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ME623 Planejamento e Pesquisa. 3. Experimentos com um Único Fator ( Completamente Aleatorizados ). Estimador de σ 2. Soma de Quadrados dos Erros O termo entre colchetes dividido por n – 1 é a variância amostral para o i -ésimo tratamento: Então um estimador de σ 2 é dado por.
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3. Experimentos com um ÚnicoFator (CompletamenteAleatorizados)
Estimador de σ2 • Soma de Quadrados dos Erros • O termo entre colchetes dividido por n – 1 é a variância amostral para o i-ésimo tratamento: • Então um estimador de σ2 é dado por
Construção do Teste F (Intuição) • Se não existe diferença entre as médias, pode-se também usar a variação entre tratamentos para estimar σ2 • Isso se deve ao fato que . Então também é um estimador de σ2. • Portanto, no caso de igualdade das médias, MSE e MSA deveriam ser próximos. • Caso contrário, suspeita-se que a diferença seja causada pela diferença nas médias dos tratamentos.
Quadrados Médios (MS) • A quantidade é chamada de Quadrado Médio • Quadrado Médio do Erro (MSE) • Quadrado Médio do Fator A (MSA)
Construção do Teste F (formal) • O valor esperado de cada Quadrado Médio: • MSE é um estimador não viciado de σ2 • Sob , MSAtambém é um estimador não viciado de σ2. • Então, um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA. Exercício: Prove essas igualdades!!
Construção do Teste F • Assumimos que • Isso implica que • Então, as quantidades SST, SSA e SSE são somas de quadrados de v.a. normais e pode-se mostrar que SSE e SSA são independentes?
Construção do Teste F • Como pelo Teorema de Cochran temos que e são v.a.qui-quadrado independentes. • Temos então a estatística do teste • Se H0 é falsa, o valor esperado de MSA é maior que o valor esperado de MSE e então, devemos rejeitar H0 para valores grande de F0 , isto é, rejeita H0 se
Tabela ANOVAÚnico Fator com Efeito Fixo Mostre que as SS podem ser simplificadas como: SSE é obtida pela subtração:
Análise EstatísticaExemplo Fibra Sintética Queremos testar se: • Calcular SST, SSA e SSE • Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão
Tabela ANOVAExemplo Fibra Sintética No R, usando a funçãoaov > dados <- read.table(“DadosAlgodao.txt”, header=TRUE) > fit <- aov(Obs ~ factor(Algodao), data=dados) > summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Algodao) 4 475.8 118.94 14.76 9.13e-06 *** Residuals 20 161.2 8.06 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Análise EstatísticaExemplo Fibra Sintética Gráfico da Distribuição F(4,20), α=0.05 Conclusão: Como F0 = 14.76 > 2.87 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, a porcentagem de algodão na fibra afeta significativamente a resistência média.
Estimação dos Parâmetros • No modelo com um único fator os parâmetros são estimador por: • Pela suposição que , temos Onde
Intervalos de Confiança • Para a média do i-ésimo tratamento (μi) • Um 100(1 - α)% IC para μi é: • Similarmente, um IC para a diferença das médias de dois tratamentos (μi – μj) é
Dados Não-Balanceados • Número de observações/replicações sob os tratamentos diferem • A Análise de Variância mostrada anteriormente pode ser usada com pequenos ajustes. • Seja ni o número de observações dentro do i-ésimo tratamento e • Então:
Exercício ME623A – Aula 4 – 19/08/2013
