ME623A Planejamento e Pesquisa

1. ME623APlanejamentoePesquisa

2. 4. ExperimentosemBlocos • BlocosCompletoseAleatorizados • Definição • AnáliseEstatística • Decomposiçãoda Soma de Quadrados • TabelaAnova • Estimação dos Parâmetros • Quadrado Latino • Quadrado Greco-Latino • BlocosBalanceadosIncompletos • DelineamentoCruzados

3. Experimentos em Blocos • Em qualquer experimento, a variabilidade devido a um fator ruído pode afetar os resultados • Fator ruído: fator que provavelmente tem um efeito na resposta, mas não estamos interessados no seu efeito • Típicos fatores ruídos são: fonte de máteria-prima, diferentes operadores, pacientes em um estudo, turno ou dia em que o experimento é realizado

4. Experimentos em Blocos • Bloco: conjunto de UE similares ou homogêneas • Na agricultura: típico bloco é um conjunto contíguo de terrenos em que todas as condições (fertilidade, umidade, etc) são similares, isto é, os terrenos são homogêneos • Estudos com humanos: sexo e faixa etária são geralmente definidos como blocos

5. ExperimentosCompletamenteAleatorizados versus BlocosCompletosAleatorizados • ExperimentosCompletamenteAleatorizados • BlocosCompletosAleatorizados Cada retângulo pontilhado é um bloco

6. Exemplo • Considere um experimento em que uma máquina de medir a dureza de um material pressiona uma ponteira em uma placa de metal com força conhecida • Medindo a profundidade do furo causado pela ponteira, podemos determinar a dureza da placa • Temos quatro ponteiras e queremos determinar se existe diferença entre as leituras produzidas pela máquina para essas quatro ponteiras • O experimentador irá obter quatro medições por ponteira

7. Exemplo • Unidades Experimentais (UE): placas de metal • Fator: tipo de ponteira • Num experimento completamente aleatorizado, precisaríamos de 4x4=16 placas de metal • Possível problema: as placas de metal podem apresentar pequenas diferenças na sua dureza • Estas podem ter sido feitas por fundimentos que foram obtidos em diferentes aquecimentos • Nesse caso, a placa de metal (UE) está contribuindo para a variabilidade da resposta • O erro experimental refletiria tanto o erro aleatório quanto a variabilidade entre as placas

8. Exemplo da Ponteira • Iremos utilizar o delineamento “Blocos Completos Aleatorizados” • Objetivo: Eliminar o efeito dos blocos, diminuindo o erro experimental

9. Blocos Completos Aleatorizados Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

10. Modelo Estatístico – Efeitos Fixos • As observações são descritas através do modelo: • Restrições:

11. Hipóteses de Interesse • Assim como no experimento com um único fator, queremos testar se: • Como a média do i-ésimo tratamento é podemos reescrever as hipóteses como:

12. Notação

13. Decomposição da Soma de Quadrados • Soma de Quadrados Total (SST) • Exercício: Demonstrar!

14. Graus de Liberdade das SS Pelo Teorema de Cochran, pode-se mostrar que: são v.a.qui-quadrado independentes

15. Quadrados Médios (MS) • Quadrado Médio do Erro (MSE) • Quadrado Médio do Fator A (MSA) • Quadrado Médio dos Blocos (MSBlocos)

16. Valor Esperados dos MS • MSE é um estimador não viciado de σ2 • Sob , MSAtambém é um estimador não viciado de σ2

17. Construção do Teste F • Um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA • Estatística do Teste • Calcula-se o p-valor = • Rejeita-se H0se p-valor < α ou, de forma equivalente, se

18. Tabela ANOVABlocos Completos Aleatorizados • As SS podem ser simplificadas como: • SSE é obtida pela subtração:

19. Comparação das Médias dos Blocos? • Se comparássemos as médias dos blocos, poderí-amos verificar se a blocagem foi útil ou não • As hipóteses seriam: • Seriaentão natural usarcomoestatística do teste a razão entre MSBlocoseMSE • Porém, lembre-se que a aleatorizaçãofoiaplicadaapenasaostratamentosdentro de cadabloco, istoé, osblocosrepresentamumarestriçãonaaleatorização

20. Exemplo da Ponteira • As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo • Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal

21. Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras Queremos testar se: • Calcular SST, SSA, SSBlocose SSE • Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira

22. Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras

23. Tabela ANOVABlocos Completos AleatorizadosExemplo Ponteiras No R > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 *** factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 *** Residuals 9 0.080 0.008889 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

24. Análise EstatísticaExemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05 Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

25. Tabela ANOVAExperimento com Um FatorExemplo Ponteiras Não Rejeita H0 No R, desconsiderandooefeito dos blocos > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196 Residuals 12 0.905 0.075417

26. Análise Estatística – Ignorando Efeito dos BlocosExemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

27. Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18