Vektor kalkulus
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 107

Vektor kalkulus PowerPoint PPT Presentation


  • 148 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Vektor kalkulus. Del-operator Definisjon og anvendelse. GradientRetningsderivert DivergensFluks CurlSirkulasjon / Rotasjon. Del-operator. Gradient. Divergens. Curl. Curl Sammenheng mellom c url og rotasjon. Posisjon. Hastighet. Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet.

Download Presentation

Vektor kalkulus

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Vektor kalkulus


Del-operatorDefinisjon og anvendelse

GradientRetningsderivert

DivergensFluks

CurlSirkulasjon / Rotasjon

Del-operator

Gradient

Divergens

Curl


CurlSammenheng mellom curl og rotasjon

Posisjon

Hastighet


Konservativt vektorfeltVei-uavhengighet

F definert i et åpent område D i rommet.

B

La

være uavhengig av alle veier

mellom A og B for alle A,B  D.

A

Vi sier da at integralet er vei-uavhengig.

Vi sier videre atF er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.


Potensial-funksjon

F definert i et åpent område D i rommet.

Hvis det finnes en skalar-funksjon f

som er slik at

F =  f F er gradienten til f

så kalles f for en potensial-funksjon til F

og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.


Gradientfelt og vei-uavhengighet

F definert i et åpent område D i rommet.

Bevis del 1:

Anta at det finnes en f slik at F =  f.

Det finnes en f slik at F =  f

vei-uavhengig

dvs, integralet er vei-uavhengig,

kun avhengig av endepunktene.


Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver

F definert i et åpent område D i rommet.

Bevis:

F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig)

C2

B

C1

A


Gradientfelt og curl

F definert i et åpent område D i rommet.

Bevis 1:

F gradientfelt  curl F = 0


Gradientfelt og eksakt differentialform

F = [ F1, F2, F3]

definert i et åpent område D i rommet.

Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz

er en differential form.

Differentialformen kalles eksakt

hvis det finnes en skalar funksjon f slik at


Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt

F definert i et åpent område D i rommet.


Konservativt vektorfeltEks 1 - Oppgave

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)

2. Bestem en potensialfunksjon til F

3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)


Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [1/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0


Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [2/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

2. Bestem en potensialfunksjon til F


Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [3/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

3. Bestem vei-integralet av F

langs den rette linjen

fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)


Konservativt vektorfeltEks 2 - Oppgave

1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt

2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:

A (1,1,1)

B (2,3,-1)


Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [1/4]

1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt


Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [2/4]

2. Bestemmelse av potensialfunksjon f


Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [3/4]

F = [ y, x, 4]

2. Bestem vei-integralet av F

langs den rette linjen

fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)

A (1,1,1)

F

B (2,3,-1)


Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [4/4]

2. Integralet kan også løses direkte

A (1,1,1)

F

A

B (2,3,-1)

B


Divergens(Flukstetthet)Curl (Sirkulasjonstetthet)

Fluks

k

C

Strømning

T

n

F

Divergens

dA dC

C

Curl

k

A

T

n

F


Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [1/3]


Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [2/3]


Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [3/3]

D

C

A

B


Divergens (Flukstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D

Ekspanderende gass

i punktet (x0,y0)

Komprimerende gass

i punktet (x0,y0)


Divergens (Flukstetthet)Eks 2 - 2D

Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]


Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [1/3]


Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [2/3]


Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [3/3]

D

C

A

B


Curl (Sirkulalsjonstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D

Rotasjon mot klokka

i punktet (x0,y0)

Rotasjon med klokka

i punktet (x0,y0)


Divergens(FlukstetthetCurl (Sirkulasjonstetthet)

C

A

Divergens

n

F

Curl

C

A

T

F


Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 2 - 2D

Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]

Ingen rotasjons-tendens


Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 3 - 2D

Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2] = [ -y, x ]

Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ]

Rotasjons-tendens


Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 4 - 2D

Finn k-komponenten av curl F til

F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]


Curl (Sirkulasjonstetthet)Fysisk tolkning av curl - 2D

C

k

R

T

F

curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjonrundt randen til R.

curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt.

curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.


Greens teoremDef - 2D

Fluks - Divergens - Normalform

Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.


Greens teoremDef - 2D - Fig

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F


Greens teoremDef - 2DNormalform

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Normalformen av Greens teoremsier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,

dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C,

er lik dobbeltintegralet av divergensen til Fover det indre området R av kurven C,

dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.


Greens teoremDef - 2DTangentiellform

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F

Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,

dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C,

er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C,

dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.


Greens teoremDef - 2D - Part

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F


Greens teoremBevis-skisse - Curl / Div - 2D

C

y

III

Ci,j+1

Ci+1,j+1

IV

Ri,j

II

RP

Ri,j

Ci,j

Ci+1,j

I

x


Greens teoremBevis-skisse - Curl - 2D

C

y

x

III

IV

Ri,j

II

I


Greens teoremBevis-skisse - Div - 2D

C

y

x

III

IV

Ri,j

II

I


Greens teoremFysisk tolkning - Uten hull

n hull

Green - Fluks - Divergens - Normalform

R

C

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

R

C


Positiv og negativ fluksDef - 2D - Fig

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Flom

Positiv fluks

Uttapping av vann

Negativ fluks

Elektrisk felt

Positiv fluks / Negativ fluks

Elektrisk felt

Null fluks

E


Greens teoremEks 1 - 2D

Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ]

over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0  t  2

Normalform

Fluks

Tangentialform

Sirkulasjon


Greens teoremOmråder med hull - 2D [1/2]

C1

y

R

x

C1

C11

y

R1

C21

C2

A

B

J2

J1

C22

R2

C12

x


Greens teoremOmråder med hull - 2D [2/2]

C1

C11

y

R1

C21

C2

1 hull

J2

J1

C22

R2

C12

x

C

y

R

C1

C3

n hull

C2

x


Greens teoremFysisk tolkning - Med hull

n hull

Green - Fluks - Divergens - Normalform

R

C

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

R

C


Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [1/3]

y

C

Ca

x


Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [2/3]

y

C

Ca

x


Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [3/3]

y

C

Ca

x


Greens teoremEks - 2D [1/4]Uten Greens teorem

III

y

C

1

II

IV

1

x

I


Greens teoremEks - 2D [2/4]Med Greens teorem (normal/tangential)

I tillegg til direkte beregning,

kan integralet beregnes

vha Greens teorem,

enten vha fluks- eller

sirkulasjons-betraktninger.

III

y

C

1

II

IV

1

x

I

Fluks

Sirkulasjon

F = [ -y2,xy ]

F = [ xy, y2 ]


Greens teoremEks - 2D [3/4]Normalform

III

y

C

1

II

IV

1

x

I


Greens teoremEks - 2D [4/4]Tangentiellform

III

y

C

1

II

IV

1

x

I


Greens teoremEks - Kurve C [1/4]Tangentiellform

Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet

som gir minimumsverdi av følgende integral:

C2

C1

C3


Greens teoremEks - Kurve C [2/4]Tangentialform

C2

R2

C1

R1

C3

R3


Greens teoremEks - Kurve C [3/4]Tangentialform

Siden integranden i dobbeltintegralet over R

er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C

og negativ innenfor ellipsen C,

så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi

når området R er området innenfor den gitte ellipsen C.

Ellipsen C

C2

R2

C1

C

R1

R

C3

R3


Greens teoremEks - Kurve C [4/4]Tangentialform

Ellipsen C

C

C


Greens teoremAreal som sirkel-integral - Innledning

y

Arealet av et område R i planet er gitt ved:

R

C

Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem

kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral

langs konturen av området.

Det finnes uendelig mange slike formler.

x

Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området

når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.


Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1

Greens teorem (tangentiell form):

y

R

Arealet av området R:

C

Greens teorem (tangentiell form)

beregner arealet av R hvis:

x

Mulig løsning:


Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2

Greens teorem (tangentiell form):

y

R

Arealet av området R:

C

Greens teorem (tangentiell form)

beregner arealet av R hvis:

x

Mulig løsning:


Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3

Greens teorem (tangentiell form):

y

R

Arealet av området R:

C

Greens teorem (tangentiell form)

beregner arealet av R hvis:

x

Mulig løsning:


Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1

Beregn arealet av et rektangel

med sider a og b

y

III

C

b

II

IV

a

x

I


Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2

Beregn arealet av en sirkel med radius a

y

C

a

x


Flate-integralAreal - Def

f

S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c

Planområdet R er projeksjonen av S

(på figuren projeksjonen ned i xy-planet)

p enhetsnormalvektor på planområdet R

z

S

p

y

R

x

Arealet av S er gitt ved:


Flate-integralAreal - Bevis [1/2]

S

P

R

Q

p

P’

S’

A

Q’

R’

PQRS parallellogram

p enhetsnormalvektor på flaten A


Flate-integralAreal - Bevis [2/2]

p

p

f

Pk

S

R

Ak

Ak


Flate-integralAreal - Eks

Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0

når paraboloiden kuttes av planet z = 4.

La f(x,y,z) = x2 + y2 – z.

Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.

4

S

R


Flate-integralAreal - Spesialtilfeller

Flate z = f(x,y)

La F(x,y,z) = z – f(x,y)

S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0

4

S

R


Flate-integralDef

f

dS

S

SFlate gitt ved f(x,y,z) = c

gKontinuerlig funksjon på S

RProjeksjonen av S

pEnhetsnormal på R

p

R

dA


Fluks3D - Def

F

n

f

S

dS

SFlate gitt ved f(x,y,z) = c

F3-dim vektorfelt

RProjeksjonen av S

pEnhetsnormal på R

p

R

dA


Fluks3D - Eks

Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ]

ut av flaten S

avkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z 0

og planene x = 0 og x = 1.

z

n

F

y

x


Masse, moment og massesenter til tynne skallDef

Masse

Moment

Massesenter

Treghetsmoment

Gyrasjonsradius


Massesenter til tynne skallEks

Finn massesenteret til

et tynt halvkuleskall

med radius a

og konstant massetetthet .

z

S

y

R

x


Parameteriserte flaterDef

Kurve

Flate

b

z

C

a

r(t)

y

[ ]

t

x

z

v

S

r(u,v)

u

y

x


Parameteriserte flaterAreal

p

f

p

f

S

S

S

v

v

D

u

(u,v)

u

A

R

A


Parameteriserte flaterFlate-integral

p

f

p

f

S

S

S

v

v

D

u

(u,v)

u

A

R

A


Parameteriserte flaterFlate-integral - Spesialtilfeller - Def

Kartesiske koordinater

Sylinder-koordinater

Kule-koordinater


Parameteriserte flaterEks 1 - Kjegle

Kjegle

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flaterEks 2 - Kule

Kule

z

S

r(t)

y

x

z

y

x


Parameteriserte flaterEks 3 - Sylinder

Sylinder

z

S

r(t)

y

x

z

S

r(t)

y

3

x


Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [1/4]

Kjegle

Beregn arealet av kjegleflaten

1

Nivåflate

z

2

Spesialtilfelle

1

r(t)

S

y

x

3

Parameterisering


Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [2/4]

Kjegle

1 Nivåflate

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [3/4]

Kjegle

2 Spesialtilfelle

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [4/4]

Kjegle

3 Parameterisering

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flaterEks 5 - Flate-integral over kjegleflate

Kjegle

Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen

z

1

r(t)

S

y

x


Green - Div

Greens teoremDef - 2D

Green - Curl

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F


Gauss - Div

Gauss / Stokes teoremDef - 3D

Stokes - Curl

Gauss - Divergens

z

S

n

D

F

y

x

Stokes - Curl

n

z

S

C

T

F

y

x


Gauss - Div

Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Gauss - 3D

Stokes - Curl

z

S

n

D

F

y

x

St

Sb


Gauss - Div

Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Stokes - 3D

Stokes - Curl

n

z

S

C

T

F

y

x

E

A

D

B

C


Green - 2DGauss / Stoke - 3D

Green’s teorem - Stoke’s teorem

2D

3D

Gauss

Divergens

Green - Normalform

Stoke

Green - Tangensialform

Stokes

Curl


Green / Gauss / StokesDef - 2D - 3D

2D

Green - Divergens

Green - Curl

3D

Gauss - Divergens

Stokes - Curl


StokesMaksimal sirkulasjon

Stokes - Curl

Maksimal sirkulasjon

når n er parallell med curl F

Vektorfelt

Maksimal sirkulasjon

i dette planet


Stokes teoremEks 1 - Verifisering

Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:

Vektorfelt: F = [ y, -x, 0 ]

Kuleflate: S : x2 + y2 + z2 = 9 z  0

Rand: C : x2 + y2 = 9

z

S

C

R

y

F

x


Stokes teoremEks 1 - Sirkulasjon

Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:

Vektorfelt: F = [ y, -x, 0 ]

Kuleflate: S : x2 + y2 + z2 = 9 z  0

Rand: C : x2 + y2 = 9

z

S

C

R

y

F

x


Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 1

z

S

C

R

y

F

x


Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 2

Velger S2: x2 + y2 9 som ny flate.

Også denne flaten har C som rand.

z

S

S2

C

R

y

F

x


Stokes teoremEks 2 - Sirkulasjon

Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ]

langs (mot klokka) kurven C

fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2

z

F

C

2

y

x


Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate

z

2

F

n

S

y

x


Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate

n = [0,0,1]

z

F

S

2

y

x


Stokes teoremEks 3 - Oppgave

Bruk Stokes teorem til å beregne

for F = [ xz, xy, 3xz ]

hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z = 2

som befinner seg i første oktant

og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra.

z

(0,0,2)

F

C

(0,2,0)

(1,0,0)

y

x


Stokes teoremEks 3 - Løsning

z

(0,0,2)

F

C

n

(0,2,0)

(1,0,0)

y

x


Gauss teoremEks 1

z

Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)

for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2.

F

a

S

n

y

x


Gauss teoremEks 2

z

Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]

ut av kubus-flaten i første oktant

begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.

S

F

n

D

y

x


Gauss teoremEks 2 - Alternativ: Symmetri

z

Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]

ut av kubus-flaten i første oktant

begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.

S

F

n

D

y

x

Symmetriegenskaper


END


  • Login