Review Aljabar Linear

1 / 39

# Review Aljabar Linear - PowerPoint PPT Presentation

Review Aljabar Linear. Matrix Operations. Transpose. Review. Inverses &amp; Orthogonality. Eigenvalues &amp; Rank. Idempotent Matrix &amp; Trace. Matrix Operation. Pengertian Matriks.

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.

## PowerPoint Slideshow about ' Review Aljabar Linear' - renate

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Review Aljabar Linear

Matrix Operations

Transpose

Review

Inverses & Orthogonality

Eigenvalues & Rank

Idempotent Matrix & Trace

PengertianMatriks
• Matriks:kumpulanbilangan, simbol, atauekspresi, berbentukpersegi yang disusunmenurutbarisdankolom
• Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut  elemen atau anggota matriks
• Contoh:
BeberapaOperasiMatriks
• Misal X dan Y adalah matriks berdimensi n x k, anggota matriks X dan Y adalah xij dan yij; i= 1,2,..,n; j= 1,2,..,k
• X + Y : matriks beranggota xij + yij
• X - Y : matriks beranggota xij - yij
• cX : matriks beranggota cxij
• Misal X dan Y: matriks berdimensi n x k dan k x m, maka perkalian XY:
Sifat-sifatOperasiMatriks
• Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+Y = Y+X
• Jika X dan Y: matriksn x k, maka X+(Y+Z) = (X+Y)+Z
• Jika X dan Y conformable, maka X(YZ) = (XY)Z
• Jika X matriks n x k, Ydan Zmatriks k x m, maka X(Y+Z) = (XY+XZ)
• Jika X matriks n x k, Ydan Zmatriks m x n, maka (Y+Z)X = (YX+ZX)
• Jika X(n x k), Y(k x m), dan c angka riil, maka X(cY) = c(XY)
• Jika a dan b angka riil, X(n x k), maka (a+b)X = aX + bX
• Jika X dan Y: matriks n x k, maka c(X+Y) = cY + cX
• Jika X matriks n x k, 0 matriksnol, maka X+0 = 0+X = X
• Jika X matriks n x k, Y negatif matriks X, maka X+Y = 0
PartisiMatriks

Bila:

Maka: XY=?

PengertianTranspose
• Contoh:
Sifat-sifatTranspose
• Jika X(n x k), dan c angka riil, maka (cX)T = cXT
• Jika X dan Y: matriksn x k, maka (X ± Y)T = XT ± YT
• Jika X(n x k), maka (XT) T = X
• Jika X matriks n x k, dan Ymatriks k x m, maka (XY)T = YT XT
• Jika X suatu matriks simetris jika dan hanya jika XT = X
• Contoh:
PengertianInvers(MatriksBalikan)
• Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A apabila: A B = B A = I atau B = A-1 dan A = B-1
• Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dapat dikatakan sebagai matriks tunggal (singular)
• Contoh:
Sifat-sifatInvers
• Jika matriks X nonsingular, maka X-1 juga nonsingular dan (X-1)-1 = X
• Jika X dan Y nonsingular (k x k), maka XY juga nonsingular dan (XY)-1 = Y-1X-1
• Jika X nonsingular, maka XT juga nonsingular dan (XT)-1 = (X-1)T
PenghitunganDeterminant suatuMatriks
• Determinan: suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar
• Ordo 2x2
PenghitunganDeterminant suatuMatriks
• Ordo 3x3
• Metode Penentuan Determinant:

Dengan Minor dan Kofaktor

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

Metode Sarrus

Determinant matriks segitiga atas

PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Minor dan Kofaktor

PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Minor dan Kofaktor

PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

PenghitunganDeterminant suatuMatriks

Determinant matriks segitiga atas (multi ordo)

Orthogonality Matrix

Jika X matriks(k x k) sedemikian bahwa XTX = I, maka matriks A dikatakan orthogonal

• Implikasi:

Karena XTX = I, maka X-1 = XT

• Vektor x dan y (nx1) ortogonal jika dan hanya jika:
PengertianEigenvalues
• Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhipersamaan Ax = λx, dimanaλadalahskalar. Makaλadalahsuatueigenvaluesdari A yang terkaitdenganeigenvactor x
• Penentuan besaran eigenvalues:

Ax = λx

(A – λI)x = 0

atau

X = (A – λI)-10= 0

Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus:

PengertianEigenvalues
• Contoh:

mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4

EigenvaluesdanEigenvector

Untuk matrix A dengan eigenvalue, maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x , disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan .

Eigenvaluesdan Eigenvector

Dari contoh sebelumnya:

eigenvalues = -6 dan  = 4,

eigenvector dari A yang berhubungan dengan  = -6 adalah:

Untuk x1=1 maka x2 = –2.

Eigenvalues dan Eigenvector

Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu:

Untuk contoh sebelumnya diperoleh:

Sehingga pemilihan sembarang x1=1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan  = -6.

Eigenvalues dan Eigenvector

Untuk eigenvalue  = 4, diperoleh:

Dengan sembarang pemilihan x1=1, menghasilkan solusi x2 =1/2.

Eigenvalues and Eigenvectors

Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:

Latihan

Tentukan eigenvalues dan eigenvector darimatriksberikut:

PengertianRank
• Rank dari matriks X (dinyatakan dengan r(X): banyaknya vektor linier independen terbesar yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A.
• Sifat:

Misal X(n x k) dengan rank k dimana n ≥ k (full rank), maka r(X) = r(X’) = r(X’X) = k

Matriks X(k x k) nonsingular jika dan hanya jika r(X) = k

Jika matriks X(n x k), matriks P(n x n) dan Q(k x k) nonsingular, maka r(X) = r(PX) = r(XQ)

Rank dari suatu diagonal matriks = jumlah kolom nonzero

Rank dari XY atau r(XY) ≤ r(X) dan r(XY) ≤ r(Y)

PengertianRank

Contoh:

Karena a3 = ½ a1 + ½ a2, serta a1 dan a2linear independent maka rank dari A adalah 2

Jika A (nxp) dengan n  p dan rank A = p maka A disebut matriks ber-rank penuh (full rank)

PengertianIdempotent Matrix
• Matriks A dikatakan idempotent matriks jika A2 = A.
• Contoh:

Misal X(n x k) matriks full rank. Ingin dibuktikan bahwa matriks H(n x n) = X(X\'X)-1X\' adalah idempotent matriks

H2 = [X(X\'X)-1X\' ] [X(X\'X)-1X\' ]

= X(X\'X)-1(X\' X)(X\'X)-1X\'

karena (X\'X)(X\'X)-1 = 1, maka:

H2 = X(X\'X)-1X\' = H

PengertianTrace
• Tracedarimatriks A(kx k), dinyatakansebagaitr(X): jumlahseluruhnilaipada diagonal utama.
• Formula:
• Contoh:
SifatTrace
• Misal c suatu angka riil, maka tr(cX) = ctr(X)

tr(X ± Y) = tr(X) ± tr(Y)

Jika X(n x p) dan Y(p x n), maka tr(XY) = tr(YX)

Contoh (3):