Sistem persamaan aljabar linear
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 18

Sistem Persamaan Aljabar Linear PowerPoint PPT Presentation


  • 265 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Sistem Persamaan Aljabar Linear. Persamaan Linear Persamaan berikut adalah bentuk persamaan linear: dimana: a 1 , a 2 ,…, a n , dan b adalah konstanta dan x 1 , x 2 ,…, x n adalah variabel yang tidak diketahui . System persamaan Aljabar Linear

Download Presentation

Sistem Persamaan Aljabar Linear

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Sistem persamaan aljabar linear

Sistem Persamaan Aljabar Linear

  • Persamaan Linear

    Persamaan berikut adalah bentuk persamaan linear:

    dimana: a1,a2,…, an, dan b adalah konstanta dan x1,x2,…, xn adalah variabel yang tidak diketahui.

  • System persamaan Aljabar Linear

    System persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear dalam variabel x1,x2,…, xn .

    Barisan bilangan s1, s2,… snadalah solusi system persamaan linear apabila x1= s1 , x2= s2 … xn =sn memenuhi setiap persamaan linear dalam system.


S0262 analisis numerik

S0262 Analisis Numerik

  • Sistem Persamaan Linear

    Note:Ada tiga kemungkin tentang solusi SPL yaitu mempunyai hanya 1 set solusi, tidak mempunyai solusi, atau mempunyai banyak solusi

    Contoh:

Suatu system yg mempunyai banyak solusi

diantaranya: x1=1, x2=2, and x3=-1

Suatu system yg mempunyai hanya 1 solusi

yaitu: x1=2, and x2=1

Suatu system yg tidak mempunyai solusi


Sistem persamaan aljabar linear

S0262 Analisis Numerik

  • Bentuk umum

    m persamaan dan n yang tidak diketahui

  • System persamaan Linear dlm Augmented Matrices


Sistem persamaan aljabar linear

S0262 Analisis Numerik

  • Contoh

    3 pers., 3 yg tdk diketahui

    Metode untuk menyelesaikan SPL adalah dgn mengubah system yg ada menjadi system yg lebih sederhana. Secara umum langkah2 nya diberikan di bawah ini.

    • Mengalikan satu atau lebih dari persamaan yg ada dengan suatu pengali

    • Mempertukarkan letak persamaan

    • Menambah suatu persamaan dengan persamaan yg lain

      Note: Langkah-langkah diatas akan berlaku juga terhadap Matriks AUGMENTED dari persamaan tersebut.

Augmented matrix


S0262 analisis numerik1

S0262 Analisis Numerik

Operasi Baris dlm mencari solusi SPL:

1. Kurangkan 2 kali baris 1 dari baris kedua dan 3 kali baris 1 dari baris ketiga

2. Kalikan baris kedua dengan 1/2., maka akan diperoleh


S0262 analisis numerik2

S0262 Analisis Numerik

  • Eliminasi Gauss(EG)

    • EG adalah prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL tsb ke dalam bentuk yg lebih sederhana:

      Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk row-echelon (Echelon baris).

      Bentuk Row-echelon :

  • Unsur (entri) yang bukan nol pertama pada setiap barisnya adalah angka 1 yang disebut dengan angka-1 pemimpin (leading 1)

  • Setiap baris yang mempunyai unsur seluruhnya angka-0 diletakkan dibaris bawah

  • Angka-1 pemimpin pada baris yang lebih bawah akan terletak kesebelah kanan angka-1 pemimpin pada baris diatasnya.


  • S0262 analisis numerik3

    S0262 Analisis Numerik

    • Eliminasi Gauss-Jordan(EGJ)

      • Sebagaimana halnya pada eliminasi Gauss (EG), EGJ adalah juga prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL.

        Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk Echelon baris yang disederhanakan.

  • Bentuk Echelon baris yang disederhanakan.

    Matriks dalam bentuk echelon baris yang disederhanakan adalah matriks echelon baris dimana pada setiap kolom yang telah mengandung angka-1 pemimpin maka setiap entri lain dalam kolom yang sama hanya diisi oleh angka-0.


  • S0262 analisis numerik4

    S0262 Analisis Numerik

    • Matriks Bentuk Echelon-baris

      Contoh:

    • Matriks Bentuk Echelon-baris yg disederhanakan

      Contoh:


    S0262 analisis numerik5

    S0262 Analisis Numerik

    • Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss

    • Tuliskan sistim persamaan aljabar linear yang akan diselesaikan dalam bentuk matriks augmented

    • Jika diperlukan pertukarkan baris paling atas dari matriks tsb dengan baris yang lain sehingga angka-0 bukan merupakan angka pertama dalam baris paling atas tersebut

    • Jika entri pertama dalam baris-1 bukan angka-0 kalikan/bagikan semua entri pada baris tersebut dengan suatu bilangan tertentu untuk menghasilkan angka-1 pemimpin.

    • Lakukan operasi baris (penjumlahan/pengurangan) pada baris-baris dibawahnya untuk mendapatkan seluruh entri dibawah angka-1 pemimpin seluruhnya angka-0.

    • Lakukan langkah 2, 3, dan 4 sampai diperoleh suatu matriks dalam bentuk echelon-baris

    • Dari matriks yang diperoleh pada langkah-5 diatas lakukan subsitusi balik untuk mendapatkan harga variabel yang dicari


    S0262 analisis numerik6

    S0262 Analisis Numerik

    • Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss-Jordan

    • Lakukan langkah-langkah 1, 2, 3, 4 dan 5 pada Eliminasi Gauss diatas

    • Biasanya dimulai dari baris yang paling bawah, lakukan operasi baris sedemikian sehingga seluruh entri diatas angka-1 pemimpin semuanya menjadi angka-0.

    • Ulangi langkah 2 diatas untuk baris-baris yang lebih atas sehingga menghasilkan matriks dalam bentuk echelon-baris yang disederhanakan.


    S0262 analisis numerik7

    S0262 Analisis Numerik

    • Contoh Soal:

      Selesaikan sistim persamaan linear di bawah ini dengan Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan :

    Jawab: Eliminasi Gauss Matriks Augmented


    S0262 analisis numerik8

    S0262 Analisis Numerik

    Jawab: Eliminasi Gauss (sambungan, lihat hal. sebelumnya)

    Subsitusi balik:

    Baris ke-2 y-7/2 z = 19/2 y= 19/2 –21/2=-1

    Baris ke-1 x + y + 2z=-6x=-6-y-2 z=1

    Solusi: x=1; y=-1; dan z=-3


    S0262 analisis numerik9

    S0262 Analisis Numerik

    Jawab: Eliminasi Gauss-Jordan

    Dari hasil Eliminasi Gauss:

    Latihan: Kerjakan soal no. 2 pada lembaran sebelumnya dengan mengikuti prosedur yang sama


    S0262 analisis numerik10

    S0262 Analisis Numerik

    • ATURAN CRAMER

      Teori 8: Solusi dari sistem pers. linear yg terdiri dari n pers. Linear dng n yang tdk diketahui Ax=b (det(A)0) adalah sbb:

      dimana Aj diperoleh dari matriks A dgn mengganti kolom ke- j dengan matriks


    S0262 analisis numerik11

    S0262 Analisis Numerik

    • ATURAN CRAMER

      Contoh/Latihan: Gunakan aturan Cramer untuk menyelesakan sistem persamaan linear berikut:

      Jawab:


    S0262 analisis numerik12

    S0262 Analisis Numerik

    • Metode Gauss-Seidel

      Misalkan sistim persamaan aljabar linear tsb dapat ditulis sbb:


    S0262 analisis numerik13

    S0262 Analisis Numerik

    • Metode Gauss-Seidel

      Persamaan sebelumnya dapat diselesaikan dapat dikerjakan secara iteratif dengan menggunakan harga tebakan awal. Untuk mudahnya harga tebakan awal dapat dianggap bahwa harga semua x1, x2, …., xn=0. Harga ini dapat diperbaharui dengan menggunakan persamaan sebelumnya misalkan akan diperoleh x1=b1/a11; dan harga ini akan dimasukkan pada persamaan berikutnya untuk mendapatkan harga x2, dst. Prosedur iteratif ini akan diulangi sampai diperoleh ketelitian yang diinginkan menurut kriteria kesalahan relatif yang telah dibicarakan sebelumnya:


    S0262 analisis numerik14

    S0262 Analisis Numerik

    • Metode Gauss-Seidel

      Contoh/Latihan: Gunakan Metode Gauss-Seidel untuk menyelesakan sistem persamaan linear berikut, kesalahan relatif <5%.

    Gunakan tebakan awal x1=x2=x3=0 Harga ini akan diperbaharui sbb:

    Itersai berikutnya akan diperoleh:


  • Login