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ME623A Planejamento e Pesquisa. 4. Experimentos em Blocos. Blocos Completos Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Blocos Balanceados Incompletos
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4. ExperimentosemBlocos • BlocosCompletosAleatorizados • Definição • AnáliseEstatística • Decomposiçãoda Soma de Quadrados • TabelaAnova • Estimação dos Parâmetros • Quadrados Latinos • Quadrados Greco-Latinos • BlocosBalanceadosIncompletos • DelineamentoCruzados
Quadrados Latinos • Tipo de experimento muito eficiente • Permite controlar (ou eliminar) o efeito de dois fatores de perturbação/ruído, isto é, permite blocagem em duas direções • Lembre-se que nos experimentos com blocos controlamos um único fator ruído • O nome quadrado latino vem do fato que o experimento está disposto na forma de um quadrado e cada tratamento é representado por uma letra do alfabeto latino (A, B, C, D, etc) Vitral em homenagem a Fisher
Quadrados Latinos • Universidade de Cambridge, CaiusCollege • Vitral em homenagem a Fisher • No topo, o diagrama de Venn • E na parte de baixo, um quadrado latino 7x7
Quadrados Latinos • Nesse tipo de experimento, as linhas e as colunas representam restrições na aleatorização • O número de tratamentos é mesmo que o número de linhas e de colunas • De forma geral, um quadrado latinho axa é um quadrado contendo a linhas e a colunas, sendo que cada uma das a células contém uma das a letras correspondentes aos tratamentos • Cada letra ocorre apenas uma vez em cada linha e em cada coluna
Exemplos de Quadrados Latinos Para um dado número de tratamentos a, existem vários quadrados latinos possíveis
Número Total de Possíveis Quadrados Latinos Um quadrado padrão é um quadrado com a 1ª linha e 1ª coluna com as letras em ordem alfabética
Exemplo – Propulsores de Foguetes • Um pesquisadorestáinteressadoemestudarosefeitos de diferentesformulações de propulsores de foguetesusadosemsistema de fugadatripulação (assentoejetor, por ex.) emtermosvelocidade de queima (istoé, oquãorápidoosistemaejetaostripulantes) • Cadaformulaçãoémisturada a partir de um lote de matéria-prima, suficienteparatestar 5 formulações • Além disso, as formulaçõessão preparadasporoperadoresdiferentes • Duasfontes de perturbação: operadoreselotes de matéria-prima
Exemplo - Propulsores de Foguetes • Temos 5 tratamentos representados pelas letras A, B, C, D e E • Note que cada letra aparece exatamente uma vez em cada linha e coluna
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos • As observações são descritas através do modelo: • Modelo completamente aditivo: não interação entre linhas, colunas e tratamentos
Decomposição da Soma de Quadrados • Soma de Quadrados Total (SST) em que,
Análise de Variância • A Análise de Variância decompõe a SST das N=a2 observações em com respectivos graus de liberdade • Sob a suposição de normalidade dos erros e pelo Teorema de Cochran, são v.a.qui-quadrado independentes
Teste de Hipóteses • Assim como anteriormente, queremos testar se: • A estatística do teste é: • Podemos também testar se os efeitos das linhas e das colunas são zero, mas como estas são restrições na aleatorização, os testes podem não ser apropriados.
Exemplo - Propulsores de Foguetes • Aparentemente, a velocidade de queima difere para diferentes formulações • Vamos olhar também os gráficos de velocidade de queima por lote de máteria-prima e operador Figura: Velocidade de Queima por Formulação
Exemplo - Propulsores de Foguetes Figura: Velocidade de Queima por Operador Figura: Velocidade de Queima por Lote
Exemplo dos Propulsores de Foguetes Calculando as médias de cada tratamento
Tabela ANOVAExemplo dos Propulsores de Foguetes Conclusão: Existe uma diferença significativa na médias da velocidade de queima causadas pelas diferentes formulações E existe diferença entre os lotes de matéria-prima? E entre operadores?
Análise EstatísticaExemplo dos Propulsores de Foguetes • No R > dados <- read.table("DadosFoguete.txt", header=TRUE) > fit <- lm(Rate ~ factor(Formulation) + factor(Batch) + factor(Operator), data=dados) > anova(fit) Analysis of Variance Table Response: Rate Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Formulation) 4 330 82.500 7.7344 0.002537 ** factor(Batch) 4 68 17.000 1.5938 0.239059 factor(Operator) 4 150 37.500 3.5156 0.040373 * Residuals 12 128 10.667 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1
Análise dos ResíduosExemplo dos Propulsores de Foguetes • Como em qualquer experimento, devemos investigar a adequacidade do modelo através da inspeção dos resíduos • No caso dos Quadrados Latinos, os resíduos são: • Os gráficos dos resíduos são apresentados a seguir
Análise dos ResíduosExemplo dos Propulsores de Foguetes • Parece haver um problema com as suposições do modelo • Resíduos não parecem seguir uma distribuição normal • Variância aumenta com a magnitude dos dados Exercício: Desconsiderar os diferentes lotes de matéria-prima e ajustar o modelo novamente, usando apenas operador como bloco
Replicação dos Quadrados Latinos • Quadrados Latinos pequenos: poucos graus de liberdade para o erro • Nesse caso, é aconselhável replicar os quadrados latinos • A replicação pode ser feita de várias formas e a Análise de Variância depende de como isso é feito
Replicação dos Quadrados Latinos • No exemplo dos foguetes, suponha que iremos replicar 3 vezes. As formas possíveis são: • Usar os mesmos lotes e operadores em cada replicação • Usar os mesmos operadores, mas lotes diferentes em cada replicação (ou mesmos lotes, mas operadores diferentes) • Usar lotes e operadores diferentes
