Aljabar Linear Elementer
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 30

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS PowerPoint PPT Presentation


  • 191 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS. Jadwal Kuliah Hari I jam Hari IIjam Sistem Penilaian UTS40% UAS40% Quis20%. Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Download Presentation

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Jadwal Kuliah

    • Hari I jam

    • Hari IIjam

  • Sistem Penilaian

    • UTS40%

    • UAS40%

    • Quis20%

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

REFERENSI :

  • Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York

  • Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung

  • Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore

  • Kreyszig E., , 1993, Advanced Enginereeng Mathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto

  • Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Matriks dan Operasinya

    Sub Pokok Bahasan

    • Matriks dan Jenisnya

    • Operasi Matriks

    • Operasi Baris Elementer

    • Matriks Invers (Balikan)

      Beberapa Aplikasi Matriks

    • Representasi image (citra)

    • Chanel/Frequency assignment

    • Operation Research

    • dan lain-lain.

MA-1223 Aljabar Linear


1 matriks dan jenisnya notasi matriks matriks a berukuran ordo m x n

Baris pertama

Unsur / entri /elemen ke-mn

(baris m kolom n)

1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo) mxn

Kolom kedua

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama

A dan B dikatakan sama (notasi A = B)

jika

aij= bijuntuk setiap i dan j

Jenis-jenis Matriks

  • Matriks bujur sangkar (persegi)

    Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)

    Contoh :

Unsur diagonal

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Matriks segi tiga

Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.

  • Matriks segi tiga atas

    Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

  • Matriks segi tiga bawah

    Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Matriks Diagonal

    Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur

    yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

  • Matriks satuan (Identitas)

     Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya

    adalah satu.

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Transpos Matriks

    Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya.

    Notasi At (hasil transpos matriks A)

    Contoh :

    maka

    Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan matriks Simetri.

    Contoh :

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :

  • Penjumlahan Matriks

  • Perkalian Matriks

    • Perkalian skalar dengan matriks

    • Perkalian matriks dengan matriks

  • Operasi Baris Elementer (OBE)

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Penjumlahan Matriks

    Syarat : Dua matriksberordo sama dapat

    dijumlahkan

    Contoh

    a.

    +

    b.

    +

8

6

12

10

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Perkalian Matriks

  • Perkalian Skalar dengan Matriks

    Contoh :

    =

  • Perkalian Matriks dengan Matriks

    Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn

    Syarat : A X B  haruslah q = m

    hasil perkalian AB berordo pxn

    B X A  haruslah n = p

    hasil perkalian BA berordo mxq

    Contoh :

    Diketahui

    dan

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Maka hasil kali A dan B adalah :

Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama

dan ,  merupakan unsur bilangan Riil,

Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :

  • A + B = B + A

  • A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

  •  ( A + B ) = A + B

  • ( +  ) ( A ) = A + A

ap+bq+cr

as+bt+cu

ds+et+fu

dp+eq+fr

2x2

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Contoh :

Diketahui matriks :

Tentukan

  • A At

  • At A

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Jawab :

maka

5

4

-2

-2

-3

13

-3

-2

1

sedangkan

-4

14

5

-4

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Operasi Baris Elementer (OBE)

    Operasi baris elementer meliputi :

    1. Pertukaran Baris

    2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

    3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan

    konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris

    yang lain.

    Contoh : OBE 1

Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2)

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

OBE ke-2

¼ b1 ~

OBE ke-3

Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼

5

0

1

1

Perkalian (–2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3)

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Beberapa definisi yang perlu diketahui :

    • Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

    • Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

    • Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

    • Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Sifat matriks hasil OBE :

  • Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).

  • Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

  • Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

  • Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

    Matriks dinamakan esilon baris jika

    dipenuhi sifat 1, 2, dan 3

    Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika

    dipenuhi semua sifat

(Proses Eliminasi Gauss)

(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Contoh :

Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari

Jawab :

0

1

1

5

0 1 1 5 0 2 1 7

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

0

0

-3

-1

0

0

1

3

0

0

1

2

1

1

0

0

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama.

Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Invers Matriks

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.

B dinamakan invers dari A jika dipenuhi

A B = I dan B A = I

Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.

Notasi A = B-1

Cara menentukan invers suatu matriks A adalah

OBE

~

Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas maka A dikatakan tidak punya invers

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Contoh :

Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Jawab :

b1↔b2 ~

-3b1+b2

2b1+b3

0

-1

-1

-3

1

0

0

0

1

0

2

1

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

-b2

-b3+ b2

-b2+ b1

Jadi Invers Matriks A adalah

-1

3

0

0

1

1

1

0

-1

-1

0

1

1

0

1

0

1

0

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Perhatikan bahwa :

    dan

    maka

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

  • Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :

  • (A-1)-1 = A

  • Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers

  • maka (A . B)-1 = B-1 . A-1

  • iii. Misal k  Riil maka(kA)-1 =

iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Latihan

Diketahui

, dan

Tentukan (untuk no 1 – 5) matriks hasil operasi berikut ini :

1. AB

2. 3CA

3. (AB)C

  • (4B)C + 2C

MA-1223 Aljabar Linear


Aljabar linear elementer ma1223 3 sks

Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :

dan

5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)

6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A, B, C, D, dan E

7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)

MA-1223 Aljabar Linear


  • Login