Introduction à l’algorithmique

1. Introduction à l’algorithmique

2. Introduction • Algorithme: Procédure décrivant, étape par étape, une méthode permettant de résoudre un problème. • Mot provenant du nom d’un mathématicien arabe du IXeme siècle El-Khawarizmi • C’est la base de tout programme informatique Exemple: Recette de la sauce blanche: • Faire revenir l’oignon haché fin dans du beurre, • Ajouter la farine, bien mélanger; • Rajouter le lait chaud, et mélanger pour éviter les grumeaux; • Laisser mijoter 15 minutes

3. Algorithme: Suite finie d’instructions vérifiant: • Chaque étape est décrite de façon précise; • Chaque étape est déterministe: produit des résultats uniques; • L’algorithme s’arrête après un nb fini d’instructions • Reçoit des données en entrée; • Produit des données en sortie; • Généralité: Applicable à des ensembles différents de données d’entrée

4. Différence entre problème et instance du problème • Exemple d’un problème: Tri d’un ensemble d’éléments • Entrée: Suite de n éléts a1,…an • Sortie: La suite réordonnée • Instances du problème: • Suite de nombres: 475, 787, 34, 245, 56, 350 • Suite de noms: Pierre, Christine, Sylvie, Samuel, Fabien

5. Exemple d’un algorithme 1. x := a; 2. Si b>x, alorsx := b; 3. Sic>x, alorsx := c; := Opérateur d’assignation y := z signifie ``copie la valeur de z dans y’’. Valeur de z inchangée Paramètres d’entrée: a, b, c Valeur de sortie: x = max (a,b,c)

6. Algorithme maximum: Retourne le maximum de 3 entiers Entrée: Trois entiers a, b, c; Sortie: x contenant la valeur maximale parmi a, b, c 1. Procéduremax(a,b,c) 2. x := a; 3. Sib>xalors // Si b plus grand que x, mettre x à jour x := b; 5. Sic>xalors // Si c plus grand que x, mettre x à jour x := c; 7. Retourner (x) 8. Fin max Pseudo-Code Trace de l’algorithme pour: a=1; b=5; c=3 x = 1 x = 5

7. Pseudo-Code: Notation proche du code des langages de programmation (C, Pascal). Notation standard mais pas rigoureuse • Titre de l’algorithme, description brève, entrées, sorties • Procédures consécutives • Numéroter les lignes (facultatif) • Procédure commence par le mot ``Procédure’’, suivit du nom, suivit des paramètres • Instructions (lignes exécutables) entre ``Procédure’’ et ``Fin’’, exécutées l’une après l’autre • Bloc d’instructions entre ``Début’’ et ``Fin’’ • Ligne de commentaires signalée par // (ou /* */) • ``Retourne (x)’’ termine une procédure et retourne la valeur de x

8. Instruction Si-Alors-Sinon(If-Then-Else) Sipalors action Si condition p vérifiée, exécuter action. Sipalors action 1; Sinon action 2; Si condition p vérifiée, exécuter action 1. Sinon, exécuter action 2. Bloc de conditions entre Début et Fin. Six ≥ 0 alors Début x := x-1; a := b+c; Fin

9. Instruction Tant que Tant quepFaire action; Tant que p est vrai exécuter action Algorithme Plus-Grand-Element: Retourne la plus grande valeur d’une liste Entrée: n entiers S1,…, Sn Sortie: grand contenant le plus grand élément Procédureplus-grand (S,n) grand := S1; i:=2; Tant quei ≤ nFaire Début SiSi > grandalors // une plus grande valeur a été trouvée grand := Si; i := i+1; Fin Retourne(grand) Finplus-grand; Trace de l’algorithme: n=4; S1= -2; S2=6; S3=5; S4=6 grand =-2 i = 2 grand = 6 i = 3 i = 4 i = 5

10. Instruction Pour (For) Pourvar := inità limiteFaire action; À chaque passage dans la boucle, var est incrémenté de 1. On s’arrête dès que var > limite Algorithme Plus-Grand-Element: Réécriture de l’algorithme précédent mais avec une boucle ``Pour’’ Entrée: n entiers S1,…, Sn Sortie: grand contenant le plus grand élément Procédureplus-grand (S,n) grand := S1; Pour i =1 à n Faire SiSi > grandalors // une plus grande valeur a été trouvée grand := Si; Retourne(grand) Finplus-grand;

11. Subdivision d’un problème en sous-problèmes (plusieurs procédures) • Problème: Trouver le plus petit nombre premier strictement supérieur à un entier positif donné • Procédure pour déterminer si un entier m est un nombre premier. Il suffit de tester si m est divisible par un entier entre 2 et m/2 • Utiliser cette procédure pour trouver le plus petit nombre premier p supérieur à un entier n.

12. Entrée: Un entier positif m Sortie: Vrai si m est premier, Faux si non. Procédureest-premier (m) Pouri := 2àENT(m/2)Faire Si m mod i = 0alors // i divise m Retourne(Faux) Retourne(Vrai) Finest-premier Entrée: Un entier positif n Sortie: Le plus petit nb premier m > n Procédurepremier-plus-grand (n) m := n+1; Tant que est-premier(m) est Faux Faire m := m+1; Retourne(m) Finest-premier Trace de premier-plus-grand pour n=8: Trace de est-premierpour m=9: Trace de est-premierpour m=11: Trace de est-premierpour m=10: i=2 11 mod 2 = 1 10 mod 2 = 0 9 mod 2 = 1 m = 9 i=3 9 mod 3 = 0 i=5 11 mod 5 = 1 m = 10 m = 11

13. Algorithme d’Euclide • Trouver le plus grand diviseur commun (pgcd) de deux entiers Définition: q estun diviseur commun de m et n si q divise à la fois m et n (le reste de la division entière est 0) Le pgdc de m et n est le plus grand entier q divisant à la fois m et n. Exemple: pgcd(4, 6) = 2; pgcd(3,8) = 1; pgcd(9, 12) = 3; Utile pour la simplification de fractions: 9/12 = 3.3/4.3 = 3/4

14. Théorème 1: Soient m, n et c trois entiers • Si c est un diviseur commun de m et n, alors c divise (m+n). • Si c est un diviseur commun de m et n, alors c divise (m-n). • Si c divise m, alors c divise mn Soient a, bdeux entiers >0. Si on divise a par b, on obtient un reste r et un quotient q vérifiants: a = bq+r, avec 0≤r<b, et q≥0 À l’aide du théorème 1 on montre: Théorème 2: Soient a, bdeux entiers positifs. Soient q le quotient et r le reste de la division entière de a par b. Alors pgcd(a,b) = pgcd(b,r)

15. Trouver le PGCD de a et b Exemple: pgcd(30, 105) • 1ère méthode: Trouver tous les diviseurs de a et b, et trouver le diviseur commun le plus grand • Diviseurs de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 • Diviseurs de 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 • pgcd(30, 105) = 15 • 2ème méthode: Utiliser le théorème 2 • 105 = 30.3 + 15. Donc pgcd(105, 30) = pgcd(30,15) • 30 = 15.2 + 0. Donc pgcd(30, 15) = pgcd(15,0) • pgcd(15,0)=15 • pgcd(105,30)=pgcd(30,15)=pgcd(15,0)=15 La méthode 2 est la méthode d’Euclide

16. Méthode d’Euclide Soient r0, r1 deux entiers strictement positifs, tels que r0=r1.q+r2 avec 0≤r2<r1 • Si r2 = 0, pgcd (r0, r1) = r1 • Sinon, rediviser ri par ri+1tant que ri+1 est différent de 0 • Si rn est le premier reste nul, alors pgcd(r0,r1) = pgcd(r1,r2) = … =pgcd(rn-1,rn)= pgcd(rn-1,0) = rn-1

17. Algorithme d’Euclide Entrée: a, b deux entiers positifs Sortie: pgcd(a,b) Procédurepgcd(a,b) Tant queb pas 0Faire Début diviser a par b: a = b.q+r, 0 ≤ r < b; a:=b; b:=r; Fin Retourner (a) Finpgcd Trace de l’algorithme pour a=504 et b=396 a 504 396 108 1 b 396 108 a 72 3 b a 108 72 36 1 72 36 a b 0 2 b

18. Procédure récursive • Procédure qui s’invoque elle-même Exemple: n! = n(n-1)(n-2)…2.1 Si n≥0 0! = 1 n! = n(n-1)! pour n≥1 5! = 5.4! 4! = 4.3! 3! = 3.2! 2! = 2.1! 1! = 1.0! = 120 = 24 = 6 = 2 = 1 • Toute procédure récursive doit avoir une condition d’arrêt: cas de base qui permet de ne plus invoquer la procédure. • Ici, la condition d’arrêt est n=0

19. Entrée: Entier n≥0 Sortie: n! Procédurefactoriel (n) Sin = 0alors Retourne(1) Retourne(n. factoriel(n-1)) Finfactoriel factoriel( 0 ): Retourne: 1 Trace pour n =3: factoriel( 3 ): factoriel( 1 ): factoriel( 2 ): Retourne: 1. factoriel(0) Retourne: 3. factoriel(2) Retourne: 2. factoriel(1) 1.1=1 3.2=6 2.1=2

20. Trace pour n =3 : Entrée: Entier n≥0 Sortie: n! Procédurefactoriel-iteratif (n) res = 1; courant = n; Tant quecourant>0Faire res := res * courant; courant := courant-1; Fin Tant que Retourne (res) Finfactoriel-iteratif Procédure itérative pour le calcul de n! res = 1 courant = 3 res = 3 courant = 2 res = 6 courant = 1 res = 6 courant = 0

21. Procédure récursive pour le calcul du pgcd Entrée: a, b deux entiers >0 Sortie: pgcd(a,b) Procédurepgcd-rec (a,b) Sib = 0alors Retourner(a); diviser a par b: a = b.q+r, 0 ≤ r < b; Retourner(pgcd-rec (b,r)) Finpgcd-rec pgcd-rec(108, 72) 108 = 72 . 1 + 36 pgcd-rec(72,36) 36 pgcd-rec(72,36) pgcd-rec(36, 0) 36 pgcd-rec(396, 108) Trace pour a=504 et b=396: pgcd-rec(36, 0) 396 = 108 . 3 + 72 pgcd-rec(504, 396) pgcd-rec(108,72) 36 504 = 396. 1 + 108 36 pgcd-rec(396, 108) 36

22. Nombres de Fibonacci Exemple: Un robot peu avancer par des pas de 1 ou 2 mètres. Calculer le nombre de façons différentes de parcourir une distance de n mètres

23. Entrée: n Sortie: Pas(n) Procédurepas-robot (n) Sin=1 ou n=2alors Retourne (n) Retourne(Pas(n-1) + Pas(n-2) ) Fin pas-robot • Pas(n): Nombre de possibilités pour parcourir n mètres. • Pas(1) = 1, Pas(2) = 2; • Pour n>2: • Si premier pas = 1mètres, il reste n-1mètres -> Pas(n-1) • Si premier pas = 2mètres, il reste n-2mètres -> Pas(n-2) Donc, Pas(n) = Pas(n-1)+Pas(n-2) Séquence de Fibonacci: f1 = 1 f2 = 2 fn = fn-1 + fn-2pour n>2