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ME623A Planejamento e Pesquisa. 5. Experimentos Fatoriais. Experimento Fatorial com Dois Fatores Experimento Fatorial Generalizado ( k Fatores ) Experimento Fatorial 2 k Única Replicação de Um Fatorial 2 k Experimento Fatorial Fracionado 2 k-p. Experimento Fatorial Generalizado.
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5. ExperimentosFatoriais • ExperimentoFatorial com DoisFatores • ExperimentoFatorialGeneralizado (kFatores) • ExperimentoFatorial 2k • ÚnicaReplicação de Um Fatorial 2k • ExperimentoFatorialFracionado 2k-p
Experimento Fatorial Generalizado • Os resultados que vimos para o modelo com dois fatores podem ser generalizados para k fatores • No caso geral temos a níveis do fator A, b níveis do fator B, c níveis do fator C e assim por diante • Esses fatores são arranjados num experimento fatorial com abc... n observações totais, sendo n o número de replicações Fator A 1, 2, ..., a Fator B 1, 2, ..., b Fator C 1, 2, ..., c ... abc... n observações
Experimento Fatorial Generalizado • Considerando todos os fatores fixos, iremos testar os fatores principais e interações usando ANOVA • A ANOVA particiona a soma de quadrados total em soma de quadrados dos efeitos principais, das interações e do erro experimental • Se todas as interações estão presentes, é necessário pelo menos duas replicações (n ≥ 2) para que a variância do erro seja estimável • Cada fator adicional acrescenta uma camada de commplexidade para a análise
Modelo com Três Fatores (Fixos) • As observações podem ser descritas pelo modelo: com • Suposição: constante • As restrições lineares sob os efeitos principais e interações são as mesmas que as vistas anteriormente
Modelo com Três FatoresRepresentação das Observações • Suponha que temos a = 4, b = 3, c = 2 e n = 3
Modelo com Três Fatores • No modelo com 3 fatores iremos estimar e testar: • Três efeitos principais (A, B e C) • Três interações de primeira ordem ou dois a dois (AB, AB e BC) • Uma interação de segunda ordem, ou seja, com os três fatores (ABC) • No caso de efeitos fixos, os testes de hipótese (testes F) para efeitos principais e interações são baseados na comparação do MS correspondente com o MSE
Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados • A SST é calculada da forma usual: • Essa soma de quadrados é decomposta em:
Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados • A SS dos efeitos principais A, B e C utiliza os totais dos níveis do respectivo fator:
Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados • A SS das interações dois a dois são dados por:
Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados • A SS da interação ABC é calculada como: • A SSE é obtida pela subtração:
Interpretação • Depende dos resultados dos testes F para efeitos principais e interações: • Se a interação ABC é significante: • Nenhum dos fatores está agindo independentemente • Resumir numa tabela de médias para cada tratamento • Se as interações de 1ª ordem são significantes (e não a interação com 3 fatores) • Nenhum dos efeitos principais são independentes • Resumir em tabelas 2x2 de médias para as interações significantes • Se os efeitos principais são significantes (mas não as interações) • Resumir com as médias dos efeitos principais significantes
Tabela das Médias dos Efeitos Principais Tabela das Médias para Interações de 1ª Ordem Essa Tabela é para interação AB Calcular também para AC e BC
Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante • Uma fábrica de refrigerante quer controlar três variáveis durante o processo de engarrafamento: • Porcentagem de CO2 (Fator A): 10, 12 e 14% • Pressão (Fator B): 25 e 30 psi • Velocidade da produção (Fator C): 200 e 250 garrafas/min • Esse é um delineamento fatorial com 3 fatores e teremos duas replicações (n = 2) • As 24 rodadas com todos os tratamentos serão realizadas em ordem aleatória • A variável resposta é o desvio da altura nominal
Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante • Os dados estão na tabela abaixo: • Vamos analisar esses dados. Quais fatores influenciam no desvio médio da altura do líquido? Existem interações?
Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante • Tabela ANOVA com 3 fatores e interações: No R > dados <- read.table(“ExemploRefrigerante.txt", header=TRUE) > fit <- lm(Altura ~ factor(CO2)*factor(Pressao)*factor(Velocidade), data=dados) > anova(fit)
