review aljabar linear
Download
Skip this Video
Download Presentation
Review Aljabar Linear

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 39

Review Aljabar Linear - PowerPoint PPT Presentation


  • 146 Views
  • Uploaded on

Review Aljabar Linear. Matrix Operations. Transpose. Review. Inverses & Orthogonality. Eigenvalues & Rank. Idempotent Matrix & Trace. Matrix Operation. Pengertian Matriks.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Review Aljabar Linear' - renate


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
review aljabar linear
Review Aljabar Linear

Matrix Operations

Transpose

Review

Inverses & Orthogonality

Eigenvalues & Rank

Idempotent Matrix & Trace

pengertian matriks
PengertianMatriks
  • Matriks:kumpulanbilangan, simbol, atauekspresi, berbentukpersegi yang disusunmenurutbarisdankolom
  • Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut  elemen atau anggota matriks
  • Contoh:
beberapa operasi matriks
BeberapaOperasiMatriks
  • Misal X dan Y adalah matriks berdimensi n x k, anggota matriks X dan Y adalah xij dan yij; i= 1,2,..,n; j= 1,2,..,k
  • X + Y : matriks beranggota xij + yij
  • X - Y : matriks beranggota xij - yij
  • cX : matriks beranggota cxij
  • Misal X dan Y: matriks berdimensi n x k dan k x m, maka perkalian XY:
sifat sifat operasi matriks
Sifat-sifatOperasiMatriks
  • Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+Y = Y+X
  • Jika X dan Y: matriksn x k, maka X+(Y+Z) = (X+Y)+Z
  • Jika X dan Y conformable, maka X(YZ) = (XY)Z
  • Jika X matriks n x k, Ydan Zmatriks k x m, maka X(Y+Z) = (XY+XZ)
  • Jika X matriks n x k, Ydan Zmatriks m x n, maka (Y+Z)X = (YX+ZX)
  • Jika X(n x k), Y(k x m), dan c angka riil, maka X(cY) = c(XY)
  • Jika a dan b angka riil, X(n x k), maka (a+b)X = aX + bX
  • Jika X dan Y: matriks n x k, maka c(X+Y) = cY + cX
  • Jika X matriks n x k, 0 matriksnol, maka X+0 = 0+X = X
  • Jika X matriks n x k, Y negatif matriks X, maka X+Y = 0
partisi matriks
PartisiMatriks

Bila:

Maka: XY=?

pengertian transpose
PengertianTranspose
  • Transposedarisuatumatriksadalahmengubahkomponen-komponendalammatriks, dari yang barismenjadikolom, dan yang kolomdiubahmenjadibaris
  • Contoh:
sifat sifat transpose
Sifat-sifatTranspose
  • Jika X(n x k), dan c angka riil, maka (cX)T = cXT
  • Jika X dan Y: matriksn x k, maka (X ± Y)T = XT ± YT
  • Jika X(n x k), maka (XT) T = X
  • Jika X matriks n x k, dan Ymatriks k x m, maka (XY)T = YT XT
  • Jika X suatu matriks simetris jika dan hanya jika XT = X
  • Contoh:
pengertian invers matriks balikan
PengertianInvers(MatriksBalikan)
  • Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A apabila: A B = B A = I atau B = A-1 dan A = B-1
  • Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dapat dikatakan sebagai matriks tunggal (singular)
  • Contoh:
sifat sifat invers
Sifat-sifatInvers
  • Jika matriks X nonsingular, maka X-1 juga nonsingular dan (X-1)-1 = X
  • Jika X dan Y nonsingular (k x k), maka XY juga nonsingular dan (XY)-1 = Y-1X-1
  • Jika X nonsingular, maka XT juga nonsingular dan (XT)-1 = (X-1)T
penghitungan determinant suatu matriks
PenghitunganDeterminant suatuMatriks
  • Determinan: suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar
  • Ordo 2x2
penghitungan determinant suatu matriks1
PenghitunganDeterminant suatuMatriks
  • Ordo 3x3
  • Metode Penentuan Determinant:

Dengan Minor dan Kofaktor

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

Metode Sarrus

Determinant matriks segitiga atas

penghitungan determinant suatu matriks2
PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Minor dan Kofaktor

penghitungan determinant suatu matriks3
PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Minor dan Kofaktor

penghitungan determinant suatu matriks4
PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

penghitungan determinant suatu matriks5
PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

penghitungan determinant suatu matriks6
PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

penghitungan determinant suatu matriks8
PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Determinant matriks segitiga atas (multi ordo)

orthogonality matrix
Orthogonality Matrix

Jika X matriks(k x k) sedemikian bahwa XTX = I, maka matriks A dikatakan orthogonal

  • Implikasi:

Setiap matriks ortogonal adalah square

Karena XTX = I, maka X-1 = XT

  • Vektor x dan y (nx1) ortogonal jika dan hanya jika:
pengertian eigenvalues
PengertianEigenvalues
  • Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhipersamaan Ax = λx, dimanaλadalahskalar. Makaλadalahsuatueigenvaluesdari A yang terkaitdenganeigenvactor x
  • Penentuan besaran eigenvalues:

Ax = λx

(A – λI)x = 0

atau

X = (A – λI)-10= 0

Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus:

pengertian eigenvalues1
PengertianEigenvalues
  • Contoh:

mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4

eigenvalues dan eigenvector
EigenvaluesdanEigenvector

Untuk matrix A dengan eigenvalue, maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x , disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan .

eigenvalues dan eigenvector1
Eigenvaluesdan Eigenvector

Dari contoh sebelumnya:

eigenvalues = -6 dan  = 4,

eigenvector dari A yang berhubungan dengan  = -6 adalah:

Untuk x1=1 maka x2 = –2.

eigenvalues dan eigenvector2
Eigenvalues dan Eigenvector

Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu:

Untuk contoh sebelumnya diperoleh:

Sehingga pemilihan sembarang x1=1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan  = -6.

eigenvalues dan eigenvector3
Eigenvalues dan Eigenvector

Untuk eigenvalue  = 4, diperoleh:

Dengan sembarang pemilihan x1=1, menghasilkan solusi x2 =1/2.

slide32

Eigenvalues and Eigenvectors

Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:

latihan
Latihan

Tentukan eigenvalues dan eigenvector darimatriksberikut:

pengertian rank
PengertianRank
  • Rank dari matriks X (dinyatakan dengan r(X): banyaknya vektor linier independen terbesar yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A.
  • Sifat:

Misal X(n x k) dengan rank k dimana n ≥ k (full rank), maka r(X) = r(X’) = r(X’X) = k

Matriks X(k x k) nonsingular jika dan hanya jika r(X) = k

Jika matriks X(n x k), matriks P(n x n) dan Q(k x k) nonsingular, maka r(X) = r(PX) = r(XQ)

Rank dari suatu diagonal matriks = jumlah kolom nonzero

Rank dari XY atau r(XY) ≤ r(X) dan r(XY) ≤ r(Y)

pengertian rank1
PengertianRank

Contoh:

Karena a3 = ½ a1 + ½ a2, serta a1 dan a2linear independent maka rank dari A adalah 2

Jika A (nxp) dengan n  p dan rank A = p maka A disebut matriks ber-rank penuh (full rank)

pengertian idempotent matrix
PengertianIdempotent Matrix
  • Matriks A dikatakan idempotent matriks jika A2 = A.
  • Contoh:

Misal X(n x k) matriks full rank. Ingin dibuktikan bahwa matriks H(n x n) = X(X\'X)-1X\' adalah idempotent matriks

H2 = [X(X\'X)-1X\' ] [X(X\'X)-1X\' ]

= X(X\'X)-1(X\' X)(X\'X)-1X\'

karena (X\'X)(X\'X)-1 = 1, maka:

H2 = X(X\'X)-1X\' = H

pengertian trace
PengertianTrace
  • Tracedarimatriks A(kx k), dinyatakansebagaitr(X): jumlahseluruhnilaipada diagonal utama.
  • Formula:
  • Contoh:
sifat trace
SifatTrace
  • Misal c suatu angka riil, maka tr(cX) = ctr(X)

tr(X ± Y) = tr(X) ± tr(Y)

Jika X(n x p) dan Y(p x n), maka tr(XY) = tr(YX)

Contoh (3):

ad