Vektor kalkulus
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 107

Vektor kalkulus PowerPoint PPT Presentation


  • 123 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Vektor kalkulus. Del-operator Definisjon og anvendelse. GradientRetningsderivert DivergensFluks CurlSirkulasjon / Rotasjon. Del-operator. Gradient. Divergens. Curl. Curl Sammenheng mellom c url og rotasjon. Posisjon. Hastighet. Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet.

Download Presentation

Vektor kalkulus

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Vektor kalkulus

Vektor kalkulus


Del operator definisjon og anvendelse

Del-operatorDefinisjon og anvendelse

GradientRetningsderivert

DivergensFluks

CurlSirkulasjon / Rotasjon

Del-operator

Gradient

Divergens

Curl


Curl sammenheng mellom c url og rotasjon

CurlSammenheng mellom curl og rotasjon

Posisjon

Hastighet


Konservativt vektorfelt vei uavhengighet

Konservativt vektorfeltVei-uavhengighet

F definert i et åpent område D i rommet.

B

La

være uavhengig av alle veier

mellom A og B for alle A,B  D.

A

Vi sier da at integralet er vei-uavhengig.

Vi sier videre atF er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.


Potensial funksjon

Potensial-funksjon

F definert i et åpent område D i rommet.

Hvis det finnes en skalar-funksjon f

som er slik at

F =  f F er gradienten til f

så kalles f for en potensial-funksjon til F

og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.


Gradientfelt og vei uavhengighet

Gradientfelt og vei-uavhengighet

F definert i et åpent område D i rommet.

Bevis del 1:

Anta at det finnes en f slik at F =  f.

Det finnes en f slik at F =  f

vei-uavhengig

dvs, integralet er vei-uavhengig,

kun avhengig av endepunktene.


Vei uavhengighet og null integral for lukkede kurver

Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver

F definert i et åpent område D i rommet.

Bevis:

F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig)

C2

B

C1

A


Gradientfelt og curl

Gradientfelt og curl

F definert i et åpent område D i rommet.

Bevis 1:

F gradientfelt  curl F = 0


Gradientfelt og eksakt differentialform

Gradientfelt og eksakt differentialform

F = [ F1, F2, F3]

definert i et åpent område D i rommet.

Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz

er en differential form.

Differentialformen kalles eksakt

hvis det finnes en skalar funksjon f slik at


Ekvivalens for konservativt vei uavhengig felt

Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt

F definert i et åpent område D i rommet.


Konservativt vektorfelt eks 1 oppgave

Konservativt vektorfeltEks 1 - Oppgave

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)

2. Bestem en potensialfunksjon til F

3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)


Konservativt vektorfelt eks 1 l sning 1 3

Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [1/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0


Konservativt vektorfelt eks 1 l sning 2 3

Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [2/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

2. Bestem en potensialfunksjon til F


Konservativt vektorfelt eks 1 l sning 3 3

Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [3/3]

F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z]

3. Bestem vei-integralet av F

langs den rette linjen

fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)


Konservativt vektorfelt eks 2 oppgave

Konservativt vektorfeltEks 2 - Oppgave

1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt

2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:

A (1,1,1)

B (2,3,-1)


Konservativt vektorfelt eks 2 l sning 1 4

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [1/4]

1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt


Konservativt vektorfelt eks 2 l sning 2 4

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [2/4]

2. Bestemmelse av potensialfunksjon f


Konservativt vektorfelt eks 2 l sning 3 4

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [3/4]

F = [ y, x, 4]

2. Bestem vei-integralet av F

langs den rette linjen

fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)

A (1,1,1)

F

B (2,3,-1)


Konservativt vektorfelt eks 2 l sning 4 4

Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [4/4]

2. Integralet kan også løses direkte

A (1,1,1)

F

A

B (2,3,-1)

B


Divergens flukstetthet curl sirkulasjonstetthet

Divergens(Flukstetthet)Curl (Sirkulasjonstetthet)

Fluks

k

C

Strømning

T

n

F

Divergens

dA dC

C

Curl

k

A

T

n

F


Divergens f lukstetthet def 2d 1 3

Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [1/3]


Divergens f lukstetthet def 2d 2 3

Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [2/3]


Divergens f lukstetthet def 2d 3 3

Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [3/3]

D

C

A

B


Divergens f lukstetthet eks 1 fortegn 2d

Divergens (Flukstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D

Ekspanderende gass

i punktet (x0,y0)

Komprimerende gass

i punktet (x0,y0)


Divergens f lukstetthet eks 2 2d

Divergens (Flukstetthet)Eks 2 - 2D

Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]


Curl sirkulasjonstetthet def 2d 1 3

Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [1/3]


Curl sirkulasjonstetthet def 2d 2 3

Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [2/3]


Curl sirkulasjonstetthet def 2d 3 3

Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [3/3]

D

C

A

B


Curl sirkulalsjonstetthet eks 1 fortegn 2d

Curl (Sirkulalsjonstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D

Rotasjon mot klokka

i punktet (x0,y0)

Rotasjon med klokka

i punktet (x0,y0)


Divergens flukstetthet curl sirkulasjonstetthet1

Divergens(FlukstetthetCurl (Sirkulasjonstetthet)

C

A

Divergens

n

F

Curl

C

A

T

F


Curl sirkulasjonstetthet eks 2 2d

Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 2 - 2D

Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]

Ingen rotasjons-tendens


Curl sirkulasjonstetthet eks 3 2d

Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 3 - 2D

Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2] = [ -y, x ]

Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ]

Rotasjons-tendens


Curl sirkulasjonstetthet eks 4 2d

Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 4 - 2D

Finn k-komponenten av curl F til

F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]


Curl sirkulasjonstetthet fysisk tolkning av curl 2d

Curl (Sirkulasjonstetthet)Fysisk tolkning av curl - 2D

C

k

R

T

F

curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjonrundt randen til R.

curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt.

curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.


Greens teorem def 2d

Greens teoremDef - 2D

Fluks - Divergens - Normalform

Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.


Greens teorem def 2d fig

Greens teoremDef - 2D - Fig

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F


Greens teorem def 2d normalform

Greens teoremDef - 2DNormalform

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Normalformen av Greens teoremsier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,

dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C,

er lik dobbeltintegralet av divergensen til Fover det indre området R av kurven C,

dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.


Greens teorem def 2d tangentiellform

Greens teoremDef - 2DTangentiellform

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F

Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,

dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C,

er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C,

dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.


Greens teorem def 2d part

Greens teoremDef - 2D - Part

F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2.

C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.

Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F


Greens teorem bevis skisse curl div 2d

Greens teoremBevis-skisse - Curl / Div - 2D

C

y

III

Ci,j+1

Ci+1,j+1

IV

Ri,j

II

RP

Ri,j

Ci,j

Ci+1,j

I

x


Greens teorem bevis skisse curl 2d

Greens teoremBevis-skisse - Curl - 2D

C

y

x

III

IV

Ri,j

II

I


Greens teorem bevis skisse div 2d

Greens teoremBevis-skisse - Div - 2D

C

y

x

III

IV

Ri,j

II

I


Greens teorem fysisk tolkning uten hull

Greens teoremFysisk tolkning - Uten hull

n hull

Green - Fluks - Divergens - Normalform

R

C

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

R

C


Positiv og negativ fluks def 2d fig

Positiv og negativ fluksDef - 2D - Fig

Green - Fluks - Divergens - Normalform

Flom

Positiv fluks

Uttapping av vann

Negativ fluks

Elektrisk felt

Positiv fluks / Negativ fluks

Elektrisk felt

Null fluks

E


Greens teorem eks 1 2d

Greens teoremEks 1 - 2D

Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ]

over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0  t  2

Normalform

Fluks

Tangentialform

Sirkulasjon


Greens teorem omr der med hull 2d 1 2

Greens teoremOmråder med hull - 2D [1/2]

C1

y

R

x

C1

C11

y

R1

C21

C2

A

B

J2

J1

C22

R2

C12

x


Greens teorem omr der med hull 2d 2 2

Greens teoremOmråder med hull - 2D [2/2]

C1

C11

y

R1

C21

C2

1 hull

J2

J1

C22

R2

C12

x

C

y

R

C1

C3

n hull

C2

x


Greens teorem fysisk tolkning med hull

Greens teoremFysisk tolkning - Med hull

n hull

Green - Fluks - Divergens - Normalform

R

C

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

R

C


Greens teorem omr der med hull eks 2d 1 3

Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [1/3]

y

C

Ca

x


Greens teorem omr der med hull eks 2d 2 3

Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [2/3]

y

C

Ca

x


Greens teorem omr der med hull eks 2d 3 3

Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [3/3]

y

C

Ca

x


Greens teorem eks 2d 1 4 uten greens teorem

Greens teoremEks - 2D [1/4]Uten Greens teorem

III

y

C

1

II

IV

1

x

I


Greens teorem eks 2d 2 4 med greens teorem normal tange n tial

Greens teoremEks - 2D [2/4]Med Greens teorem (normal/tangential)

I tillegg til direkte beregning,

kan integralet beregnes

vha Greens teorem,

enten vha fluks- eller

sirkulasjons-betraktninger.

III

y

C

1

II

IV

1

x

I

Fluks

Sirkulasjon

F = [ -y2,xy ]

F = [ xy, y2 ]


Greens teorem eks 2d 3 4 normalform

Greens teoremEks - 2D [3/4]Normalform

III

y

C

1

II

IV

1

x

I


Greens teorem eks 2d 4 4 tangentiellform

Greens teoremEks - 2D [4/4]Tangentiellform

III

y

C

1

II

IV

1

x

I


Greens teorem eks kurve c 1 4 tangentiellform

Greens teoremEks - Kurve C [1/4]Tangentiellform

Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet

som gir minimumsverdi av følgende integral:

C2

C1

C3


Greens teorem eks kurve c 2 4 tangentialform

Greens teoremEks - Kurve C [2/4]Tangentialform

C2

R2

C1

R1

C3

R3


Greens teorem eks kurve c 3 4 tangentialform

Greens teoremEks - Kurve C [3/4]Tangentialform

Siden integranden i dobbeltintegralet over R

er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C

og negativ innenfor ellipsen C,

så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi

når området R er området innenfor den gitte ellipsen C.

Ellipsen C

C2

R2

C1

C

R1

R

C3

R3


Greens teorem eks kurve c 4 4 tangentialform

Greens teoremEks - Kurve C [4/4]Tangentialform

Ellipsen C

C

C


Greens teorem areal som sirkel integral innledning

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Innledning

y

Arealet av et område R i planet er gitt ved:

R

C

Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem

kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral

langs konturen av området.

Det finnes uendelig mange slike formler.

x

Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området

når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.


Greens teorem areal som sirkel integral tangentiell form def 1

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1

Greens teorem (tangentiell form):

y

R

Arealet av området R:

C

Greens teorem (tangentiell form)

beregner arealet av R hvis:

x

Mulig løsning:


Greens teorem areal som sirkel integral tangentiell form def 2

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2

Greens teorem (tangentiell form):

y

R

Arealet av området R:

C

Greens teorem (tangentiell form)

beregner arealet av R hvis:

x

Mulig løsning:


Greens teorem areal som sirkel integral tangentiell form def 3

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3

Greens teorem (tangentiell form):

y

R

Arealet av området R:

C

Greens teorem (tangentiell form)

beregner arealet av R hvis:

x

Mulig løsning:


Greens teorem areal som sirkel integral tangentiell form eks 1

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1

Beregn arealet av et rektangel

med sider a og b

y

III

C

b

II

IV

a

x

I


Greens teorem areal som sirkel integral tangentiell form eks 2

Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2

Beregn arealet av en sirkel med radius a

y

C

a

x


Flate integral areal d ef

Flate-integralAreal - Def

f

S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c

Planområdet R er projeksjonen av S

(på figuren projeksjonen ned i xy-planet)

p enhetsnormalvektor på planområdet R

z

S

p

y

R

x

Arealet av S er gitt ved:


Flate integral areal bevis 1 2

Flate-integralAreal - Bevis [1/2]

S

P

R

Q

p

P’

S’

A

Q’

R’

PQRS parallellogram

p enhetsnormalvektor på flaten A


Flate integral areal bevis 2 2

Flate-integralAreal - Bevis [2/2]

p

p

f

Pk

S

R

Ak

Ak


Flate integral areal e ks

Flate-integralAreal - Eks

Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0

når paraboloiden kuttes av planet z = 4.

La f(x,y,z) = x2 + y2 – z.

Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.

4

S

R


Flate integral areal spesialtilfeller

Flate-integralAreal - Spesialtilfeller

Flate z = f(x,y)

La F(x,y,z) = z – f(x,y)

S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0

4

S

R


Flate integral def

Flate-integralDef

f

dS

S

SFlate gitt ved f(x,y,z) = c

gKontinuerlig funksjon på S

RProjeksjonen av S

pEnhetsnormal på R

p

R

dA


Fluks 3d d ef

Fluks3D - Def

F

n

f

S

dS

SFlate gitt ved f(x,y,z) = c

F3-dim vektorfelt

RProjeksjonen av S

pEnhetsnormal på R

p

R

dA


Fluks 3d eks

Fluks3D - Eks

Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ]

ut av flaten S

avkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z 0

og planene x = 0 og x = 1.

z

n

F

y

x


Masse moment og massesenter til tynne skall def

Masse, moment og massesenter til tynne skallDef

Masse

Moment

Massesenter

Treghetsmoment

Gyrasjonsradius


Massesenter til tynne skall eks

Massesenter til tynne skallEks

Finn massesenteret til

et tynt halvkuleskall

med radius a

og konstant massetetthet .

z

S

y

R

x


Parameteriserte flater def

Parameteriserte flaterDef

Kurve

Flate

b

z

C

a

r(t)

y

[ ]

t

x

z

v

S

r(u,v)

u

y

x


Parameteriserte flater areal

Parameteriserte flaterAreal

p

f

p

f

S

S

S

v

v

D

u

(u,v)

u

A

R

A


Parameteriserte flater flate integral

Parameteriserte flaterFlate-integral

p

f

p

f

S

S

S

v

v

D

u

(u,v)

u

A

R

A


Parameteriserte flater flate integral spesialtilfeller def

Parameteriserte flaterFlate-integral - Spesialtilfeller - Def

Kartesiske koordinater

Sylinder-koordinater

Kule-koordinater


Parameteriserte flater eks 1 kjegle

Parameteriserte flaterEks 1 - Kjegle

Kjegle

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flater eks 2 kule

Parameteriserte flaterEks 2 - Kule

Kule

z

S

r(t)

y

x

z

y

x


Parameteriserte flater eks 3 sylinder

Parameteriserte flaterEks 3 - Sylinder

Sylinder

z

S

r(t)

y

x

z

S

r(t)

y

3

x


Parameteriserte flater eks 4 areal av kjegleflate 1 4

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [1/4]

Kjegle

Beregn arealet av kjegleflaten

1

Nivåflate

z

2

Spesialtilfelle

1

r(t)

S

y

x

3

Parameterisering


Parameteriserte flater eks 4 areal av kjegleflate 2 4

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [2/4]

Kjegle

1 Nivåflate

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flater eks 4 areal av kjegleflate 3 4

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [3/4]

Kjegle

2 Spesialtilfelle

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flater eks 4 areal av kjegleflate 4 4

Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [4/4]

Kjegle

3 Parameterisering

z

1

r(t)

S

y

x


Parameteriserte flater eks 5 flate integral over kjegleflate

Parameteriserte flaterEks 5 - Flate-integral over kjegleflate

Kjegle

Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen

z

1

r(t)

S

y

x


Greens teorem def 2d1

Green - Div

Greens teoremDef - 2D

Green - Curl

Green - Fluks - Divergens - Normalform

C

R

n

F

Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

C

R

T

F


Gauss stokes teorem def 3d

Gauss - Div

Gauss / Stokes teoremDef - 3D

Stokes - Curl

Gauss - Divergens

z

S

n

D

F

y

x

Stokes - Curl

n

z

S

C

T

F

y

x


Gauss stokes teorem bevis skisse gauss 3d

Gauss - Div

Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Gauss - 3D

Stokes - Curl

z

S

n

D

F

y

x

St

Sb


Gauss stokes teorem bevis skisse stokes 3d

Gauss - Div

Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Stokes - 3D

Stokes - Curl

n

z

S

C

T

F

y

x

E

A

D

B

C


Green 2d gauss stoke 3d

Green - 2DGauss / Stoke - 3D

Green’s teorem - Stoke’s teorem

2D

3D

Gauss

Divergens

Green - Normalform

Stoke

Green - Tangensialform

Stokes

Curl


Green gauss stokes def 2d 3d

Green / Gauss / StokesDef - 2D - 3D

2D

Green - Divergens

Green - Curl

3D

Gauss - Divergens

Stokes - Curl


Stokes maksimal sirkulasjon

StokesMaksimal sirkulasjon

Stokes - Curl

Maksimal sirkulasjon

når n er parallell med curl F

Vektorfelt

Maksimal sirkulasjon

i dette planet


Stokes teorem eks 1 verifisering

Stokes teoremEks 1 - Verifisering

Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:

Vektorfelt: F = [ y, -x, 0 ]

Kuleflate: S : x2 + y2 + z2 = 9 z  0

Rand: C : x2 + y2 = 9

z

S

C

R

y

F

x


Stokes teorem eks 1 sirkulasjon

Stokes teoremEks 1 - Sirkulasjon

Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:

Vektorfelt: F = [ y, -x, 0 ]

Kuleflate: S : x2 + y2 + z2 = 9 z  0

Rand: C : x2 + y2 = 9

z

S

C

R

y

F

x


Stokes teorem eks 1 flateintegral 1

Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 1

z

S

C

R

y

F

x


Stokes teorem eks 1 flateintegral 2

Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 2

Velger S2: x2 + y2 9 som ny flate.

Også denne flaten har C som rand.

z

S

S2

C

R

y

F

x


Stokes teorem eks 2 sirkulasjon

Stokes teoremEks 2 - Sirkulasjon

Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ]

langs (mot klokka) kurven C

fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2

z

F

C

2

y

x


Stokes teorem eks 2 flateintegral 1 s kjeglesideflate

Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate

z

2

F

n

S

y

x


Stokes teorem eks 2 flateintegral 2 s kjegletoppflate

Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate

n = [0,0,1]

z

F

S

2

y

x


Stokes teorem eks 3 oppgave

Stokes teoremEks 3 - Oppgave

Bruk Stokes teorem til å beregne

for F = [ xz, xy, 3xz ]

hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z = 2

som befinner seg i første oktant

og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra.

z

(0,0,2)

F

C

(0,2,0)

(1,0,0)

y

x


Stokes teorem eks 3 l sning

Stokes teoremEks 3 - Løsning

z

(0,0,2)

F

C

n

(0,2,0)

(1,0,0)

y

x


Gauss teorem eks 1

Gauss teoremEks 1

z

Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)

for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2.

F

a

S

n

y

x


Gauss teorem eks 2

Gauss teoremEks 2

z

Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]

ut av kubus-flaten i første oktant

begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.

S

F

n

D

y

x


Gauss teorem eks 2 alternativ symmetri

Gauss teoremEks 2 - Alternativ: Symmetri

z

Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]

ut av kubus-flaten i første oktant

begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.

S

F

n

D

y

x

Symmetriegenskaper


Vektor kalkulus

END


  • Login