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Università degli studi di Lecce. Corso di laurea in Matematica e Informatica. Corso Seminariale a.a. 2005 - 2006. Automi e macchine di Turing. Macchia Sara. Automi e macchine di Turing. Introduzione. Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con MdT

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Presentation Transcript


Universit degli studi di lecce

Università degli studi di Lecce

Corso di laurea in Matematica e Informatica

Corso Seminariale a.a. 2005 - 2006

Automi e

macchine di Turing

Macchia Sara


Universit degli studi di lecce

Automi e macchine di Turing

Introduzione

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Perché si studia la teoria degli automi?

La teoria degli automi è lo studio di dispositivi computazionali o “macchine”.

Gli automi, originariamente, furono proposti per creare un modello matematico che riproducesse il funzionamento del cervello.

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Automi e macchine di Turing

Introduzione

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Gli automi finiti sono degli utili modelli per molti importanti tipi di software:

  • software per la progettazione e la verifica del comportamento dei circuiti digitali;

  • l’ ”analizzatore lessicale” di un compilatore;

  • software che eseguono una scansione di testi molto lunghi per trovare parole, frasi, ecc.;

  • software per verificare i protocolli di comunicazione o protocolli per lo scambio sicuro di informazioni.

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Automi

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Cos’è un automa?

Un automa è un dispositivo, o un sistema in forma di macchina sequenziale, che, ad ogni istante, può trovarsi in un determinato “stato”.

Lo scopo dello stato è quello di ricordare la parte rilavante della storia del sistema.

Finché ci sono solo un numero finito di stati, l’intera storia del sistema non può essere ricordata.

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Automi

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Esempio 1

Un automa finito che rappresenta un interruttore on/off

rappresenta gli stati

rappresenta l’input

indica lo stato iniziale

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Automi

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Esempio 2

Un automa finito che riconosce la parola then

L’automa ha bisogno di cinque stati

rappresenta l’unico stato finale possibile

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Automi

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Descrizione modellistica

Il modello di un automa consiste di un dispositivo di controllo, con un numero finito di stati, una testina di lettura e un nastro infinito diviso in celle.

Stato

Testina

Controllo a stati finiti

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Automi

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Definizione

Si chiama automa a stati finiti deterministico (ASFD) un sistema M definito come segue

M = (Q,A,t,q0,F)dove

Q è un insieme finito di stati

A è un insieme finito di caratteri che costituiscono l’alfabeto

t: QxA->Q è una funzione che associa ad ogni coppia (stato, carattere) uno stato(detta di transizione)

q0 è lo stato iniziale con q0 Q

F è l’insieme degli stati finali, F Q

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Automi

Introduzione

Automi

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

Vediamo come un ASFD accetta o meno una sequenza di simboli in input:

sequenza di simboli in input a1 a2 … an

stato iniziale q0

funzione di transizione t(q0, a1) = q1

a2 -> t(q1, a2) = q2

trovo così q3 q4 q5 … qn

Se qn F allora l’input a1 a2 … an viene accettato, cioè la parola viene riconosciuta.

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Automi a stati finiti NON deterministici

  • Come un ASFD, un automa a stati finiti non deterministico (ASFND) ha:

  • un insieme finito di stati;

  • un insieme finito di simboli in input

  • una funzione di transizione t

  • In questo caso t non ritorna sempre e solo uno stato, ma un insieme di zero, uno o più stati, cioè l’automa può essere nello stesso tempo in stati diversi.

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Esempio

Un ASFND che accetta tutte e sole le stringhe di 0 e 1 che finiscono per 01.

Sebbene abbia più alternative ad ogni passo, un ASFND non usa nessun meccanismo probabilistico (potrebbe portare al non riconoscimento della parola) bensì utilizza tutte le possibili transizioni.

Se almeno una di esse lo porta in uno stato finale, la parola è riconosciuta.

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Esempio

Rappresentazione tramite albero delle alternative

Vediamo cosa succede quando il nostro automa riceve come input la sequenza 00101

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Definizione

Si chiama automa a stati finiti non deterministico (ASFND) un sistema M definito come segue

M = (Q,A,t,q0,F)dove

Q, A, q0, F sono definiti come per gli ASFD

t: QxA->2Q è una funzione che associa ad ogni coppia (stato, carattere) uno stato appartenente all’insieme 2Q, dove 2Q è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di Q.

Es. t(q0, a) = {q1, q2 ,q3}

indica che la macchina nello stato q0, se legge a può transitare in uno dei tre possibili stati

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

Un altro modo per visualizzare il funzionamento di un ASFND è quello di immaginare che esistano più copie dello stesso automa.

Si inizia ad esaminare la parola in ingresso con un automa solo. Quando sono possibili più di una transizione si creano tanti automi quante sono le alternative.

Ad ogni passo esiste un insieme di automi tutti in stati diversi.

Se non è possibile una transizione l’automa viene soppresso.

La parola sarà riconosciuta se alla fine almeno una delle macchine è in uno stato finale.

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Equivalenza tra ASFD e ASFND

Teorema Per ogni ASFND, N, ne esiste uno equivalente deterministico, D, cioè tale che L(N) = L(D)

  • Dato N = (QN, A, tN, q0, FN) definiamo D come segue:

  • Gli stati QD rappresentano tutti i possibili sottoinsiemi di QN (se QN ha n stati QD ne avrà 2n) [ q0, q1 , … , qk] = stato corrispondente all’insieme { q0, q1 , … , qk}

  • Gli stati finali FD sono tutti i sottoinsiemi S di QN tali che SFN  

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Lo stato iniziale è quello che corrisponde all’insieme {q0} con q0 stato iniziale di N

  • La funzione di transizione è data da:

  • tD([q0, … , qi], a) = [tN(q0, a)  tN(q1, a)  …  tN(qi, a)

  • con a generico simbolo dell’alfabeto A

  • L’alfabeto di D è identico a quello di N

  • Resta così definito D = (QD, A, tD, q0, FD)

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Problema dell’arresto

  • Automi a stati finiti e grammatiche regolari

Abbiamo appena visto come ASFD e ASFND accettano la stessa classe di linguaggi. Vogliamo mostrare che questa classe coincide con le espressioni regolari, cioè che:

  • ogni linguaggio definito da uno dei tipi di automi è anche definito da una espressione regolare.

  • ogni linguaggio definito da un’espressione regolare è definito da uno di questi automi.

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Problema dell’arresto

  • Automi a stati finiti e grammatiche regolari

2.

1.

- NFA = automa a stati finiti non deterministico con transizione su , cioè sulla stringa vuota.

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Problema dell’arresto

  • Automi a stati finiti e grammatiche regolari

Teorema Dato un automa a stati finiti M, esiste una grammatica regolare G t.c. L(G) = L(M)

  • Assegnato un ASFD M = (Q,A,t,q0,F) si costruisce la grammatica regolare con la seguente procedura:

  • l’insieme dei simboli terminali VT coincide con A;

  • l’insieme dei simboli non terminali VN coincide o è in corrispondenza biunivoca con Q;

  • il simbolo iniziale S di G è il simbolo non terminale che corrisponde a q0;

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Problema dell’arresto

  • Automi a stati finiti e grammatiche regolari

  • L’insieme delle produzioni P è dato da:

  • ad ogni transizione dallo stato qi allo stato qj per effetto del carattere ah si associa una produzione Ni-> ah Nj, con Ni e Nj simboli non terminali corrispondenti a qi e qj

  • Se qj F si aggiunge la produzione Ni-> ah

Allo stesso modo si dimostra che …

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Problema dell’arresto

  • Automi a stati finiti e grammatiche regolari

Teorema Ogni linguaggio definito da un’espressione regolare è anche definito da un automa a stati finito (non deterministico con transizione ).

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Problema dell’arresto

  • Esempio

Supponiamo di avere il linguaggio

L = { anbn con n>1}

Vogliamo vedere se questo è riconoscibile da un automa a stati finiti.

Gli automi a stati finiti posseggono una memoria finita e quindi non sono in grado di riconoscere linguaggi che, per la loro struttura, richiedono di ricordare una quantità di “informazioni” non limitate.

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Problema dell’arresto

  • Automi a pila

  • Un automa a pila è costituito da:

  • un controllo a stati finiti

  • un nastro di ingresso

  • una memoria ausiliaria a pila di lunghezza infinita

nastro di ingresso

a

b

c

a

a

b

memoria a pila

controllo finito

p1

p2

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Problema dell’arresto

  • Automi a pila

  • In ogni situazione l’automa a pila può compiere due tipi di mosse:

  • leggere il contenuto di una cella del nastro ed il simbolo in cima alla pila, passare in un nuovo stato e sostituire il simbolo letto dalla pila con una stringa (la testina avanza);

  • come prima, ma senza leggere alcun simbolo dal nastro e senza avanzamento della testina;

  • Questa seconda mossa permette all’automa di manipolare il contenuto della pila.

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Problema dell’arresto

  • Definizione

Un automa a pila M è un sistema (Q,A,R,t,q0,Z0,F) dove

Q è un insieme finito di stati

A è un alfabeto finito, detto alfabeto del nastro

R è un alfabeto finito, detto alfabeto della pila

q0 Q è lo stato iniziale

Z0 R è il simbolo iniziale, cioè l’unico simbolo che appare all’inizio della pila

F Q è l’insieme degli stati finali

t: Q x A x R -> Q x Rè la funzione di transizione


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Problema dell’arresto

  • Esempio

Supponiamo di avere il linguaggio

L = { 0n1n2n con n>1}

Vogliamo vedere se questo è riconoscibile da un automa a pila.

Così come abbiamo visto nel caso degli automi a stati finiti, anche in questo caso la “memoria” del nostro automa non basta a riconoscere questo linguaggio.

Dobbiamo potenziare ancora il nostro automa.

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Problema dell’arresto

  • Descrizione modellistica della Macchina di Turing

Una MdT può essere vista come un organo di controllo a a stati finiti con associato un nastro di lunghezza infinita nel quale vengono immagazzinate le sequenze di simboli su cui si opera.

programma

comandi della testina e del nastro

CONTROLLO

A

0

1

3

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Problema dell’arresto

  • Descrizione modellistica della Macchina di Turing

Il comportamento della MdT può essere descritto mediante una tabella detta matrice funzionale in cui le righe rappresentano gli stati del controllo e le colonne rappresentano i simboli in ingresso.

Es. la macchina si trova nello stato qi e legge il simbolo sj

sj

scrive un altro simbolo sk

si porta nello stato qr

si sposta sul nastro di una casella a sx o a dx a seconda che sia xt=D o xt=S

qi


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Problema dell’arresto

  • Descrizione modellistica della Macchina di Turing

La specifica delle condizioni, ad ogni passo, della configurazione del nastro, della posizione della testina e dello stato del controllo, prende il nome di descrizione istantanea (DI).

Per computazione di una MdT intendiamo la sequenza finita di DI, di cui la prima è iniziale e l’ultima è finale, e ognuna è ottenuta dalla precedente in un passo.

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Problema dell’arresto

  • Descrizione matematica della Macchina di Turing

S = {s0, … , sn} alfabeto finito di simboli

Q = {q1, … , qm} alfabeto finito di stati

M = {D, S} insieme dei simboli degli spostamenti

s0 rappresenta la casella bianca sul nastro

La configurazione di una MdT ad ogni istante può essere rappresentata come una stringa infinita di simboli

… s0 s0 s0 si1 si2 si3 … sik-1 qr sik sik+1 … sif s0 s0 s0 …

di cui solo un numero finito è diverso da s0

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Problema dell’arresto

  • Descrizione matematica della Macchina di Turing

Questa stringa infinita si può rappresentare schematicamente con

dove q Q, s S, S*

dove S* rappresenta l’insieme di tutte le sequenze finite di simboli di S.

Quindi una stringa del tipo sarà una DI della MdT.

Il modo di funzionare della macchina è descritto da quintuple del tipo qisjsijqijxij con si,sj S

xij M

qi,qij Q


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Problema dell’arresto

  • Definizione

Una macchina di Turing Z è una terna (Q, S, P) dove

Q è un insieme finito di stati

S è un insieme finito di simboli (con s0 bianco)

P è un sottoinsieme di Q x S x S x Q x {S, D}, cioè l’insieme delle quintuple di Z, con la proprietà che non ci sono due quintuple con i primi due membri uguali

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Problema dell’arresto

  • Definizione

Introduciamo ora la relazione |- tra descrizioni istantanee DI.

Diremo che due DI sono in relazione |- tra loro se la seconda DI rappresenta la configurazione ottenuta in un passo da quella rappresentata dalla prima DI.

DefinizioneSia Z = (Q, S, P) una MdT. La relazione |- è definita come segue:

se qss’q’D P

se qss’q’S P

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Problema dell’arresto

  • Definizione

Una computazione della MdT Z è una sequenza finita

z0, z1, z2, … , zm

di descrizioni istantanee DI di Z tali che

zm è una DI terminale, cioè se zm= allora nessuna quintupla in P inizia con qs, ed inoltre zj|- zj+1 per .

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Problema dell’arresto

  • Esempio

Calcolo del successivo di un numero

Costruire la MdT che, dato un numero scritto in base 10, ne calcola il successivo.

La matrice funzionale è:

q0 1 deve ancora essere sommato

q1 1 è già stato sommato

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  • Macchine di Turing generalizzate

Teorema di equivalenza tra MdT ordinarie e generalizzate

Data una MdT Z con n nastri, il j-esimo dei quali è di dimensione kj ed è esaminato da hj testine, questa può essere simulata da una MdT Z’ con nastro monodimensionale esaminato da una sola testina.

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Problema dell’arresto

  • Macchine di Turing generalizzate

Teorema (Shannon, 1956)

Una qualsiasi Mdt con n simboli ed m stati può essere simulata da una MdT a due stati, aumentando opportunamente il numero di simboli del suo alfabeto.

Teorema (Shannon, 1956)

Una qualsiasi Mdt può essere simulata da una MdT con un alfabeto di due simboli, aumentando opportunamente il numero dei suoi stati.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Sia S un linguaggio in cui descrivere i nostri algoritmi.

Un algoritmo che termini sempre definisce una funzione fA.

Se i dati iniziali e i risultati finali si considerano la codifica dei numeri naturali, ad ogni algoritmo A che termina viene associata una funzione

fA: N -> Nfunzione calcolata dall’algoritmo

Nel caso la funzione non sia definita per alcuni valori verrà detta parziale.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Si noti che mentre ad ogni algoritmo A di S è associata una sola funzione fA, la stessa funzione f può essere associata a più di un algoritmo f=fA’=fA’’.

Sia AS l’insieme di tutti i possibili algoritmi in S.

L’insiemeFS={fA|A AS}

è l’insieme delle funzioni calcolabili in S e la sua ampiezza è la più chiara misura della potenza del linguaggio S.

Ci chiediamo se esiste un formalismo S t.c. il suo insieme FS comprenda tutte le funzioni.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Sia S un insieme finito di N elementi, allora la sua cardinalità sarà uguale a N (#S=N)

Un sottoinsieme di S è perfettamente individuato da un numero binario di N cifre: la i-esima cifra dice se nel sottoinsieme è presente o no l’i-esimo elemento si di S.

Es. Se S={s1, s2, s3} allora il numero binario 011 indica il sottoinsieme {s2, s3} .

Il numero dei possibili sottoinsiemi di S è pari al numero di numeri binari di N cifre, cioè 2N.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Quindi la cardinalità dell’insieme dei sottoinsiemi di S (2S) sarà 2N.

Ragionando in modo analogo si vede come un sottoinsieme dell’insieme N sia individuato da un numero binario di infinite cifre.

Es.1010101…corrisponde biunivocamente al sottoinsieme dei numeri pari

Quindi se esistesse una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e sottoinsiemi di numeri naturali, allora esisterebbe anche una corrisp. biunivoca tra naturali e numeri binari di infinite cifre

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Ragioniamo per assurdo e ammettiamo che tale corrispondenza esista.

Sia Bi= bio, bi1, … il numero binario corrispondente al naturale i e sia bij la sua j-esima cifra.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Consideriamo il numero B = b00, b11, … , bii, … ottenuto prendendo gli elementi sulla diagonale.

Calcoliamo il suo complementare B’.

B’ non è contenuto nella tabella perché se così fosse apparirebbe in una certa riga, ad esempio la k-esima e risulterebbe B’=BkASSURDO

perché la k-esima cifra di B’ starebbe sulla diagonale e quindi sarebbe bkk anziché il suo complementare.

Questo ci dice che la corrispondenza cercata nn esiste e che quindi#N < #2N

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  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Se Fb = {f|f: N ->{0, 1} } insieme delle funzioni binarie definite su N

abbiamo che #2N= Fb

Infine ponendo F = {f|f: N -> N} , poiché Fb F si ottiene#Fb <= #F

Quindi#N < #2N = #Fb <= #F

da cui#N < #F

cioè le funzioni dai naturali ai naturali non sono numerabili.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Torniamo al nostro generico linguaggio S.

Supponiamo di aver ordinato tutti i simboli di S (finiti) in un modo qualsiasi.

Supponiamo poi di considerare tutti gli algoritmi scritti in S (infiniti) e di ordinarli in base al numero di simboli da cui sono composti, poi seguendo le precedenze tra simboli.

Appena fatto l’ordinamento abbiamo ottenuto anche una corrispondenza biunivoca tra gli algoritmi di S e alcuni (o tutti) i numeri naturali.

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Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Quindi, ricordando che AS denota l’insieme degli algoritmi di S, abbiamo

#AS <= #N, ma abbiamo appena dimostrato che

#N < # F, pertanto #AS < #F.

Dalla definizione di FS abbiamo #FS <= #AS (poiché FS può essere messo in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme di AS ottenuto togliendo da AS tutti gli algoritmi che calcolano la stessa funzione, tranne quello di indice minimo).

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Funzioni calcolabili con Macchine di Turing

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Automi

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Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni

Ricapitolando, abbiamo che

#FS <= #AS < # Fda cui #FS < # F e,

essendo FS F, abbiamo finalmente

FS F

che era quanto volevamo dimostrare, cioè che l’insieme delle funzioni calcolabili in S è solo un sottoinsieme dell’insieme di tutte le funzioni dai naturali ai naturali.

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Funzioni calcolabili con Macchine di Turing

Introduzione

Automi

Macchine di Turing

Funzioni calcolabili con MdT

Problema dell’arresto

  • Vogliamo ora associare alla generica macchina di Turing Z una funzione dai naturali ai naturali, così come abbiamo fatto per il generico algoritmo A.

  • Bisogna definire innanzitutto una codifica dei numeri naturali in termini delle DI iniziali delle MdT

  • ci: N -> DI

  • Anche se non tutte le DI iniziali sono codifica di qualche naturale, ciò non importa. Invece, ad ogni naturale deve corrispondere una diversa DI iniziale.

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  • Bisogna poi definire una seconda (de)codifica tra le DI finali e i naturali

  • cf: Df -> N

  • In questo caso ogni naturale deve essere la decodifica di qualche DI finale, ma non necessariamente una sola.

  • Infine, ricordando che una MdT Z definisce una funzione parziale

  • gz : DI -> DF

  • allora la composizione delle tre funzioni ci, gz e cf definisce una funzione parziale fz : N -> N che è detta funzione calcolata dalla MdT Z.

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Come codifica ci scegliamo:

ad ogni numero naturale corrisponde una DI iniziale in cui tutto il nastro è bianco, eccetto una sequenza di n simboli s1 consecutivi, lo stato interno è q0 e la testina è posizionata col simbolo s1 più a sinistra.

Es. Al numero 3 corrisponde la DI iniziale

… s0s0 q0 s1 s1 s1 s0 s0s0 …

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Come codifica cf scegliamo:

il numero di s1 consecutivi alla destra della testina, compreso il simbolo puntato dalla testina stessa

Es. … s0s0 s1 s1s0 s1qi s1 s1 s0 s1 s0 s0corrisponde a 2

… s0s0 s1qi s0 s1 s0 s0 …vale 0

Con queste convenzioni resta univocamente individuata la funzione cioè la funzione calcolata dall’i-esima macchina di Turing.

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  • Consideriamo ora l’insieme di funzioni

  • FT = { | i = 1, 2, …}

  • Ci chiediamo:

  • quanto è ampia la classe FT ?

  • esiste una funzione f(x) non in FT ma calcolabile in altri formalismi?

  • A queste domande risponde la Tesi di Church o Tesi di Turing.

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  • Tesi di Church

  • La tesi di Church ci permette:

  • di fare riferimento all’insieme delle funzioni calcolabili FC senza specificare “con macchine di Turing”;

  • di assumere l’esistenza di una MdT equivalente per ogni algoritmo che sia intuitivamente tale.

Esamina in dettaglio ogni ragionevole passo elementare di ogni ragionevole definizione di algoritmo e fa vedere come tale passo possa essere realizzato con una MdT.

Sono solo intuitive, non costituiscono dimostrazione.


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  • Esistenza della macchina di Turing Universale

Un esempio molto importante di applicazione della tesi di Church è costituito dalla MdT universale.

  • Essa accetta come dati:

  • la descrizione di una certa MdT Zy;

  • il dato iniziale x.

Una MdT universale è quindi una particolare MdT capace di simulare, o di interpretare, ogni altra MdT.

Essa è la formalizzazione più corretta di un ordinario calcolatore, infatti introduce la possibilità di avere il programma memorizzato.

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Problema dell’arresto

L’aver dimostrato l’esistenza della MdT universale, ci mette di fronte ad un altro problema:

Esiste una MdT in gradi di decidere, per una qualsiasi coppia (M,d) costituita da una MdT M e da una stringa di dati d, se quando si fornisce d a M, questa si evolve fino ad arrestarsi (o meno)?

Turing ha dimostrato che la MdT universale non è in grado di decidere in ogni caso il problema dell’arresto, quindi nessuna MdT può farlo.

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  • Esempio

Proviamo a modificare questo semplice programma.

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  • Esempio

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Problema dell’arresto

L’ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono quattro interi x, y, z e n con n>2 tali che

xn + yn = zn

Supponiamo di prendere ora il nostro programma P.

Vogliamo trovare un programma che, preso in input il programma P e l’input I, dica se P (con l’input I) scrive “hello, world”.

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Problema dell’arresto

Se un problema ha un algoritmo come H, che dice sempre correttamente se un’istanza del problema ha risposta “si” o “no” allora il problema si dice decidibile, altrimenti si dice indecidibile.

Si prova che tale H non esiste per il nostro problema e cioè che il problema “hello, world” è indecidibile.

Questo risultato negativo costruisce un limite per tutti i meccanismi computazionali.

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  • Teorema di incompletezza di Gödel (primo)

L’indecidibilità del problema dell’arresto si dimostra equivalente al teorema di incompletezza di Gödel:

“In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T”

Questo teorema dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

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Fonti principali:

  • AIELLO, ALBANO, ATTARDI, MONTANARI

  • “Teoria della computabilità, logica, teoria dei linguaggi formali”

  • HOPCROFT, MOTWANI, ULLMAN

  • “Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation”

  • http://it.wikipedia.org

  • http://www.turing.org.uk

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