Óvodai matematika

1. Dr. Móré Mariann főiskolai docens Óvodai matematika

2. Óvodai matematika XIX. Század: 60% oktatás • Alakismeret • Számolás WarghaIstván II. vh. után Manapság: játékban a matematika

3. Óvodai matematika A matematikatanulás néhány jellemzője: • Az ismereteket teljes testükkel megtapasztalva éljék át a gyermekek • A gondolkodást problémahelyzetekkel, szituációs játékokkal fejleszthetjük • Kerüljük a szóbeli megfogalmaztatást a gyermekek részéről, inkább cselekedve mutassák meg egy-egy problémahelyzet megoldását. • Az eszköz adjon módot önellenőrzésre (geometria) • Többféle tevékenykedtetésben közelítsünk egy új ismerethez • Biztosítsuk a komplexitást.

4. Számfogalom • képes számlálni, azaz mennyiségekhez számneveket társítani • kialakult a mennyiségállandóság fogalma: 5 körte és 5 elefánt ugyanannyi • viszonyítási rendszerrel rendelkezik: két kifli több mint egy kifli • ismeri egy adott számnál kisebb és nagyobb számokat • felismeri, hogy egy szám páros vagy páratlan • megkülönbözteti a mennyiséget és a mérőszámot (mérés eredményét) • tudja, hogy egy adott mennyiség milyen összetevőkre bontható: négy gyerek lehet 2 lány és két fiú, de egy lány és három fiú, stb. • ismeri és alkalmazza a tízes számrendszert

5. A MATEMATIKA A matematika a valóságos világ általános értelemben vett mennyiségi és térbeli formáiról és viszonyairól szóló tudomány Főbb ágai: • logika • halmazelmélet • számelmélet • algebra • topológia • analízis • geometria • valószínűségszámítás • numerikus és grafikus módszerek

6. Történelem: Mezopotámia • Az élelemszerzés szerepe • Gabonatermesztés, gazdálkodás (folyók) • Ipari tevékenység • Az árucsere, a kereskedelem, az öntözéses földművelés: mértékegységek kialakulása, • a pénz szerepét játszó, az áruk értékét jelző ezüstrudak, -korongok használata • a maihoz nagyon hasonló naptár bevezetését

7. Történelem: Mezopotámia i. e. 2000: a számokat 1-től 60-ig különböző alakú és helyzetű ékjelekkel írták le.

8. Történelem: Mezopotámia

9. Történelem: Egyiptom A hieroglif írást a francia JEAN FRANCOIS CHAMPOLLION (1790-1832) fejtette meg

10. Történelem: Egyiptom

11. Történelem: Egyiptom Az egyiptomi számolómesterek mind a négy alapműveletet az összeadásra igyekeztek visszavezetni 12*12 szorzás kiszámítása: • 1*12=12 • 2*12=24 • 4*12 = 48 • 8*12=96 12*12 összetehető a 4*12 és a 8*12 összeadásával: • 12*12 = 4*12+8*12=48+96=144.

12. Görög matematika A milétoszi THALÉSZ: (ie. 624-548): mindenben az első. • Az első természetfilozófus, az első fizikus, az első csillagász és az első matematikus. • Legenda a piramis magasságának meghatározására • Ismerte a szög fogalmát, • Igazolta, hogy a csúcsszögek egyenlők • Az átmérő a kört felezi, • Az egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek egyenlők.

13. Görög matematika • Az i. e. VI. PÜTHAGORASZ • filozófus és matematikus (fizikus, csillagász és mágus, vagy akár vallásalapító). A legendák ködébe burkolt életéről alig tudunk valami biztosat • Egyetlen isten • Egység szüli a számokat: egynél kisebb szám nincs • Az egynél nagyobb számok az egyből keletkeznek, annak megsokszorozásával. • A számok részekre bonthatók, oszthatók, hiszen mindegyik valahány egységet tartalmaz

14. Történelem: India A hindu számírás első emlékei: i. e. III. század Számjegyek: mássalhangzók Pl: b=1, c=2, d=3,f=4, g=5, h=6,j=7, k=8,l=9 23= cada Szunja= 0 Az indiai számjegyekkel felírt első ismert 10-es helyiérték-rendszerű szám a 346. Hazánkban a XV. században kezdték használni a 10-es helyiérték- rendszerű számírást. (Előtte: mindenki római számjegyekkel írt és abakuszon számolt)

15. Matematikai logika • Logika=logosz=fogalom, ész, szabály • Arisztotelész (i.e. 384-322) Organon (Módszertan) • A matematikai állításainkat kijelentő mondatokban fogalmazzuk meg. • Ezek lehetnek igazak, de hamisak is. • Az igaz és hamis tulajdonságokat a szóban forgó kijelentés logikai értékének nevezzük.

16. Ítéletek és tagadásuk • Ítélet:= olyan kijelentés, amelynek az a tulajdonsága, hogy vagy igaz vagy sem • Az igaz ítélet logikai értéke: i • A hamis ítélet logikai értéke: h • Ha egy kijelentésről nem tudjuk eldönteni, hogy mi a logikai értéke, az nem is a logika feladata.

17. Logika feladat • A kutyának négy lába van • Az öt több, mint a három • Zoli átugorja a házat • Zsuzsi tud repülni • Mikor ebédelünk? • Ne rugdoss!

18. Halmazok A köznyelvben a halmazfogalom kifejezésére a következő szavak szolgálnak: együttes, csoport, sokaság • Cantor (1845-1918) német matematikus dolgozta ki • Beszélhetünk személyek, tárgyak, fogalmak együtteséről, tehát halmazáról. Az együvé tartozók részeit a halmaz elemeinek nevezzük. • Mi a halmaz? Nem definiálható, alapfogalom. • Cantor:= A halmaz érzékelésünk és gondolkodásunk jól meghatározott és egymástól megkülönböztethető tárgyainak egységbe foglalása.

19. Halmazok • A halmazt egyértelműen meghatározzák az elemei • Egy halmazt kétféle módon adhatunk meg: • felsoroljuk az elemeit • leírjuk azt a tulajdonságot amellyel a halmaz minden eleme rendelkezik.

20. Halmazok • A  halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. • Azt, hogy  aeleme az A halmaznak, így jelöljük:  • Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy azA  és  B halmazok egyenlők, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük:  A=B • TetszőlegesA és B   halmazokra érvényesek a következő állítások:

21. Műveletek halmazokkal Azt mondjuk, hogy az   halmaz részhalmaza a   halmaznak ha az   minden eleme a   halmaznak is eleme, és ezt így jelöljük

22. Műveletek halmazokkal Az   halmazt a   halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha 

23. Műveletek halmazokkal

24. Műveletek halmazokkal

25. Műveletek halmazokkal

26. Műveletek halmazokkal

27. Műveletek halmazokkal • Két vagy több halmaz egyesítése vagy uniója:= az a halmaz, amely a halmazok minden elemét tartalmazza • Két vagy több halmaz metszete:= azoknak az elemeknek a halmaza, amely a halmazok a közös elemeit tartalmazza; valamelyiknek eleme • Két halmaz különbsége:= A és B halmaz különbségén az A halmaz azon elemeinek halmazát értjük, amelyek a B-nek nem elemei

29. Természetes számok • A természetes számokat az ember találta ki, aminek az alapja az írásbeliség, és a papírra (netán agyagtáblára) történő jelek leírása volt. • Pl. „5 „ nincs a valóságban • Beszédben: számnév • Írásban: számjegy

30. Természetes számok Peano (1858-1932 olasz matematikus) axiómák: • Az 1 természetes szám • Bármely természetes szám a megelőzőből az 1 hozzáadásával jön létre • Nincs olyan természetes szám, amelynek az 1 a rákövetkezője

31. Természetes számok • Római számírás: 1300-ig • Helyi értékes írás: hindu találmány • Bármely szám leírásához elegendő 10 számjegy • 804 025= 8*105 + 0*104 + 4*103 + 0*102 + 2*101 +5*100

32. Műveletek • Összeadás: korlátlanul elvégezhet • Felcserélhető • Csoportosítható • Szorzás: korlátlanul elvégezhető • Származtatás: összeadás • Felcserélhető • Csoportosítható

33. Műveletek • Kivonás: az összeadás inverz művelete • Ismerjük az összeget és az egyik tagot, keressük a másikat • Osztás: a szorzás inverz művelete • Ismerjük a szorzatot és az egyik tényezőt, keressük a másik tényezőt

34. További számhalmazok Nem végezhető el minden művelet a természetes számok körében! Racionális számok: Q Irracionális számok: Q* Egész számok: Z Valós számok: R

35. Mérés A mérés története az emberiséggel egyidős. • Először csak összehasonlította a tárgyakat. • Megbecsülte egy fadarab súlyát, elég nehéz-e ahhoz, hogy elejtsen vele egy állatot. • A szerszám készítés komoly előrelépés a mérésben. • W. Thomson (fizikus): „Akkor mondhatjuk, hogy egy dologról tudunk valamit, ha a szóban forgó tulajdonságát mérni tudjuk és a mérés eredményét számszerűen ki tudjuk fejezni

36. Mérés • Nemzetközi Mértékegység-rendszer, SI • Az Általános Súly-és Mértékügyi Értekezlet (General ConferenceonWeightsandMeasures) által elfogadott és ajánlott koherens egységrendszer. • Alapegységei: • méter –kilogramm –másodperc –amper –kelvin –mól -kandela

37. A metrikus rendszer • Ezeket az etalonokat 1799-ben a Francia Nemzeti Archívumban helyezték el, és a „levéltári méter” és „levéltári kilogramm” néven váltak ismertté. • A Nemzetgyűlés megbízta a Francia Tudományos Akadémiát egy az egész világon használható egységrendszer tervezésével.

38. A Méteregyezmény • A 19. század közepére kialakításra került egy egyetemes, tízes alapú metrikus rendszer, amelynek bevezetését az ebben az időszakban rendszeresen megtartott világkiállítások tettek sürgető politikai igénnyé.

39. 1875 május 20.-án a méterre vonatkozó diplomáciai konferencián Párizsban 17 kormány aláírta a Méteregyezményt. • Az aláírók megegyeztek egy tudományos intézet létrehozásában és fenntartásában: • Nemzetközi Súly-és Mértékügyi Hivatal • (BureauInternational des PoidsetMeasures) • 1875-ben a Méteregyezmény aláírásakor a CGS mértékegységrendszer volt használatban. • Alapegységei: • •centiméter • •gramm • •másodperc („szekundum)

40. A méter története • 1799, a levéltári méter: A Föld Párizson áthaladó délkörének negyvenmilliomod része. • 1889-ben elvetették a délkörön alapuló definíciót: Egy méter az a távolság, amely a párizsi ősméter két középső osztásának a tengelyvonalak által határolt szakasza között mérhető 0 0C-on, és 750 torrnyomáson.

42. 30 db méterrudat gyártottak le Londonban. Mivel a 6. sz. rúd esett legközelebb a „levéltári méter”-hez, ez lett az ősméter, a többit kisorsolták a Méteregyezményt aláíró országok között. (Magyarország a 14. számút kapta.) • 1983-ban a CGPM elfogadta egy magyar fizikus –BayZoltán –javaslatát, hogy az általa kidolgozott lézeres hullámhossz mérési elv alapján a méter meghatározása a következő legyen: A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/299 792 458 másodperc időtartam alatt megtesz.

43. Mérés Magyarországon az első országos földmérés a török elleni fölszabadító harcok után 1601-ben kezdődött, ekkor még bevallásos módszerrel, a helyben szokásos mértékekkel jelölve a nagyságot. Az 1607-ben induló úrbéri rendezés során is csak a problematikus esetekben mértek, egyébként bevallás volt.  1786-ban mérnek először ölrúddal és mérőlánccal, és területmértékben (négyszögöl, hold) állapítják meg a nagyságot

44. A geometria elemei • A geometria (mértan) a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága • Maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett. • A geometria az i. e. 5. század körül azonban lassan-lassan elszakadt tapasztalati gyökereitől • A filozófusok (leginkább Zénón) és olyan tudósok, mint Thalész szerepe • A geometria az első tudományág, amit deduktív módon, vagyis axiómarendszer formájában építettek fel (ez elsősorban Euklidész nevéhez fűződik).

45. Thalesz • A görög matematika és filozófia atyja a milétoszi születésű Thálesz-t • A Kr.e. VII. század végén és a VI. század elején élt. Kereskedő volt, utazásai során bejárta Kis-Ázsiát, Babilóniát, Egyiptomot. • Thalész az első matematikus, akitől matematikai eredmények maradtak ránk. • Abban is első, hogy tételeit általánosan fogalmazta meg, és bizonyította őket. • Thalesz tétele:

46. Thalesz • Ismerte és alkalmazta az egybevágóság és hasonlóság fogalmát. Gyakorlati számításokra is felhasználta őket, így ki tudta számítani hajók parttól való távolságát. • A történetírók szerint az egyiptomi papokat is elkápráztatta tudásával, amikor egy bot és a napfény segítségével megmérte egy piramis magasságát.

47. Pitagorasz (ie.VI. sz.) • A világ harmóniáját az egész számok közötti összefüggésekkel igyekezett magyarázni. Azt gondolta, hogy a természet törvényeit a számok törvényeinek megértésén keresztül lehet felfedezni. Nevéhez fűződik a Pitagorasz tétel: a2+b2=c2ahol a és b a két befogót, c az átfogót jelöli. A tételt már i.e. 2000 táján Mezopotámiában és Egyiptomban is ismerték, Kínából az i.e. 1200 és 1100 közötti időkből, Indiából i.e. 500 tájáról származnak írásos emlékek. Pitagorasznak volt az első, akinek eszébe jutott, hogy bebizonyítsa.

48. Test, felület, vonal • A tárgyak a tér egy részét foglalják el. • Ha eltekintünk a tárgyak minden más tulajdonságától, és csak az általuk elfoglalt térrész alakját tekintjük, akkor a test geometriai fogalmához jutunk. • A testeket felületek határolják. A felület lehet sík, vagy görbe. • A felületeket vonalakkal részekre bonthatjuk. • A vonalakat pontokkal részekre bonthatjuk.

49. Alakzatok • A testek felületetek pontokból állnak, alakzatok. • Megkülönböztetünk síkbeli és trébeli alakzatokat. • Egy alakzat konvex, ha bármely két pontjával együtt tartalmazza azok összekötő szakaszát is. • A nem konvex alakzatokat konkáv alakzatnak nevezzük.

50. Szimmetria • A tárgyak egy része különböző irányokból szemlélve ugyanolyannak látszanak. • Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes a síkban, amelyre nézve az alakzat tükörképe önmaga. • Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van olyan pont, amelyre körül elforgatva az alakzatot, az önmagába megy át.