S B B B S B B S S B S S B S S S B B S B S S S S S S B B B S B B B

21. INGKARAN DARI KONJUNGSI, DISJUNGSI IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI KONJUNGSI a : Diagonal suatu persegi panjang berpotongan ditengah dan saling tegak lurus ~ a : Diagonal suatu persegi panjang tidak berpotongan ditengah atau tidak saling tegak lurus

22. INGKARAN DARI KONJUNGSI, DISJUNGSI IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI DISJUNGSI q : Segitiga ABC adalah segitiga siku – siku atau bukan sama kaki ~ q : Segitiga ABC adalah bukan segitiga siku – siku tetapi sama kaki

23. INGKARAN DARI KONJUNGSI, DISJUNGSI IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI IMPLIKASI q : Jika hari akan turun hujan maka Noel membawa payung ~ q : Hari akan turun hujan tetapi Noel tidak membawa payung

24. INGKARAN DARI KONJUNGSI, DISJUNGSI IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI q : Hari akan turun hujan jhj Noel membawa payung ~ q : Hari akan turun hujan tetapi Noel tidak membawa payung atau Noel membawa payung tetapi hari tidak turun hujan BI IMPLIKASI

25. KONVERS, KONTRAPOSISI, DAN INVERS DARI IMPLIKASI IMPLIKASI INVERS KONVERS KONTRAPOSISI

26. IMPLIKASI Jika Andi sakit maka ia akan minum obat Invers : Jika Andi sehat maka ia tidak minum obat INVERS

27. INVERS IMPLIKASI Jika Andi sakit maka ia akan minum obat Invers : Jika Andi sehat maka ia tidak minum obat Ingkaran : Andi sehat dan ia minum obat

28. IMPLIKASI Jika ayah merokok maka ia sakit paru - paru Konvers : Jika Ayah sakit paru – paru maka ia merokok KONVERS

29. KONVERS IMPLIKASI Jika ayah merokok maka sakit paru - paru Konvers : Jika Ayah sakit paru – paru maka ia merokok Ingkaran : Ayah sakit paru – paru tetapi ia tidak merokok

30. IMPLIKASI Jika pak AW hadir maka semua siswa bersuka ria Kontraposisi Jika beberapa siswa bersedih maka pak AW tidak hadir KONTRAPOSISI

31. IMPLIKASI KONTRAPOSISI Jika pak AW hadir maka semua siswa bersuka ria Kontraposisi Jika beberapa siswa bersedih maka pak AW tidak hadir Ingkaran Beberapa siswa bersedih dan pak AW hadir

32. Pernyataan Ekuivalen Jika beberapa siswa bersedih maka pak AW tidak hadir IMPLIKASI Jika pak AW hadir maka semua siswa bersuka ria Pak AW tidak hadir atau semua siswa bersuka ria

33. Menarik kesimpulan Premis 1 : Premis 2 : Kesimpulan : Silogisme • Premis 1 : Jika semua politisi jujur maka negara makmur • Premis 2 : Jika Negara makmur maka rakyat hidup tentram • Kesimpulan : • Jika semua politisi jujur maka rakyat hidup makmur • Beberapa politisi tidak jujur atau rakyat hidup tentram

34. Menarik kesimpulan Premi 1 : Premi 2 : p Kesimpulan : q Modus Ponens • Premi1 : Jika Andi seorang siswa maka ia akan rajin belajar • Premi2 : Andi seorang siswa • Kesimpulan : Andi akan rajin belajar

35. Menarik kesimpulan Premi 1 : Premi 2 : ~ q Kesimpulan : ~ p Modus Tollens • Premi1 : Jika Andi berambut gondrong maka ia akan disenangi Ani • Premi2 : Andi tidak disenangi Ani • Kesimpulan : Andi tidak berambut gondrong